Ευκλείδεια μετρική: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
καμία σύνοψη επεξεργασίας
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
==Ορισμός==
Η '''ευκλείδεια [[μετρική]]''' ορίζεταιείναι ωςμία εξήςσυνάρτηση:
<math> d:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n\longrightarrow \mathbb{R}\,</math> που αντιστοιχεί σε δύο [[διανύσματα]] <math>\mathbf{x}, \mathbf{y}\,</math>του <math>n-</math>διάστατου [[διανυσματικού χώρου]] <math>\mathbb{R}^n\,</math>, <math>\mathbf{x}=\{x_1, \dots, x_n\}, \mathbf{y}=\{y_1, \dots, y_n\}\,</math> τον αριθμό
<center><math>d(\mathbf{x},\mathbf{y})=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2+\dots + (y_n-x_n)^2}= \sqrt{\sum_{i=1}^n (y_i-x_i)^2}.</math></center> Η συνάρτηση μετράει τη "συνήθη"(Ευκλείδεια) απόσταση μεταξύ δύο σημείων στον επίπεδο , <math>n-</math>διάστατο χώρο κάνοντας επανειλημμένη χρήση του [[Πυθαγόρειου θεωρήματος]].
 
==Ειδικές Περιπτώσεις==
<center><math> d:\mathbb{R}^2\longrightarrow \mathbb{R}</math></center>
===Μία διάσταση===
<center><math> \forall x=(x_1,x_2),y=(y_1,y_2)</math> <math>d(x,y)=\sqrt{(y_1-x_1)^2+(y_2-x_2)^2}</math></center>
Εφαρμόζοντας τον παραπάω τύπο για δύο μονοδιάστατα σημεία <math>P=(p_x)\,</math> και <math>Q=(q_x)\,</math>, η Ευκλείδεια απόσταση είναι:
 
:<math>\sqrt{(p_x-q_x)^2} = | p_x-q_x |</math>
===Δύο διαστάσεις===
Για δύο διδιάστατα σημεία στο επίπεδο, <math>P=(p_x,p_y)\,</math> και <math>Q=(q_x,q_y)\,</math>, η Ευκλείδεια απόσταση είναι:
 
:<math>\sqrt{(p_x-q_x)^2 + (p_y-q_y)^2}</math>
{{Μαθηματικά-επέκταση}}
 
Το παραπάνω αποτέλεσμα μπορεί να εκφραστεί σε [[πολικές συντεταγμένες]], κάνοντας χρήση του μετασχηματισμού <math>P=(r_1, \theta_1)\,</math> και <math>Q=(r_2, \theta_2)\,</math>, ως:
[[Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση]]
 
:<math>\sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2 r_1 r_2 \cos(\theta_1 - \theta_2)}</math>
9

επεξεργασίες

Μενού πλοήγησης