Συνάρτηση Μπέσελ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
μ
Διόρθωση συντακτικών λαθών του κώδικα με τη χρήση AWB (11457)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
μ (Διόρθωση συντακτικών λαθών του κώδικα με τη χρήση AWB (11457))
 
==Εφαρμογές των συναρτήσεων Μπέσελ==
Η συνάρτηση του Μπέσελ προκύπτει όταν βρίσκουμε ξεχωριστές λύσεις στην [[Εξίσωση Λαπλάς]] και στην [[Εξίσωση Χέλμχολτς]] σε κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες. Οι συναρτήσεις Μπέσελ είναι ως εκ τούτου ιδιαίτερα σημαντικές για πολλά προβλήματα της διάδοσης των κυμάτων και των στατικών δυναμικών. Μέσα από την επίλυση προβλημάτων σε κυλινδρικές συντεταγμένες, προκύπτουν οι συναρτήσεις Μπέσελ ακέραιας τάξης (α = ''n''), ενώ σε σφαιρικές συντεταγμένες προκύπτουν ημιακέραιας τάξης (α = ''n''+1/2). Για παράδειγμα:
* Τα [[Ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία|Ηλεκτρομαγνητικά κύματα]] μέσω ενός κυλινδρικού [[κυματοδηγός|κυματοδηγού]]
* Το πλάτος πίεσης σε περιστρεφόμενα ρευστά χωρίς ιξώδες
==={{anchor|Bessel functions of the second kind}}Συναρτήσεις Μπέσελ δεύτερου είδους: ''Y''<sub>α</sub>===
 
Οι συναρτήσεις Μπέσελ δευτέρου είδους, συμβολίζονται με ''Y''<sub>α</sub>(''x''), ενίοτε συμβολίζονται αντί αυτού με ''N''<sub>α</sub>(''x''), είναι λύσεις της Μπέσελ διαφορικής εξίσωσης οι οποίες είναι μοναδικές ως προς την αρχή (''x'' = 0) και είναι [[ πολλαπλές συναρτήσεις]]. Αυτές κάποιες φορές ονομάζονται '''συναρτήσεις Βέμπερ''' καθώς εισήχθησαν από τον {{harvs|txt|authorlink=Heinrich Martin Weber|first=H.|last=Weber|year=1873}}, και επίσης '''συναρτήσεις Νόημαν''' μετά τον [[Καρλ Νόημαν]].
 
[[Image:Bessel Functions (2nd Kind, n=0,1,2).svg|thumb|300px|right|Γραφική παράσταση της συνάρτησης Μπέσελ δευτέρου είδους, ''Y''<sub>α</sub>(''x''), για τους ακέραιους α = 0, 1, 2.]]
όπου ''i'' είναι το [[φανταστικό μέρος]]. Αυτοί οι γραμμικοί συνδυασμοί είναι επίσης γνωστοί ως ''' συναρτήσεις Bessel τρίτου τύπου'''; αυτές είναι δύο γραμμικά ανεξάρτητες λύσεις της διαφορικής εξίσωσης του Μπέσσελl. Πήραν το όνομα του [[Χέρμαν Χάνκελ]].
 
Η σημαντικότητα των συναρτήσεων του Χάνκελ πρώτου και δεύτερου τύπου εξαπλώνεται κυρίως στην θεωρητική ανάπτυξη παρά την εφαρμογή. Αυτές οι μορφές των γραμμικών συνδυασμών ικανοποιούν πολυάριθμες απλές αναζητήσεις υπάρχοντών θεμάτων, όπως ο ασυμπτωτικός τύπος ή οι ακέραιες αναπαραστάσεις. Εδώ, 'απλές' σημαίνει μια εμφάνιση από έναν παράγοντα της μορφής ''e<sup>if(x)</sup>''. Η συνάρτηση Μπέσελ δεύτερου τύπου όταν μπορεί να θεωρηθεί ως φυσιολογική εμφανίζεται ως το φανταστικό μέρος των συναρτήσεων Χάνκελ.
 
Οι συναρτήσεις Χάνκελ συνηθίζετε να εκφράζουν εξωτερικά και εσωτερικά πολλαπλάσια κυλινδρικών λύσεων των κυμάτων της κυλινδρικής εξίσωσης του κύματος, αντίστοιχα ( ή ισοδύναμα, εξαρτώμενη από την [[συμβατική ένδειξη]] για την [[συχνότητα]]).
:<math>x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + [x^2 - n (n+1)] y = 0.</math>
 
Αυτή η διαφορική εξίσωση , και οι λύσεις Riccati&ndash;Bessel , εμφανίσθηκαν μέσα στο πρόβλημα του χωρίσματος των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων από μια σφαίρα, γνωστά ως [[χώρισμα Mie ]] όπου η πρώτη δημοσίευση της λύσης έγινε από τον Mie (1908). Βλέπε π.χ., Du (2004)<ref>Hong Du, "υπολογισμός χωρίσματος Mie," ''Εφαρμοσμένες Οπτικές'' '''43''' (9), 1951&ndash;1956 (2004)</ref> για πρόσφατες εφαρμογές κι αναφορές.
 
Παρακάτω [[Peter Debye|Debye]] (1909), ο συμβολισμός <math>\psi_n,\chi_n</math> χρησιμοποιείται μερικές φορές αντί του <math>S_n,C_n</math>.
:<math>K_\alpha(z) \sim \sqrt{\frac{\pi}{2z}} e^{-z} \left(1 + \frac{4 \alpha^{2} - 1}{8 z} + \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9)}{2! (8 z)^{2}} + \frac{(4 \alpha^{2} - 1) (4 \alpha^{2} - 9) (4 \alpha^{2} - 25)}{3! (8 z)^{3}} + \cdots \right)\text{ for }|\arg z|<\tfrac{3\pi}{2}.</math><ref>Abramowitz and Stegun, [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_378.htm p. 378, 9.7.2];</ref>
 
Όταν α = 1/2 όλοι οι όροι εκτός από τον πρώτο εξαφανίζονται και έχουμε
 
:<math>\begin{align}
 
{{Authority control}}
 
{{DEFAULTSORT:Bessel Function}}
[[CategoryΚατηγορία:Special hypergeometric functions]]
[[CategoryΚατηγορία:Fourier analysis]]
16.024

επεξεργασίες

Μενού πλοήγησης