Κατανομή πιθανότητας

Στις Πιθανότητες και στην Στατιστική, η κατανομή πιθανοτήτων αποδίδει την πιθανότητα σε κάθε μετρήσιμο υποσύνολο των πιθανών αποτελεσμάτων του τυχαίου πειράματος,της έρευνα, ή την διαδικασία της επαγωγικής στατιστικής. Παραδείγματα αποτελούν τα πειράματα των οποίων ο δειγματικός χώρος είναι μη-αριθμητικός, όπου η κατανομή θα είναι μια κατηγορική κατανομή. Πειράματα των οποίων ο δειγματικός χώρος αποτελείται από διακριτές τυχαίες μεταβλητές, όπου η κατανομή μπορεί να καθορίζεται από μια συνάρτηση συσσωρευμένης πιθανότητας.Τα πειράματα με δειγματικούς χώρους κωδικοποιούνται από συνεχείς τυχαίες μεταβλητές, όπου η κατανομή μπορεί να καθορίζεται από μια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Πιο πολύπλοκα πειράματα, όπως εκείνα που αφορούν στοχαστικές διαδικασίες που ορίζονται σε συνεχή χρόνο, μπορεί να απαιτήσει τη χρήση των πιο γενικών μέτρων πιθανότητας.

Στην εφαρμοσμένη πιθανότητα, μια κατανομή πιθανοτήτων μπορεί να οριστεί σε μια σειρά από διαφορετικούς τρόπους.Συχνά επιλέγεται για τη μαθηματική ευκολία:

• Η παροχή μιας έγκυρης λειτουργία μάζα πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας

• Η παροχή μιας έγκυρης αθροιστικής συνάρτησης συνάρτηση κατανομής

• Η παροχή μιας έγκυρης συνάρτησης κινδύνου

• Η παροχή μιας έγκυρης χαρακτηριστικής συνάρτησης

• Η παροχή ενός κανόνα για την κατασκευή μιας νέας τυχαίας μεταβλητής από άλλες τυχαίες μεταβλητές των οποίων η κοινή πιθανότητα διανομής είναι γνωστή.

Η κατανομή πιθανοτήτων μπορεί να είναι είτε μονοπαραγοντική είτε πολυπαραγοντική. Η μονοπαραγοντική κατανομή δίνει τις πιθανότητες μιας τυχαίας μεταβλητής, αναλαμβάνοντας διάφορες εναλλακτικές τιμές.Μια πολυμεταβλητή κατανομή (από κοινού κατανομή πιθανότητας) δίνει τις πιθανότητες ενός τυχαίου διανύσματος, ένα σύνολο από δύο ή περισσότερες τυχαίες μεταβλητές, αναλαμβάνοντας διάφορους συνδυασμούς των τιμών. Σημαντικές και συναντώνται συχνά οι κατανομές μονομεταβλητών πιθανοτήτων που περιλαμβάνουν την διωνυμική κατανομή, την εκθετική κατανομή και την κανονική κατανομή. Η πολυμεταβλητή κανονική κατανομή είναι μια συχνά απαντώμενη πολυμεταβλητή κατανομή.

Εισαγωγή

Οι μεταβλητές διακρίνονται σε ποιοτικές(ή κατηγορικές) οι οποίες παίρνουν τιμές που δεν είναι αριθμοί και στις ποσοτικές που οι τιμές που παίρνουν είναι αριθμοί και διακρίνονται σε διακριτές και συνεχείς.

Για να ορίσουμε τις κατανομές πιθανοτήτων για τις απλές περιπτώσεις, πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ διακριτές και συνεχείς τυχαίες μεταβλητές των ποσοτικών μεταβλητών. Στην διακριτές μεταβλητές, κάποιος μπορεί εύκολα να εκχωρήσει μια πιθανότητα σε κάθε πιθανή τιμή: για παράδειγμα, όταν ρίχνοντας ένα αμερόληπτο ζάρι , κάθε μία από τις έξι τιμές 1 έως 6 έχει την πιθανότητα 1/6. Στις συνεχείς μεταβλητές οι τιμές που μπορούν να πάρουν είναι οποιεσδήποτε τιμές που μπορεί να υπάρχουν σε ένα διάστημα (κ,λ) όπου κ,λ ανήκουν στους πραγματικούς αριθμούς.Επίσης σε μια συνεχή μεταβλητή οι πιθανότητες μπορεί να είναι μη μηδενικές μόνο εάν αναφέρονται σε χρονικά διαστήματα.

Ορολογία

συνάρτηση μάζας πιθανότητας

The probability mass function (pmf) p(S) specifies the probability distribution for the sum S of counts from two dice. For example, the figure shows that p(11) = 1/18. The pmf allows the computation of probabilities of events such as P(S > 9) = 1/12 + 1/18 + 1/36 = 1/6, and all other probabilities in the distribution.

Ως Θεωρία Πιθανοτήτων χρησιμοποιείται σε αρκετά διαφορετικές εφαρμογές, η ορολογία δεν είναι ενιαία και μερικές φορές προκαλεί σύγχυση. Οι ακόλουθοι όροι χρησιμοποιούνται για μη αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανοτήτων:

• Συνάρτηση μάζας,  η λειτουργία μαζικής Πιθανότητας, για διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
• Κατηγορική Κατανομή:για διακριτές τυχαίες μεταβλητές με πεπερασμένο σύνολο τιμών.
• Συνάρτηση Πυκνότητας : κυρίως χρησιμοποιείται για συνεχείς μεταβλητές.

Οι ακόλουθοι όροι είναι κάπως ασαφείς, δεδομένου ότι μπορεί να αναφέρεται σε αθροιστικές και μη αθροιστικές κατανομές, ανάλογα με τις προτιμήσεις του συγγραφέα:

• Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας: συνεχής ή διακριτή, αθροιστική και μη αθροιστική.
• Συνάρτηση Πιθανότητας: ακόμα πιο διφορούμενη, μπορεί να σημαίνει οποιοδήποτε από τα παραπάνω ή άλλα πράγματα.

Τέλος,

• Κατανομή πιθανότητας: μερικές φορές είναι το ίδιο με την συνάρτηση κατανομής πιθανότητας, αλλά συνήθως αναφέρεται στην πληρέστερη απόδοση πιθανοτήτων σε όλα τα μετρήσιμα υποσύνολα των αποτελεσμάτων, όχι μόνο σε συγκεκριμένα αποτελέσματα ή περιοχές των αποτελεσμάτων.

Αθροιστική συνάρτηση κατανομής

Επειδή μια κατανομή πιθανότητας Pr στην πραγματική γραμμή προσδιορίζεται από την πιθανότητα της τυχαίας μεταβλητής Χ σε ημι-ανοικτό διάστημα (-∞, x], η κατανομή πιθανοτήτων που χαρακτηρίζονται από αθροιστική συνάρτηση κατανομής της είναι:

F(x)=Pr[X≤x] για όλα τα x∈R

Διακριτή κατανομή πιθανότητας

Μια διακριτή κατανομή πιθανότητας είναι μια κατανομή πιθανοτήτων που χαρακτηρίζεται από μια συνάρτηση μάζας πιθανότητας. Έτσι, η κατανομή μιας τυχαίας μεταβλητής Χ είναι διακριτή, και το Χ ονομάζεται διακριτή τυχαία μεταβλητή, αν

ΣPr(X=u)=1

ως u διασχίζει το σύνολο όλων των δυνατών τιμών των Χ.Ως εκ τούτου, μια τυχαία μεταβλητή μπορεί να αναλάβει μόνο ένα πεπερασμένο ή άπειρο αριθμό τιμών.Η τυχαία μεταβλητή είναι μία διακριτή μεταβλητή. Ο αριθμός των πιθανών τιμών είναι άπειρος, ακόμα κι αν οι πιθανότητες τους να πλησιαζουν στο 1, οι πιθανότητες μπορούν να μειωθούν στο μηδέν αρκετά γρήγορα. Για παράδειγμα, εάν Pr(X=u)= 1/2ⁿ για n=1,2,... έχουμε το άθροισμα των πιθανοτήτων 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1

Η λειτουργία της πιθανότητας μια διακριτή κατανομής. Οι πιθανότητες των μονοσύνολων {1}, {3} και {7} είναι αντίστοιχα 0.2, 0.5, 0.3. Ένα σύνολο που δεν περιέχει κάποιο από αυτά τα σημεία έχει μηδενική πιθανότητα

Είναι γνωστό ότι οι διακριτές κατανομές πιθανοτήτων που χρησιμοποιούνται στη στατιστική μοντελοποίηση περιλαμβάνουν την κατανομή Poisson, την κατανομή Bernoulli,την διωνυμική κατανομή, την γεωμετρική κατανομή, και την αρνητική διωνυμική κατανομή. Επιπλέον, η διακριτή ομοιόμορφη κατανομή χρησιμοποιείται συνήθως σε προγράμματα ηλεκτρονικών υπολογιστών που κάνουν ίσης πιθανότητας τυχαίες επιλογές μεταξύ ενός αριθμού επιλογών.

Παραπομπές

• B. S. Everitt: The Cambridge Dictionary of Statistics, Cambridge University Press, Cambridge (3rd edition, 2006). ISBN 0-521-69027-7

• Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Springer, ISBN 0-387-31073-8

• den Dekker A. J., Sijbers J., (2014) "Data distributions in magnetic resonance images: a review", Physica Medica

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Probability distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4