Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Θεωρία συνόλων»

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
καμία σύνοψη επεξεργασίας
Κύριο άρθρο:το σύμπαν του von Neumann[[File:Von Neumann Hierarchy.svg|thumb|Ένα αρχικό τμήμα της ιεραρχίας von Neumann.]]
Ένα σετ είναι καθαρό αν όλα τα μέλη του είναι σύνολα,όλα τα μέλη των μελών του είναι σύνολα, και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, το σύνολο <nowiki>{{}}</nowiki>που περιέχει μόνο το κενό σύνολο είναι ένα μη κενό καθαρό σύνολο. Στη σύγχρονη θεωρία συνόλων , είναι συνηθισμένο να περιορίζεται η προσοχή στο σύμπαν των καθαρών συνόλων του von '''Neumann''', και πολλά συστήματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων είναι σχεδιασμένα μόνο για την αξιωματική θεωρία των καθαρών συνόλων. Υπάρχουν πολλά τεχνικά πλεονεκτήματα σε αυτόν τον περιορισμό,και η ελάχιστη γενικότητα είναι χαμένη,επειδή ουσιαστικά όλες οι μαθηματικές έννοιες μπορούν να μοντελοποιηθούν από καθαρά σύνολα. Τα σύνολα στο σύμπαν von Neumann είναι οργανωμένα σε μια [[σωρευτική ιεραρχία]], βασισμένη στο πόσο βαθιά τα μέλη τους,τα μέλη των μελών, κλπ είναι ένθετα.Στο κάθε σύνολο σε αυτή την ιεραρχία ανατίθεται ένας [[τακτικός αριθμός]] α, γνωστός ως τάξη του. Η τάξη ενός καθαρού συνόλου X ορίζεται ως το [[λιγότερο άνω άκρο]] όλων των [[διαδόχων]] της τάξης των μελών του X.Για παράδειγμα, στο κενό σύνολο ανατίθεται η τάξη 0,ενώ στο σύνολο <nowiki>{{}}</nowiki> συμπεριλαμβανομένου μόνο του κενού συνόλου ανατίθεται η τάξη 1.Για κάθε τακτικό α, το σύνολο ''V''<sub>α</sub> ορίζεται να αποτελείται από όλα τα καθαρά σύνολα με τάξη μικρότερη από α.Ολόκληρο το σύμπαν του von Neumann συμβολίζεται με ''V''.
 
== Βιβλιογραφία ==
* "Naive Set Theory", Paul R. Halmos, Springer-Verlag, 1960 (ελληνική μετάφραση: "Αφελής συνολοθεωρία", μτφ. Γιώργος Κολέτσος, εκδόσεις Εκκρεμές, Αθήνα, 2002, ISBN 960-7651-26-X)
* "Notes on Set Theory", [[Γιάννης Μοσχοβάκης | Yannis N. Moschovakis]], Springer, 2nd edition, 2005 (λληνική έκδοση "Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία", εκδόσεις Νεφέλη, 1993)
* "Set Theory", Tomas Jech, Springer, 3rd edition, [[2006]]
 
== '''<u>Βασικές έννοιες και συμβολισμοί</u>''' ==
 
Μερικά βασικά σύνολα κεντρικής σημασίας είναι το κενό σύνολο (η μοναδική ομάδα που δεν περιέχει στοιχεία), το σύνολο των φυσικών αριθμών, και το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
 
*{{Ενσωμάτωση κειμένου|en|set theory}}
== Εφαρμογές ==
Πολλές μαθηματικές έννοιες μπορούν να οριστούν ακριβώς χρησιμοποιώντας μόνο σύνολα θεωρητικών εννοιών. Για παράδειγμα, μαθηματικές δομές τόσο διαφορετικές όσο [[Γράφημα διαστημάτων|γραφήματα]],[[πολυχώροι]],[[Δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιοι]] και [[διανυσματικός χώρος|διανυσματικοί χώροι]] μπορούν όλοι να όλοι να ορισθούν ως σύνολα ικανοποιώντας  διάφορες (αξιωματικές) ιδιότητες.[[Ισοδυναμία]] και [[προκείμενες σχέσεις]] είναι πανταχού παρόντα στα μαθηματικά, και η θεωρία των μαθηματικών [[Σχέση (μαθηματικά)|σχέσεων]] μπορούν να περιγραφούν στη θεωρία συνόλων.
 
Η θεωρία συνόλων είναι επίσης ένα πολλά υποσχόμενο θεμελιακό σύστημα για το μεγαλύτερο μέρος των μαθηματικών. Από τη δημοσίευση του πρώτου τόμου του ''[[Principia Mathematica]]'', προβλήθηκε ο ισχυρισμός ότι τα περισσότερα ή ακόμα όλα τα μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να παραχθούν με τη χρήση ενός εύστοχα σχεδιασμένου συνόλου αξιωμάτων για τη θεωρία συνόλων, επαυξημένου με πολλούς ορισμούς, χρησιμοποιώντας την [[λογική πρώτης τάξης]] ή [[λογική δεύτερης τάξης|δεύτερης]][[δεύτερη λογική τάξη|.]]<nowiki/>Για παράδειγμα, ιδιότητες των [[Φυσικός αριθμός|φυσικών]] και [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] μπορούν να προκύψουν μέσα από τη θεωρία συνόλων, καθώς το κάθε σύστημα αριθμών μπορεί να ταυτοποιηθεί με ένα σύνολο από [[κλάση ισοδυναμίας|κλάσεις ισοδυναμίας]] κάτω από την κατάλληλη [[σχέση ισοδυναμίας]] της οποίας το πεδίο είναι κάποιο [[άπειρο σύνολο]].
 
Η θεωρία συνόλων ως θεμέλιο για τη [[μαθηματική ανάλυση]], την [[τοπολογία]], την [[αφηρημένη άλγεβρα]] και τα [[διακριτά μαθηματικά]] είναι επίσης αναμφισβήτητη.Μαθηματικοί αποδέχονται ότι (κατ 'αρχήν) θεωρήματα σε αυτούς τους τομείς μπορεί να προέλθουν από τους σχετικούς ορισμούς και τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Λίγες πλήρεις παραγωγές σύνθετων μαθηματικών θεωρημάτων από τη θεωρία συνόλων έχουν επισήμως επιβεβαιωθεί, ωστόσο, επειδή οι τυπικές παραγωγές είναι συχνά πολύ περισσότερες από ό,τι η φυσική γλώσσα αποδεικνύει μαθηματικούς που συνήθως υπάρχουν. Ένα έργο επαλήθευσης, [[Metamath]], περιλαμβάνει τις ανθρωπίνως-γραπτές, τις υπολογιστικά-επαληθευμένες παραγωγές πάνω από 12.000 θεωρημάτων ξεκινώντας από τη [[ZFC]] θεωρία συνόλων, [[λογική πρώτης τάξης]] και [[προτασιακή λογική]].
 
== Βιβλιογραφία ==
* "Naive Set Theory", Paul R. Halmos, Springer-Verlag, 1960 (ελληνική μετάφραση: "Αφελής συνολοθεωρία", μτφ. Γιώργος Κολέτσος, εκδόσεις Εκκρεμές, Αθήνα, 2002, ISBN 960-7651-26-X)
* "Notes on Set Theory", [[Γιάννης Μοσχοβάκης | Yannis N. Moschovakis]], Springer, 2nd edition, 2005 (λληνική έκδοση "Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία", εκδόσεις Νεφέλη, 1993)
* "Set Theory", Tomas Jech, Springer, 3rd edition, [[2006]]*{{Ενσωμάτωση κειμένου|en|set theory}}
 
{{Μαθηματικά-υποσέλιδο}}
6

επεξεργασίες

Μενού πλοήγησης