Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Κλάσμα»

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
4.989 bytes προστέθηκαν ,  πριν από 11 μήνες
προσθήκη ορολογιών: ισοδύναμα κλάσματα, ανάγωγο κλάσμα, μετατροπή δύο ετερόσημων κλασμάτων σε ομώνυμα
(προσθήκη ορολογιών: ισοδύναμα κλάσματα, ανάγωγο κλάσμα, μετατροπή δύο ετερόσημων κλασμάτων σε ομώνυμα)
'''Κλάσμα''' ονομάζεται στα μαθηματικά η έννοια του κομματιού, του μέρους ενός συνόλου. Επίσης εκφράζει τον [[Λόγος (μαθηματικά)|λόγο]] δύο μεγεθών, στον οποίο {{ασαφές|δυο αριθμοί συσχετίζονται σε μια σχέση διαφορετικών συνόλων }}, αντί για μια συγκριτική συσχέτιση μεταξύ ποσοτήτων.<ref>(Gellert, W. (1977). The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics.</ref> Αποτελείται από δυο τμήματα, τον ''αριθμητή'' που βρίσκεται πάνω από τη ''γραμμή κλάσματος'' και τον ''παρονομαστή'' που βρίσκεται στο κάτω μέρος· ο αριθμητής και ο παρονομαστής λέγονται ''όροι του κλάσματος''. Οι όροι μπορεί να είναι οποιοιδήποτε ακέραιοι αριθμοί, θετικοί ή αρνητικοί, με μοναδικό περιορισμό ότι ο παρονομαστής δεν μπορεί ποτέ να είναι [[μηδέν]]. Το κλάσμα ουσιαστικά είναι μια μορφή [[μαθηματική αναπαράσταση|αναπαράστασης]] του πηλίκου της [[διαίρεση]]ς δυο αριθμών, του αριθμητή δια του παρονομαστή. Έτσι, μπορεί η [[αριθμητική τιμή|αριθμητική του τιμή]] να ισούται με έναν [[ακέραιος αριθμός|ακέραιο]] ή έναν [[δεκαδικός αριθμός|δεκαδικό αριθμό]]. Το κλάσμα είναι [[ρητός αριθμός]]. Το σύνθετο κλάσμα είναι ένα κλάσμα το οποίο για όρους έχει δυο άλλα κλάσματα.
 
Όπως και όλοι οι αριθμοί, τα κλάσματα μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν, να πολλαπλασιαστούν και να διαιρεθούν. Ειδικοί κανόνες ισχύουν για την [[πρόσθεση]] και την [[αφαίρεση]], όπου για να μπορέσει να εκτελεστεί η πράξη πρέπει τα κλάσματα να είναι ''ομώνυμα'', δηλαδή να έχουν ίδιο παρονομαστή, κάτι που πετυχαίνεταιεπιτυγχάνεται με πολλαπλασιασμό των όρων των κλασμάτων με τον κατάλληλο αριθμό ώστε οι παρονομαστές να γίνουν ίσοι με το [[ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο]] τους. Ο [[πολλαπλασιασμός]] γίνεται με πολλαπλασιασμό των ομόλογων όρων (αριθμητές με αριθμητές, παρονομαστές με παρονομαστές) ενώ η [[διαίρεση]] μέσω της [[απλοποίηση σύνθετου κλάσματος|απλοποίησης σύνθετου κλάσματος]] ή, πιο απλά, με πολλαπλασιασμό με το αντίστροφο του κλάσματος που αποτελεί το διαιρέτη.
 
== Ορολογία ==
Δύο διαφορετικά κλάσματα είναι δυνατόν να εκφράζουν την ίδια αριθμητική ποσότητα. Για παράδειγμα τα κλάσματα <math>\frac{1}{2}</math> και <math>\frac{2}{4}</math> εκφράζουν την ίδια αριθμητική ποσότητα (το μισό της μονάδας). Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα κατανοητό με το παράδειγμα της τούρτας. Στην πρώτη περίπτωση, το κλάσμα <math>\frac{1}{2}</math> εκφράζει το γεγονός ότι κόψαμε την τούρτα σε δύο κομμάτια, αλλά πήραμε το ένα, ενώ στη δεύτερη περίπτωση κόψαμε την τούρτα σε 4 κομμάτια και πήραμε τα δύο. Και στις δύο περιπτώσεις καταλήγουμε με την ίδια ποσότητα τούρτας. Αυτού του είδους τα κλάσματα λέγονται '''ισοδύναμα κλάσματα'''. Είναι προφανές ότι άπειρα κλάσματα που είναι ισοδύναμα μεταξύ τους. Ακολουθώντας το προηγούμενο παράδειγμα θα μπορούσαμε να πούμε ότι όλα τα κλάσματα <math>\frac{1}{2}, \frac{2}{4}, \frac{3}{6},\dots, \frac{100}{200}, \dots</math> είναι ισοδύναμα μεταξύ τους. Για αυτό το λόγο ορίζουμε το λεγόμενο '''[[ανάγωγο κλάσμα]]'''. Ένα κλάσμα ονομάζεται ανάγωγο όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής δεν έχουν άλλο κοινό διαιρέτη εκτός από τη μονάδα (είναι δηλαδή [[Σχετικά πρώτοι|πρώτοι μεταξύ τους]]). Κάθε κλάσμα μπορούμε να το μετατρέψουμε σε ανάγωγο με τη διαδικασία της απλοποίησης. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το [[Μέγιστος κοινός διαιρέτης|Μέγιστο Κοινό Διαιρέτη]] τους. Για παράδειγμα το κλάσμα <math>\frac{6}{15}</math> δεν είναι ανάγωγο αφού ΜΚΔ(6,15)=3. Διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με τον αριθμό 3 προκύπτει το κλάσμα <math>\frac{6}{15}=\frac{6\div3}{15\div3}=\frac{2}{5}</math>. Το κλάσμα <math>\frac{2}{5}</math> είναι ίσο με το αρχικό κλάσμα και είναι ανάγωγο.
 
Τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή ονομάζονται '''ομώνυμα'''. Τα κλάσματα που δεν είναι ομώνυμα λέγονται '''ετερώνυμα'''. Για παράδειγμα τα κλάσματα <math>\frac{1}{4}, \frac{3}{4}</math> είναι ομώνυμα, ενώ τα κλάσματα <math>\frac{1}{4}, \frac{1}{5}</math> είναι ετερώνυμα.
 
Αν δύο κλάσματα δεν είναι ομώνυμα τότε μπορούμε να βρούμε δύο κλάσματα ισοδύναμα με αυτά που να είναι ομώνυμα. Για να γίνει αυτό ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα:
 
# Υπολογίζουμε το [[Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο|Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο]] των δύο παρονομαστών.
# Διαιρούμε το ΕΚΠ των δύο παρονομαστών με τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. Με τον αριθμό που προκύπτει πολλαπλασιάζουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος. (Ο αριθμός αυτός τοποθετείται συνήθως πάνω από το πρώτο κλάσμα μέσα σε ένα "καπελάκι")
# Διαιρούμε το ΕΚΠ των δύο παρονομαστών με τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. Με τον αριθμό που προκύπτει πολλαπλασιάζουμε και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος. (Ο αριθμός αυτός τοποθετείται συνήθως πάνω από το δεύτερο κλάσμα μέσα σε ένα "καπελάκι")
 
Για παράδειγμα αν μας δοθούν τα κλάσματα <math>\frac{5}{6}</math> και <math>\frac{4}{15}</math>, τα αντίστοιχα ομώνυμα κλάσματα προκύπτουν ως εξής: Αρχικά υπολογίζουμε το ΕΚΠ(6,15)=30. Αυτό σημαίνει ότι θα πολλαπλασιάσουμe τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον αριθμό <math>30\div6 = 5</math>. Έτσι προκύπτει το ισοδύναμο κλάσμα <math>\frac{25}{30}</math>. Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία, πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τον αριθμό <math>30\div15 = 2</math>. Έτσι προκύπτει το ισοδύναμο κλάσμα <math>\frac{8}{30}</math>. Η διαδικασία αυτή εφαρμόζεται όταν θέλουμε να συγκρίνουμε δύο ετερώνυμα κλάσματα (δηλαδή να βρούμε πιο κλάσμα είναι μεγαλύτερο) ή όταν θέλουμε να προσθέσουμε/αφαιρέσουμε δύο κλάσματα.
 
Τα κλάσματα που έχουν τον ίδιο παρονομαστή ονομάζονται ''ομώνυμα''. Τα κλάσματα που δεν είναι ομώνυμα λέγονται ''ετερώνυμα''. Αν δύο κλάσματα δεν είναι ομώνυμα τότε μπορούμε να βρούμε δύο κλάσματα ισοδύναμα με αυτά που να είναι ομώνυμα. Η εργασία είναι απλή: πολλαπλασιάζουμε τους όρους κάθε κλάσματος με τον παρονομαστή του άλλου. Από δύο ομώνυμα κλάσματα μεγαλύτερο είναι αυτό που έχει τον μεγαλύτερο αριθμητή. Με ετερώνυμα κλάσματα μπορούμε να κάνουμε μόνο [[πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμό]] και [[διαίρεση]]. Για να κάνουμε πρόσθεση ή αφαίρεση κλασμάτων
[[Κατηγορία:Αριθμοί]]
[[Κατηγορία:Στοιχειώδης αριθμητική]]
Ανώνυμος χρήστης

Μενού πλοήγησης