Συνάρτηση γάμμα

H συνάρτηση γάμμα στους πραγματικούς

Απόλυτη τιμή της συνάρτησης γάμμα

H συνάρτηση γάμμα ορίζεται στο πεδίο $\,H(0)=\{z:Re(z)>0\}$ σύμφωνα με:

$\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt.$

H συνάρτηση γάμμα ικανοποιεί την συναρτηρησιακή σχέση:

$\,z\Gamma (z)=\Gamma (z+1).$

Από τη σχέση αυτή και από $\Gamma (1)=1$ προκύπτει $\Gamma (n+1)=n!,n\in \mathbb {N}$. Για το λόγο αυτό η συνάρτηση γάμμα θεωρείται επέκταση του παραγοντικού.

Εφαρμόζοντας την συναρτηρησιακή σχέση $n+1$ φορές προκύπτει:

$\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}}.$

To δεξί μέρος της εξίσωσης ορίζει μία μερομορφική συνάρτηση στο $\,\{z:Re(z)>-n-1\}$ με πόλους πρώτου βαθμού στα $z=-k,k=0,1,\dots ,n$. Σύμφωνα με αυτή τη σχέση η συνάρτηση γάμμα συνεχίζεται αναλυτικά σε μία μερομορφική συνάρτηση σε όλο το $\mathbb {C}$ με πόλους πρώτου βαθμού στα $z=-n,n\in \mathbb {N} _{0}$.

Μια ιδιότητα της συνάρτησης Γάμμα,χρήσιμη σε διάφορες εφαρμογές των Μαθηματικών,της Φυσικής και άλλων επιστημών είναι η εξής:

$\,\Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi \over \sin \pi z}$

Επίσης:

${\Gamma (p) \over a^{p}}=\int _{0}^{\infty }e^{-ax}x^{p-1}\,dx={\mathcal {L}}[x^{p-1}]$ ο μετασχηματισμός Laplace,με a και p θετικούς αριθμούς

Εφαρμογές

• Στατιστική: H συνάρτηση γάμμα εμφανίζεται σε πολλες κατανομές, όπως η γάμμα και η βήτα.

• Θεωρία αριθμών: H συνάρτηση γάμμα εμφανίζεται στη συναρτηρησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα.