Αρμονική συνάρτηση

Στα μαθηματικά, τη μαθηματική φυσική και στη θεωρία των στοχαστικών διαδικασιών, μια αρμονική συνάρτηση είναι μια διπλά συνεχής διαφορική συνάρτηση f:U→R (όπου U ένα ανοικτό υποσύνολο του Rⁿ), η οποία ικανοποιεί την εξίσωση Λαπλας π.χ

${\partial ^{2}f \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial x_{2}^{2}}+...+{\partial ^{2}f \over \partial x_{n}^{2}}=0$ ,παντού στο U.

Αυτό συνήθως γράφεται ως: $\nabla \ ^{2}f=0$ ή $\bigtriangleup f=0$.

Ετυμολογία του όρου "αρμονική"

Ο όρος "αρμονική" στην ονομασία αρμονική συνάρτηση προέρχεται από την αρμονική κίνηση στην οποία υποβάλλεται ένα σημείο σε μια τεντωμένη χορδή. Η λύση της διαφορικής εξίσωσης για αυτόν τον τύπο κίνησης μπορεί να εκφραστεί με όρους ημιτόνων και συνημιτόνων, συναρτήσεις δηλαδή που αναφέρονται ως αρμονικές. Η ανάλυση Φουριέ περιλαμβάνει επεκταμένες περιοδικές συναρτήσεις στο μοναδιαίο κύκλο με όρους μιας σειράς αυτών των αρμονικών συναρτήσεων. Αναλογιζόμενοι υψηλότερης τάξης αναλογίες των αρμονικών στη μοναδιαία n-σφαίρα, έχουμε τις σφαιρικές αρμονικές. Οι συναρτήσεις αυτές ικανοποιούν την εξίσωση του Λαπλάς, για αυτό και με την πάροδο του χρόνου, ο όρος "αρμονική" κατέληξε να αναφέρεται σε όλες τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την εξίσωση Λαπλάς.

Παραδείγματα

Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων με δύο μεταβλητές είναι:

• Το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης
• Η συνάρτηση $\,\!f(x,y)=e^{x}\sin y$, αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του παραπάνω παραδείγματος, καθώς $f(x,y)=\operatorname {Im} (e^{x+iy})$ και να $e^{x+iy}$ είναι ολόμορφη συνάρτηση.
• Η συνάρτηση

$\,\!f(x_{1},x_{2})=\ln(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})$

ορίζεται $\mathbb {R} ^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace$ (π. χ. το ηλεκτρικό δυναμικό που οφείλεται σε μια γραμμή, και το δυναμικό βαρύτητας που οφείλεται σε μια μεγάλη κυλινδρική μάζα).

Παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων τριών μεταβλητών δίνονται στον παρακάτω πίνακα με $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$:

Συνάρτηση	Σημείο Ανωμαλίας
${\frac {1}{r}}$	Μοναδιαίο σημειακό φορτίο στην αρχή των αξόνων
${\frac {x}{r^{3}}}$	x-προσανατολισμένο δίπολο στην αρχή των αξόνων
$-\ln(r^{2}-z^{2})\,$	Ευθεία μοναδιαίας πυκνότητας φορτίου σε ολόκληρο το z-άξονα
$-\ln(r+z)\,$	Ευθεία μοναδιαίας πυκνότητας φορτίου στον αρνητικό z-άξονα
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	Ευθεία x-προσανατολισμένων διπόλων σε ολόκληρο τον άξονα z
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	Ευθεία x-προσανατολισμένων διπόλων στον αρνητικό άξονα z

Αρμονικές συναρτήσεις που προκύπτουν στη φυσική προσδιορίζονται από τα ανώμαλα σημεία και τις συνοριακές συνθήκες (όπως είναι οι οριακές συνθήκες Dirichlet ή οι Neumann οριακές συνθήκες). Στις περιοχές χωρίς όρια, προσθέτοντας το πραγματικό ή το φανταστικό μέρος κάθε συνάρτησης παράγεται μια αρμονική συνάρτηση με το ίδιο ανώμαλο σημείο. Σε αυτή την περίπτωση, η αρμονική συνάρτηση δεν καθορίζεται από το ανώμαλο σημείο της, ωστόσο, μπορούμε να κάνουμε τη λύση μοναδική  σε φυσικές καταστάσεις, απαιτώντας ότι η λύση τείνει στο 0, τείνοντας στο άπειρο. Η μοναδικότητα προκύπτει από το θεώρημα του Liouville.

Τα ανώμαλα σημεία των παραπάνω αρμονικών συναρτήσεων εκφράζονται ως "φορτία" και "πυκνότητες φορτίων" χρησιμοποιώντας την ορολογία της ηλεκτροστατικής. Έτσι η αντίστοιχη αρμονική συνάρτηση θα είναι ανάλογη με το ηλεκτροστατικό δυναμικό λόγω αυτών των κατανομών του φορτίου. Κάθε ανωτέρω συνάρτηση όταν πολλαπλασιαστεί με μια σταθερά, που περιστρέφεται, ή/και μια σταθερά που προστίθεται, θα παράξει μια άλλη αρμονική συνάρτηση. Η αντιστροφή κάθε συνάρτησης, θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση η οποία έχει ανώμαλα σημεία της εικόνες των αρχικών ανώμαλων σημείων σε ένα σφαιρικό "καθρέφτη". Ακόμη, το άθροισμα δύο αρμονικών συναρτήσεων θα δώσει άλλη μια αρμονική συνάρτηση.

Τέλος, παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων n μεταβλητών είναι:

• Οι σταθερές, γραμμικές και συναφής συναρτήσεις σε όλο το Rⁿ (για παράδειγμα, το ηλεκτρικό δυναμικό μεταξύ των πλακών του πυκνωτή, και η βαρύτικό δυναμικό της πλάκας)
• Η συνάρτηση$\,\!f(x_{1},\dots ,x_{n})=({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2})^{1-n/2}$ στο $\mathbb {R} ^{n}\setminus \lbrace 0\rbrace$ για n > 2.

Παρατηρήσεις

Το σύνολο των αρμονικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα ανοικτό δοσμενο σύνολο U μπορεί να θεωρηθεί ως ο πυρήνας ενός τελεστή Λαπλας Δ και για το λόγο αυτό αποτελεί διανυσματικό χώρο πάνω στο R; το άθροισμα, η διαφορά και το βαθμωτό γινόμενο αρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης αρμονικά.

Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση στο σύνολο U, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι της f θα είναι αρμονικές συναρτήσεις στο U.

Κατά κάποιο τρόπο, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των ολομορφικών συναρτήσεων.

Όλες οι αρμονικές συναρτήσεις είναι αναλυτικές, μπορούν δηλαδή να εκφραστούν τοπικά σα δυναμοσειρές. Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας για τους ελλειπτικούς τελεστές, μεγαλύτερο παράδειγμα των οποίων αποτελεί ο τελεστής Λαπλας.

Το ομοιόμορφο όριο μιας συγκλίνουσας ακολουθίας αρμονικών συναρτήσεων είναι κι αυτό αρμονικό. Αυτό ισχύει καθώς κάθε συνεχής συνάρτηση που ικανοποιεί την ιδιότητα της μέσης τιμής είναι αρμονική.

Ας εξεταστεί η ακολουθία $fn(x,y)={1 \over n}\exp(nx)\cos(ny)$ , ορισμένη στο $(-\infty ,0)\times R$. Η ακολουθία αυτή είναι αρμονική και συγκλίνει ομοιόμορφα στη μηδενική συνάρτηση. Παρ' όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι οι μερικές παράγωγοι της δεν συγκλίνουν στη μηδενική συνάρτηση(δηλαδή την παράγωγο της μηδενικής συνάρτησης). Με το παράδειγμα αυτό τονίζεται η σημασία που παίζει η ιδιότητα της μέσης τιμής και η συνέχεια για να υποστηριχθεί ότι το όριο είναι αρμονικό.

Σύνδεση με τη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων

Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος κάθε ολόμορφης συνάρτησης δίνουν αρμονικές συναρτήσεις στον R² (αυτές αποτελούν ένα ζευγάρι σηζυγών αρμονικών συναρτήσεων). Αντιστρόφως, κάθε αρμονική συνάρτηση u σε ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του R² είναι τοπικά το πραγματικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης. Αυτό είναι άμεσα αντιληπτό παρατηρώντας την z = x + iy. Η μιγαδική συνάρτηση g(z) := u_x − i u_y είναι ολόμορφη στο Ω επειδή ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Ως εκ τούτου, το g έχει τοπικά μια παράγουσα f, και το u είναι το πραγματικό μέρος της f πάνω σε μια σταθερά, όπως το u_x είναι το πραγματικό μέρος της $\scriptstyle f\,^{\prime }=g$ .

Αν και η παραπάνω αντιστοιχία με τις ολόμορφες συναρτήσεις ισχύει μόνο για συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών, αρμονικές συναρτήσεις με n μεταβλητές εξακολουθούν να έχουν μια σειρά από ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις ολόμορφες συναρτήσεις. Είναι αναλυτικές, ικανοποιούν την αρχή του μεγίστου και της μέσης τιμής.Το θεώρημα της απαλοιφής των ανώμαλων σημείων καθώς και το θεώρημα Liouville ισχύει και για αυτές κατ ' αναλογία με τα αντίστοιχα θεωρήματα στη θεωρία των μιγαδικών συναρτήσεων.

Ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων

Κάποιες σημαντικές ιδιότητες των αρμονικών συναρτήσεων μπορούν να εξαχθούν από την εξίσωση του Λαπλάς.

Θεώρημα Κανονικότητας για αρμονικές συναρτήσεις

Οι αρμονικές συναρτήσεις είναι απείρως διαφορίσιμες. Για την ακρίβεια, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις αναλυτικές.

Αρχή του Μεγίστου

Οι αρμονικές συναρτήσεις ικανοποιούν την παρακάτω αρχή μεγίστου: εάν Κ είναι ένα συμπαγές υποσύνολο του U, τότε η συνάρτηση f, περιορισμένη στο Κ, παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή της στο σύνορο του Κ. Εάν to U είναι συνεκτικό, τότε η f δεν μπορεί να έχει τοπικά ακρότατα, εκτός από την εξαιρετική περίπτωση όπου η f είναι σταθερή.

Ιδιότητα της Μέσης Τιμής

Εάν B(x, r) είναι μια μπάλα με κέντρο το x και ακτίνα r , η οποία περιέχεται εξ'ολοκλήρου μέσα σε ένα ανοιχτό σύνολο Ω ⊂ Rⁿ , τότε η τιμή u(x) μιας αρμονικής συνάρτησης u: Ω → R στο κέντρο της μπάλας προκύπτει από το μέσο όρο των τιμών της u στην επιφάνεια της μπάλας. Αυτή η μέση τιμή ισούται επίσης με τη μέση τιμή της u στο εσωτερικό της μπάλας. Με άλλα λόγια

$u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$,

όπου ω_n είναι ο όγκος της μοναδιαίας σφαίρας σε n διαστάσεις και σ είναι το n-1 διάστατο επιφανειακό μέτρο.

Αντίστροφα, όλες οι τοπικά ολοκληρώσιμες συναρτήσεις που ικανοποιούν την ιδιότητα της μέσης τιμής, είναι και απείρως παραγωγίσιμες και αρμονικές.

Με όρους συνελίξεων, εάν

$\chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}$

συμβολίζει τη χαρακτηριστική συνάρτηση μιας μπάλας, με ακτίνα r και κέντρο την αρχή των αξόνων, κανονικοποιημένης έτσι ώστε $\scriptstyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1$, τότε η συνάρτηση f είναι αρμονική αν και μόνον εάν

$u(x)=u*\chi _{r}(x)\;$, όταν B(x, r) ⊂ Ω.

Properties of harmonic functions

Some important properties of harmonic functions can be deduced from Laplace's equation.

Regularity theorem for harmonic functions

Harmonic functions are infinitely differentiable. In fact, harmonic functions are real analytic.

Maximum principle

Harmonic functions satisfy the following maximum principle: if K is any compact subset of U, then f, restricted to K, attains its maximum and minimum on the boundary of K. If U is connected, this means that f cannot have local maxima or minima, other than the exceptional case where f is constant. Similar properties can be shown for subharmonic functions.

The mean value property

If B(x, r) is a ball with center x and radius r which is completely contained in the open set Ω ⊂ Rⁿ, then the value u(x) of a harmonic function u: Ω → R at the center of the ball is given by the average value of u on the surface of the ball; this average value is also equal to the average value of u in the interior of the ball. In other words

$u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV$

where ω_n is the volume of the unit sphere in n dimensions and σ is the n-1 dimensional surface measure .

Conversely, all locally integrable functions satisfying the (volume) mean-value property are both infinitely differentiable and harmonic.

In terms of convolutions, if

$\chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}$

denotes the characteristic function of the ball with radius r about the origin, normalized so that $\scriptstyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1$, the function u is harmonic on Ω if and only if

$u(x)=u*\chi _{r}(x)\;$

as soon as B(x, r) ⊂ Ω.

Sketch of the proof. The proof of the mean-value property of the harmonic functions and its converse follows immediately observing that the non-homogeneous equation, for any 0 < s < r

$\Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}\;$

admits an easy explicit solution w_r,s of class C^1,1 with compact support in B(0, r). Thus, if u is harmonic in Ω

$0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}\;$

holds in the set Ω_r of all points x in $\Omega$ with $\mathrm {dist} (x,\partial \Omega )>r$ .

Since u is continuous in Ω, u*χ_r converges to u as s → 0 showing the mean value property for u in Ω. Conversely, if u is any $L_{\mathrm {loc} }^{1}\;$ function satisfying the mean-value property in Ω, that is,

$u*\chi _{r}=u*\chi _{s}\;$

holds in Ω_r for all 0 < s < r then, iterating m times the convolution with χ_r one has:

$u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},$

so that u is $C^{m-1}(\Omega _{mr})\;$ because the m-fold iterated convolution of χ_r is of class $C^{m-1}\;$ with support B(0, mr). Since r and m are arbitrary, u is $C^{\infty }(\Omega )\;$ too. Moreover

$\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0\;$

for all 0 < s < r so that Δu = 0 in Ω by the fundamental theorem of the calculus of variations, proving the equivalence between harmonicity and mean-value property.

This statement of the mean value property can be generalized as follows: If h is any spherically symmetric function supported in B(x,r) such that ∫h = 1, then u(x) = h * u(x). In other words, we can take the weighted average of u about a point and recover u(x). In particular, by taking h to be a C^∞ function, we can recover the value of u at any point even if we only know how u acts as a distribution. See Weyl's lemma.

Harnack's inequality

Let u be a non-negative harmonic function in a bounded domain Ω. Then for every connected set

$V\subset {\overline {V}}\subset \Omega ,$

Harnack's inequality

$\sup _{V}u\leq C\inf _{V}u$

holds for some constant C that depends only on V and Ω.

Removal of singularities

The following principle of removal of singularities holds for harmonic functions. If f is a harmonic function defined on a dotted open subset $\scriptstyle \Omega \,\setminus \,\{x_{0}\}$ of Rⁿ , which is less singular at x₀ than the fundamental solution, that is

$f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},$

then f extends to a harmonic function on Ω (compare Riemann's theorem for functions of a complex variable).

Liouville's theorem

If f is a harmonic function defined on all of Rⁿ which is bounded above or bounded below, then f is constant (compare Liouville's theorem for functions of a complex variable).

Edward Nelson gave a particularly short proof of this theorem, using the mean value property mentioned above:

Given two points, choose two balls with the given points as centers and of equal radius. If the radius is large enough, the two balls will coincide except for an arbitrarily small proportion of their volume. Since f is bounded, the averages of it over the two balls are arbitrarily close, and so f assumes the same value at any two points.