Σώμα (άλγεβρα): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
μ προστέθηκε η Κατηγορία:Αλγεβρικές δομές (με το HotCat) |
Προσθήκη της ετικέτας <math> σε κάποιους τύπους για να είναι πιο ευανάγνωστοι. |
||
Γραμμή 12: | Γραμμή 12: | ||
*<math>a+0=a, \forall a\in\mathbb{F}</math> για κάθε <math>a</math> που ανήκει στο <math>\mathbb{F}</math>, και |
*<math>a+0=a, \forall a\in\mathbb{F}</math> για κάθε <math>a</math> που ανήκει στο <math>\mathbb{F}</math>, και |
||
*<math>\forall a\in\mathbb{F}, \exists b\in\mathbb{F}\ s.t.\ a+b=0</math> (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0). |
*<math>\forall a\in\mathbb{F}, \exists b\in\mathbb{F}\ s.t.\ a+b=0</math> (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0). |
||
#a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η [[αντιμεταθετική ιδιότητα]] στο F |
#<math>a+b=b+a</math> Δηλαδή να ισχύει η [[αντιμεταθετική ιδιότητα]] στο F |
||
#(a*b)*c=a*(b*c) |
#<math>(a*b)*c=a*(b*c)</math> |
||
#Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1. |
#Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1. |
||
#a*b=b*a |
#<math>a*b=b*a</math> |
||
#a*(b+c)=a*b+a*c |
#<math>a*(b+c)=a*b+a*c</math> |
||
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το [[ρητός αριθμός|<math>\mathbb{Q}</math>]] και το [[πραγματικοί αριθμοί|<math>\mathbb{R}</math>]] και το σώμα των [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικών αριθμών]] <math>\mathbb{C}</math>. |
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το [[ρητός αριθμός|<math>\mathbb{Q}</math>]] και το [[πραγματικοί αριθμοί|<math>\mathbb{R}</math>]] και το σώμα των [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικών αριθμών]] <math>\mathbb{C}</math>. |
Έκδοση από την 17:10, 27 Ιουλίου 2019
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Πρότυπο:Επιστημονικό πεδίο Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο (από το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο , οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
- (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε
- για κάθε που ανήκει στο , και
- (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).
- Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
- Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το και το και το σώμα των μιγαδικών αριθμών . Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει τέτοιο ώστε a* =1.
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b* και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.
Ένας δακτύλιος καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :
- Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
- Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο ώστε για κάθε
- Για κάθε υπάρχει στοιχείο του το οποίο συμβολίζουμε με τέτοιο ώστε
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών , καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.
Υπόσωμα
Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης: α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |