Εικασία Έρντος για τις αριθμητικές προόδους

Άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά: Μήπως κάθε μεγάλο σύνολο φυσικών αριθμών περιέχει αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους;

Η εικασία του Έρντος για τις αριθμητικές προόδους, που συχνά αναφέρεται ως εικασία Έρντος-Τουράν, είναι μια εικασία στην αριθμητική συνδυαστική (δεν πρέπει να συγχέεται με την εικασία Έρντος-Τουράν για τις προσθετικές βάσεις). Δηλώνει ότι αν το άθροισμα των αμοιβαίων των μελών ενός συνόλου Α θετικών ακεραίων αποκλίνει, τότε το Α περιέχει αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους.

Τυπικά, η εικασία δηλώνει ότι αν το Α είναι ένα μεγάλο σύνολο με την έννοια ότι

$\sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}\ =\ \infty ,$

τότε το Α περιέχει αριθμητικές προόδους οποιουδήποτε μήκους, που σημαίνει ότι για κάθε θετικό ακέραιο k υπάρχει ένας ακέραιος a και ένας μη μηδενικός ακέραιος c τέτοιος ώστε $\{a,a{+}c,a{+}2c,\ldots ,a{+}kc\}\subset A$.

Το θεώρημα Γκριν-Τάο για τις αριθμητικές πρόοδους πρώτων αριθμών είναι μια ειδική περίπτωση αυτής της εικασίας.

Ιστορία

Το 1936, οι Έρντος και Τουράν διατύπωσαν την ασθενέστερη εικασία ότι κάθε σύνολο ακεραίων με θετική φυσική πυκνότητα περιέχει άπειρο αριθμό αριθμητικών προόδων 3 όρων. Αυτό αποδείχθηκε από τον Κλάους Ροθ το 1952 και γενικεύτηκε σε αυθαίρετα μεγάλες αριθμητικές προόδους από τον Ζεμερέντι το 1975 σε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως θεώρημα του Ζεμερέντι.

Σε μια ομιλία του 1976 με τίτλο «Στη μνήμη του φίλου και μόνιμου συνεργάτη μου Πολ Τουράν», ο Πολ Έρντος προσέφερε βραβείο 3000 δολαρίων ΗΠΑ για την απόδειξη αυτής της εικασίας Από το 2008 το πρόβλημα αξίζει 5000 δολάρια ΗΠΑ.

Πρόοδος και συναφή αποτελέσματα

Η εικασία του Έρντος για την αριθμητική πρόοδο μπορεί να θεωρηθεί ως μια ισχυρότερη εκδοχή του θεωρήματος του Ζεμερέντι. Επειδή το άθροισμα των αντίστροφων των πρώτων αριθμών αποκλίνει, το θεώρημα Γκριν-Τάο για την αριθμητική πρόοδο αποτελεί ειδική περίπτωση της εικασίας.

Ο ασθενέστερος ισχυρισμός ότι το Α πρέπει να περιέχει άπειρες αριθμητικές πρόοδους μήκους 3 είναι συνέπεια ενός βελτιωμένου ορίου στο θεώρημα του Ροθ. Μια εργασία του 2016 από τον Μπλουμ απέδειξε ότι αν $A\subset \{1,..,N\}$ δεν περιέχει καμία μη τετριμμένη αριθμητική πρόοδο τριών όρων τότε $|A|\ll N(\log {\log {N}})/\log {N}$.

Το 2020 μια προδημοσίευση των Μπλουμ και Σίσασκ βελτίωσε το όριο σε $|A|\ll N/(\log {N})^{1+c}$ για κάποια απόλυτη σταθερά $c>0$ .

Το 2023 βρέθηκε ένα νέο όριο του $\exp(-c(\log N)^{1/12})N$ από τους επιστήμονες υπολογιστών Κέλεϊ και Μέκα, με μια έκθεση που δόθηκε σε πιο οικεία μαθηματική γλώσσα από τους Μπλουμ και Σίσασκ, οι οποίοι έκτοτε βελτίωσαν τον εκθέτη του ορίου Κέλι-Μέκα σε $\beta =1/9$ και υπέθεσαν το $\beta =5/41$ σε ένα προτυπωμένο κείμενο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών

Δείτε επίσης

• Θεωρία αριθμών
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Φυσικός λογάριθμος
• Δεύτερη Εικασία Χάρντι-Λίτλγουντ
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• e (μαθηματική σταθερά)
• Πρώτος αριθμός
• Άρτιοι και περιττοί αριθμοί
• Δίδυμοι πρώτοι αριθμοί
• Γενικευμένη υπόθεση Ρίμαν
• Προβλήματα του Λαντάου
• Εικασία του Λεζάντρ
• Εικασία του Γκόλντμπαχ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Υπόθεση H του Σίνζελ
• Συνάρτηση Όιλερ
• Ευκλείδειος χώρος

Βιβλιογραφία

• Zhao, Yufei (31 Αυγούστου 2023). Graph Theory and Additive Combinatorics: Exploring Structure and Randomness. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-31094-9. 
• Fraser, Jonathan M. (29 Οκτωβρίου 2020). Assouad Dimension and Fractal Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47865-6. 
• PAULYMATH. Lulu.com. ISBN 978-1-365-68021-2. 
• Dodos, Pandelis· Kanellopoulos, Vassilis (16 Μαΐου 2016). Ramsey Theory for Product Spaces. American Mathematical Soc. ISBN 978-1-4704-2808-2. 
• Cholak, Peter (2000). Computability Theory and Its Applications: Current Trends and Open Problems : Proceedings of a 1999 AMS-IMS-SIAM Joint Summer Research Conference, Computability Theory and Applications, June 13-17, 1999, University of Colorado, Boulder. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1922-7. 
• Petersen, Karl E.· Petersen, Karl (23 Νοεμβρίου 1989). Ergodic Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38997-6. 
• Foreman, M. (25 Μαΐου 2000). Descriptive Set Theory and Dynamical Systems. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78644-7. 
• Prömel, Hans Jürgen (4 Δεκεμβρίου 2013). Ramsey Theory for Discrete Structures. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-319-01315-2. 
• Zhao, Yufei (31 Αυγούστου 2023). Graph Theory and Additive Combinatorics: Exploring Structure and Randomness. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-31094-9. 
• Fischer, Felix· Johnson, Robert (13 Ιουνίου 2024). Surveys in Combinatorics 2024. Cambridge University Press. ISBN 978-1-009-49054-2. 
• Wigderson, Avi (29 Οκτωβρίου 2019). Mathematics and Computation: A Theory Revolutionizing Technology and Science. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-19254-3. 

Παραπομπές

• P. Erdős: Résultats et problèmes en théorie de nombres, Séminaire Delange-Pisot-Poitou (14e année: 1972/1973), Théorie des nombres, Fasc 2., Exp. No. 24, pp. 7,
• P. Erdős and P. Turán, On some sequences of integers, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.
• P. Erdős: Problems in number theory and combinatorics, Proc. Sixth Manitoba Conf. on Num. Math., Congress Numer. XVIII(1977), 35–58.
• P. Erdős: On the combinatorial problems which I would most like to see solved, Combinatorica, 1(1981), 28.
• Brian H. Mayoh: On the second Goldbach conjecture. In: Nordisk Tidskrift for Informationsbehandling. Band 6, 1966, S. 48–50 (MR0194405).
• John O. Kiltinen, Peter B. Young: Goldbach, Lemoine, and a know/don’t know problem. In: Mathematics Magazine. Band 58, 1985, S. 195–203 (MR0801144).
• Pollack, Paul (2008). «An explicit approach to hypothesis H for polynomials over a finite field». Στο: De Koninck, Jean-Marie· Granville, Andrew· Luca, Florian, επιμ. Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13–17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes. 46. Providence, RI: American Mathematical Society. σελίδες 259–273. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1187.11046. 

Πηγές

• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0 
• Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9 
• Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7 
• Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0. 
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0