Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
καμία σύνοψη επεξεργασίας
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
[[File:Integral-area-under-curve.svg|thumb|Το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί να μεταφραστεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη.]]
 
Στα [[Μαθηματικά]], το [[ολοκλήρωμα]] μιας μη αρνητικής [[συνάρτηση|συνάρτησης]] μπορεί με τον απλούστερο τρόπο, να θεωρηθεί ως το [[εμβαδό]] μεταξύ της [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφικής παράστασης]] της συνάρτησης και τον άξονα των {{math|''x''}}. '''Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ''' είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Επίσης, επεκτείνει το πεδίο ορισμού πάνω στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να οριστούν. Ήταν ήδη αντιληπτό, πως για μη αρνητικές, αρκετά λείες (αρκετά μεγάλης κλάσης διαφορισιμότητας) συναρτήσεις (όπως οι [[συνέχεια συνάρτησης|συνεχείς συναρτήσεις]] ορισμένες σε κλειστά και [[φράγμα|φραγμένα]] [[διάστημα|διαστήματα]]) το ''εμβαδό κάτω από την καμπύλη'' μπορούσε να οριστεί ως το ολοκλήρωμα και υπολογίζονταν χρησιμοποιώντας τεχνικές προσέγγισης με [[πολύγωνο|πολύγωνα]]. Όμως, καθώς οι ανάγκες για χρήση πιό περίπλοκων συναρτήσεων μεγάλωναν (όπως για παράδειγμα στη [[Θεωρία πιθανοτήτων]]), έγινε ξεκάθαρο πως απαιτούνταν πιό προσεκτικές μέθοδοι προσέγγισης, για να οριστεί ένα πιό κατάλληλο ολοκλήρωμα. Επίσης, υπήρχε η ανάγκη για ολοκήρωση σε γενικότερους χώρους πέραν της πραγματικής ευθείας. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ παρέχει όλους τους απαραίτητους κανόνες και έννοιες για να γίνει αυτό.
 
Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ είναι πολύ σημαντικό στην Πραγματική [[Μαθηματική Ανάλυση|Ανάλυση]], καθώς και σε άλλα πεδία των μαθηματικών. Πήρε το όνομά του από τον Ανρί Λεμπέγκ (1875–1941), ο οποίος το εισήγαγε το 1904. Είναι επίσης η βάση για τους ορισμούς και τη θεμελίωση της αξιωματικής Θεωρίας Πιθανοτήτων.
Η συνάρτηση της οποίας το ολοκλήρωμα μπορεί να προσεγγιστεί από ορισμένες αποκαλούμενες [[απλές συναρτήσεις]], των οποίων τα ολοκληρώματα μπορούν να γραφτούν από την άποψη του μέτρου. Το ολοκλήρωμα της αρχικής συνάρτησης είναι το όριο του ολοκληρώματος των απλών συναρτήσεων.
 
== θεωρίαΘεωρία μέτρου ==
Επιπλέον πληροφορίες: [[Μέτρο]] [[(μαθηματικά)]]
 
Το ολοκλήρωμα Riemann χρησιμοποιεί την έννοια του μήκους ρητά. Πράγματι, το στοιχείο του υπολογισμού για το ολοκλήρωμα Riemann είναι το ορθογώνιο [α, β] × [γ, δ], του οποίου  η περιοχή υπολογίζεται  να είναι (β − α) (δ − γ). Η ποσότητα (β − α) είναι το μήκος της βάσης του ορθογωνίου και το (δ − γ) είναι το ύψος του ορθογωνίου. Το ολοκλήρωμα Riemann θα μπορούσε μόνο να χρησιμοποιήσει τα επίπεδα ορθογώνια για να προσεγγίσει την περιοχή κάτω από την καμπύλη,επειδή δεν υπάρχει καμία επαρκής θεωρία για τη μέτρηση των γενικότερων συνόλων.
 
Στην ανάπτυξη της θεωρίας στα περισσότερα σύγχρονα εγχειρίδια (μετά το 1950), η προσέγγιση στο μέτρο και η ολοκλήρωση είναι αξιωματικές. Αυτό σημαίνει ότι ένα μέτρο σε οποιαδήποτε συνάρτηση μ καθορίζεται σε μια ορισμένη κατηγορία Χ υποσυνόλων ενός καθορισμένου Ε, το οποίο ικανοποιεί έναν ορισμένο κατάλογο ιδιοτήτων. Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να αποδειχθούν και να ισχύουν  σε πολλές διαφορετικές περιπτώσεις.<gallery>
[[File:RandLintegrals.png|thumb|Riemann-Darboux's integration (in blue) and Lebesgue integration (in red).]]
</gallery>
 
=== Ολοκλήρωση ===
Θεωρούμε ένα χώρο μέτρου {{math|(''E'', ''X'', μ)}} όπου {{math|''E''}} είναι ένα [[Σύνολο|σύνολο]], {{math|''X''}} είναι μια [[σ-άλγεβρα]] υποσυνόλων τού {{math|''E''}}, και το μ είναι ένα μέτρο στο {{math|''E''}} ορισμένο στη {{math|''X''}}.
 
Παραδείγματος χάριν, το {{math|''E''}} μπορεί να είναι ο ευκλείδειος χώρος {{math|ℝ<sup>''n''</sup>}} ή ένα Λεμπέγκ-μετρήσιμο υποσύνολό του, {{math|''X''}} η σ-άλγεβρα όλων των Λεμπέγκ-μετρήσιμων υποσυνόλων τού {{math|''E''}}, και μ το μέτρο Λεμπέγκ. Στη θεωρία Πιθανοτήτων, περιορίζουμε τη μελέτη σε κάποιο μέτρο πιθανότητας {{math|μ}} που ικανοποιεί τη σχέση {{math|μ(''E'') {{=}} 1}}.
 
Στη θεωρία Λεμπέγκ, τα ολοκληρώματα ορίζονται για μια κατηγορία συναρτήσεων που ονομάζονται μετρήσιμες συναρτήσεις. Μια πραγματική συνάρτηση {{math|''f''}} στο {{math|''E''}} είναι μετρήσιμη αν:
 
:<math> \{x\,\mid\,f(x) > t\} \in X\quad \text{for all}\ t\in\mathbb{R}. </math>
 
Αποδεικνύεται ότι αυτό είναι ισοδύναμο με το να απαιτούμε η αντίστροφη εικόνα οποιουδήποτε [[σ-άλγεβρα#σ-άλγεβρα Borel|Borel]] υποσυνόλου τού ℝ να ανήκει στο {{math|''X''}}. Υποθέτουμε στο εξής πως αυτό ισχύει. Το σύνολο των μετρήσιμων συναρτήσεων είναι κλειστό ως προς τις αλγεβρικές πράξεις, αλλά το πιό σημαντικό είναι πως είναι κλειστό ως προς τα όρια ακολουθιών συναρτήσεων κάτω από συγκεκριμένες υποθέσεις. Ισχύει ότι οι:
 
: <math> \sup_{k \in \mathbb{N}} f_k, \quad \liminf_{k \in \mathbb{N}} f_k, \quad \limsup_{k \in \mathbb{N}} f_k </math>
 
είναι μετρήσιμες αν και οι αρχικές ακολουθίες {{math|(''f''<sub>''k''</sub>)<sub>''k''</sub>}}, όπου {{math|''k'' ∈ ℕ}}, αποτελούνται από μετρήσιμες συναρτήσεις.
 
Κατασκευάζουμε ένα ολοκλήρωμα
 
: <math> \int_E f \, d \mu = \int_E f\left(x\right)\, \mu\left(dx\right)</math>
 
όπου {{math|''f''}} μετρήσιμη συνάρτηση ορισμένη στο {{math|''E''}} σε στάδια:
 
'''Χαρακτηριστικές συναρτήσεις''': Για να δώσουμε μια τιμή στο ολοκλήρωμα της χαρακτηριστικής συνάρτησης {{math|1<sub>''S''</sub>}} ενός μετρήσιμου, ως προς το μέτρο μ, συνόλου {{math|''S''}} θέτουμε:
 
:<math>\int 1_S \, d \mu = \mu (S).</math>
 
Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα μπορεί να είναι και ίσο με {{math|+∞}}, εκτός κι αν το μέτρο μ είναι πεπερασμένο μέτρο.
 
 
'''Απλές συναρτήσεις''': Ένας πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων
 
:<math>\sum_k a_k 1_{S_k}</math>
 
όπου οι συντελεστές {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} είναι πραγματικοί αριθμοί και τα σύνολα {{math|''S<sub>k</sub>''}} είναι μετρήσιμα, ονομάζεται απλή συνάρτηση. Επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα όπως το ορίσαμε παραπάνω, με γραμμικότητα, στις μη-αρνητικές μετρήσιμες απλές συναρτήσεις. Όταν οι συντελεστές {{math|''a<sub>k</sub>''}} είναι μη-αρνητικοί, θέτουμε
 
:<math>\int \left(\sum_k a_k 1_{S_k}\right) \, d \mu = \sum_k a_k \int 1_{S_k} \, d \mu = \sum_k a_k \, \mu(S_k). </math>
 
Χρησιμοποιούμε τη σύμβαση ότι {{math|0 &times; ∞ {{=}} 0}}. Ακόμα κι αν μια απλή συνάρτηση μπορεί να γραφεί με πολλούς τρόπους ως γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων, το ολοκλήρωμα είναι πάντα το ίδιο. Αυτό αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της προσθετικότητας.
 
Επίσης, για να αποφεύγεται η απροσδιόριστη μορφή {{math|∞ &minus; ∞}} υποθέτουμε ότι η παράσταση
 
:<math> f = \sum_k a_k 1_{S_k}</math>
 
είναι τέτοια ώστε αν {{math|∞ &minus; ∞}} τότε {{math|μ(''S''<sub>''k''</sub>) < ∞}}. Τότε το ολοκλήρωμα της {{math|''f''}} έχει νόημα και το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την παράσταση της {{math|''f''}}, αρκεί η παράσταση αυτή να ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες.
 
Αν {{math|''B''}} είναι ένα μετρήσιμο υποσύνολο τού {{math|''E''}} και {{math|''s''}} είναι μια μετρήσιμη απλή συνάρτηση, τότε ορίζουμε
 
:<math> \int_B s \, d\mu = \int 1_B \, s \, d\mu = \sum_k a_k \, \mu(S_k \cap B). </math>
 
'''Μη αρνητικές συναρτήσεις''': Ας είναι {{math|''f''}} μια μη αρνητική μετρήσιμη επεκτεταμένη (μπορεί να πάρει την τιμή {{math|+∞}}) συνάρτηση στο {{math|''E''}}. Τότε ορίζουμε
 
:<math>\int_E f \, d\mu = \sup\left\{\,\int_E s\, d\mu : 0 \le s \le f,\ s\ \text{simple}\,\right\}.</math>
 
Αποδεικνύεται πως αυτό το το ολοκλήρωμα συμπίπτει με το προηγούμενο. Επίσης, όταν το {{math|''E''}} είναι διάστημα της μορφής [''a'',&nbsp;''b''], το ολοκήρωμα ισούται με ολοκλήρωμα Ρίμαν.
Ορίσαμε λοιπόν, το ολοκήρωμα της {{math|''f''}} για όλες τις μη-αρνητικές επεκτεταμένες πραγματικές μετρήσιμες συναρτήσεις στο {{math|''E''}}. Για κάποιες συναρτήσεις, το ολοκλήρωμα είναι άπειρο.
We have defined the integral of ''f'' for any non-negative extended real-valued measurable function on&nbsp;''E''. For some functions, this integral&thinsp; ∫<sub>''E''</sub>&nbsp;''f''&nbsp;dμ&thinsp; will be infinite.
 
'''Signed functions''': Αν η {{math|''f''}} είναι επεκτεταμένη μετρήσιμη συνάρτηση στο {{math|''E''}} με πραγματικές τιμές, γράφουμε
 
:<math> f = f^+ - f^-, \quad </math>
 
όπου
 
:<math> f^+(x) = \left\{\begin{matrix} f(x) & \text{if } f(x) > 0 \\ 0 & \text{αλλού} \end{matrix}\right. </math>
:<math> f^-(x) = \left\{\begin{matrix} -f(x) & \text{if } f(x) < 0 \\ 0 & \text{αλλού} \end{matrix}\right. </math>
 
Παρατηρούμε ότι οι {{math|''f''<sup>+</sup>}} και {{math|''f''<sup>−</sup>}} είναι μη-αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις. Επίσης ισχύει
 
:<math> |f| = f^+ + f^-. \quad </math>
 
Λέμε ότι το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ της μετρήσιμης συνάρτησης {{math|''f''}} ''ορίζεται'' αν τουλάχιστον ένα από τα ολοκληρώματα <math> \int f^+ \, d\mu </math> and <math> \int f^- \, d\mu </math> είναι πεπερασμένο.
 
Σε αυτή την περίπτωση ''ορίζουμε''
 
:<math> \int f \, d \mu = \int f^+ \, d \mu - \int f^- \, d \mu. </math>
 
Αν
 
:<math> \int |f| \, d \mu < \infty, </math>
 
τότε λέμε ότι η {{math|''f''}} είναι ''Λεμπέγκ ολοκληρώσιμη''.
 
Ο παραπάνω ορισμός δίνει τις επιθυμητές ιδιότητες τού ολοκληρώματος
 
== Εναλλακτικές διατυπώσεις ==
15

επεξεργασίες

Μενού πλοήγησης