Εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ

Στην αριθμητική γεωμετρία, η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ είναι ένα άλυτο πρόβλημα που εικάζεται από τους Ενρίκο Μπομπιέρι και Σερζ Λανγκ σχετικά με την πυκνότητα Ζαρίσκι του συνόλου των ρητών σημείων μιας αλγεβρικής ποικιλίας γενικού τύπου.

Δήλωση

Η αδύναμη εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ για επιφάνειες δηλώνει ότι αν $X$ είναι μια λεία επιφάνεια γενικού τύπου που ορίζεται πάνω από ένα αριθμητικό σώμα $k$ τότε τα$k$-ρητά σημεία της $X$ δεν σχηματίζουν ένα πυκνό σύνολο στην τοπολογία Ζαρίσκι στην $X$.

Η γενική μορφή της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ δηλώνει ότι αν η $X$ είναι μια θετικά διαστατική αλγεβρική ποικιλία γενικού τύπου που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα $k$, τότε τα $k$-ορθολογικά σημεία της $X$ δεν σχηματίζουν πυκνό σύνολο στην τοπολογία Ζαρίσκι.

Η εκλεπτυσμένη μορφή της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ δηλώνει ότι αν $X$ είναι μια αλγεβρική ποικιλία γενικού τύπου που ορίζεται πάνω σε ένα αριθμητικό σώμα $k$, τότε υπάρχει ένα πυκνό ανοικτό υποσύνολο $U$ του $X$ τέτοιο ώστε για όλες τις επεκτάσεις του αριθμητικού σώματος $k'$ πάνω στο $k$, το σύνολο των $k'$-ρητών σημείων στο $U$ να είναι πεπερασμένο.

Ιστορία

Η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ διατυπώθηκε ανεξάρτητα από τους Ενρίκο Μπομπιέρι και Σερζ Λανγκ. Σε μια διάλεξη του 1980 στο Πανεπιστήμιο του Σικάγο, ο Ενρίκο Μπομπιέρι έθεσε ένα πρόβλημα σχετικά με τον εκφυλισμό των ρητών σημείων για επιφάνειες γενικού τύπου. Ανεξάρτητα σε μια σειρά εργασιών που ξεκίνησαν το 1971, ο Σερζ Λανγκ υπέθεσε μια γενικότερη σχέση μεταξύ της κατανομής των ρητών σημείων και της αλγεβρικής υπερβολικότητας, που διατυπώθηκε στην «εκλεπτυσμένη μορφή» της εικασίας Μπομπιέρι-Λανγκ.

Γενικεύσεις και επιπτώσεις

Η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ είναι ένα ανάλογο για τις επιφάνειες του θεωρήματος του Φάλτινγκς, το οποίο δηλώνει ότι οι αλγεβρικές καμπύλες γένους μεγαλύτερου του ενός έχουν μόνο πεπερασμένα πολλά ρητά σημεία.

Αν αληθεύει, η εικασία Μπομπιέρι-Λανγκ θα έλυνε το πρόβλημα Έρντος-Ουλάμ, καθώς θα σήμαινε ότι δεν υπάρχουν πυκνά υποσύνολα του Ευκλείδειου επιπέδου των οποίων όλες οι αποστάσεις ανά ζεύγη είναι ρητές.

Το 1997, οι Λουτσία Καποράσο, Μπάρι Μαζούρ, Τζο Χάρις και Πατρίσια Πατσέλι έδειξαν ότι η εικασία των Μπομπιέρι-Λανγκ συνεπάγεται μια ομοιόμορφη εικασία οριοθετημένων σημείων για ρητά σημεία: υπάρχει μια σταθερά $B_{g,d}$ που εξαρτάται μόνο από τα $g$ και $d$ έτσι ώστε ο αριθμός των ρητών σημείων οποιασδήποτε καμπύλης $X$ γένους $g$ πάνω σε οποιοδήποτε αριθμητικό σώμα βαθμού $d$ να είναι το πολύ $B_{g,d}$.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Συζυγής μιγαδικός αριθμός
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Ελλειπτική καμπύλη
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πυθαγόρεια τετράδα
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Σώμα Αριθμών
• Ενρίκο Μπομπιέρι
• Κρυπτογραφία ελλειπτικών καμπυλών
• Προβλήματα του Λαντάου
• Εικασία του Κράμερ
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Θεώρημα των τεσσάρων χρωμάτων
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Hindry, Marc· Silverman, Joseph H. (1 Δεκεμβρίου 2013). Diophantine Geometry: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1210-2. 
• Gasbarri, Carlo· Lu, Steven (22 Δεκεμβρίου 2015). Rational Points, Rational Curves, and Entire Holomorphic Curves on Projective Varieties. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-1458-0. 
• Bell, Jason P.· Ghioca, Dragos (20 Απριλίου 2016). The Dynamical Mordell–Lang Conjecture. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2408-4. 
• Dries, Lou van den· Koenigsmann, Jochen (20 Σεπτεμβρίου 2014). Model Theory in Algebra, Analysis and Arithmetic: Cetraro, Italy 2012, Editors: H. Dugald Macpherson, Carlo Toffalori. Springer. ISBN 978-3-642-54936-6. 
• Bouscaren, Elisabeth (14 Μαρτίου 2009). Model Theory and Algebraic Geometry: An introduction to E. Hrushovski's proof of the geometric Mordell-Lang conjecture. Springer. ISBN 978-3-540-68521-0. 
• Granville, Andrew· Nathanson, Melvyn Bernard. Additive Combinatorics. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-7039-6. 
• Poonen, Bjorn (10 Αυγούστου 2023). Rational Points on Varieties. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7458-4. 
• Corvaja, Pietro (23 Νοεμβρίου 2016). Integral Points on Algebraic Varieties: An Introduction to Diophantine Geometry. Springer. ISBN 978-981-10-2648-5. 
• Fornæss, John Erik· Irgens, Marius (5 Νοεμβρίου 2015). Complex Geometry and Dynamics: The Abel Symposium 2013. Springer. ISBN 978-3-319-20337-9. 
• Hu, Pei-Chu· Yang, Chung-Chun (6 Οκτωβρίου 2006). Value Distribution Theory Related to Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-7569-0. 
• Ochiai, Takushiro· Mabuchi, Toshiki (25 Φεβρουαρίου 2015). Geometry and Analysis on Manifolds: In Memory of Professor Shoshichi Kobayashi. Springer. ISBN 978-3-319-11523-8. 

Παραπομπές

• Cox, David· John Little· Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms (second έκδοση). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2. 
• Eisenbud, David (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6. 
• Milne, James S. (2008). «Algebraic Geometry». Ανακτήθηκε στις 1 Σεπτεμβρίου 2009. 
• Okamoto, Kiyosato; Ozeki, Hideki (1967), «On square-integrable ∂-cohomology spaces attached to hermitian symmetric spaces», Osaka Journal of Mathematics 4: 95–110, ISSN 0030-6126, http://projecteuclid.org/euclid.ojm/1200691817 
• Miyanishi, Masayoshi. Algebraic Geometry. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-8770-7. 
• Poonen, Bjorn· Tschinkel, Yuri (6 Δεκεμβρίου 2012). Arithmetic of Higher-Dimensional Algebraic Varieties. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-8170-8. 
• Schmid, Wilfried (1975a), «Some properties of square-integrable representations of semisimple Lie groups», Annals of Mathematics, Second Series 102 (3): 535–564, doi:10.2307/1971043, ISSN 0003-486X 
• Schmid, Wilfried (1975b), «On the characters of the discrete series. The Hermitian symmetric case», Inventiones Mathematicae 30 (1): 47–144, doi:10.1007/BF01389847, ISSN 0020-9910 
• Wallach, Nolan R (1976), «On the Enright-Varadarajan modules: a construction of the discrete series», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure 4 (1): 81–101, doi:10.24033/asens.1304 
• Luiz, Atílio; Richter, Bruce (2014), «Remarks on a conjecture of Barát and Tóth», Electronic Journal of Combinatorics 21 (1): P1.57, doi:10.37236/3396, http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v21i1p57 .

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0