Θεωρία συνόλων

Στα μαθηματικά, θεωρία συνόλων ή συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετάει τα σύνολα, σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι). Αν και οποιοσδήποτε τύπος από αντικείμενα μπορεί να ορίσει σύνολο, η θεωρία συνόλων εφαρμόζεται συνήθως σε αντικείμενα σχετικά με τα μαθηματικά.

Η σύγχρονη μελέτη της θεωρίας συνόλων ξεκίνησε από τον Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) και τον Ντέντεκιντ (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων στην άτυπη θεωρία συνόλων, πληθώρα συστημάτων αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία η Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων (Zermelo–Fraenkel set theory), με το αξίωμα επιλογής.

Η θεωρία συνόλων, που τυποποιείται με χρήση της λογικής πρώτου βαθμού, είναι το πιο διαδεδομένο θεμελιώδες σύστημα για τα μαθηματικά. Η γλώσσα της θεωρίας συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι συναρτήσεις, και έννοιες της συνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα μαθηματικών. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και την ιδιότητα μέλους συνόλου μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, μαζί με διαγράμματα Βεν, για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η ένωση και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ'αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η πληθικότητα είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος μαθηματικών.

Πέρα από τη χρήση της ως θεμελιώδες σύστημα, η θεωρία συνόλων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών από μόνη της, με ενεργή ερευνητική κοινότητα. Η σύχρονη έρευνα στη συνολοθεωρία περιλαμβάνει μια ποικίλη συλλογή από θέματα, που φτάνουν από τη δομή της γραμμής των πραγματικών αριθμών έως τη μελέτη της συνέπειας για μεγάλους πληθάριθμους..

Ιστορία

Συνήθως οι μαθηματικές θεωρίες προκύπτουν και εξελίσσονται δια της αλληλεπιδράσεως μεταξύ των ερευνητών. Ωστόσο, η θεωρία συνόλων αναπτύχθηκε από μία και μοναδική εργασία του Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) το 1874: "Σχετικά με την χαρακτηριστική ιδιότητα των αλγεβρικών αριθμών".

Ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ζήνων από την μία αλλά και οι αρχαίοι Ινδοί μαθηματικοί από την άλλη, εργάστηκαν πάνω στην έννοια του απείρου. Αξιοσημείωτη είναι η δουλειά του Μπερνάρμτ Μπολζάνο (Bernard Bolzano) στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Η μοντέρνα αντίληψη περί απείρου ξεκίνησε μεταξύ 1867-71, με την θεωρία του Κάντορ και την θεωρία των αριθμών. Μία συνάντηση των Κάντορ και Ρίτσαρντ Ντέντεκιντ (Richard Dedekind) το 1872 θα επηρεάσει ριζικά τον τρόπο σκέψης του Κάντορ καταλήγοντας στην σχετική εργασία του 1874.

Το έργο του αρχικά δίχασε του μαθηματικούς της εποχής. Παρ'όλο που οι Καρλ Βάιερστρας (Karl Weierstrass) και Ντέντεκιντ (Dedekind) υποστήριξαν τον Κάντορ, ο Λέοπολντ Κρόνεκερ (Leopold Kronecker), θεμελιωτής της μαθηματικής συγκροτημένης σκέψης, δεν έπραξε το ίδιο. Η καντορική θεωρία συνόλων έγινε ευρέως γνωστή εξαιτίας της χρησιμότητας των εννοιών της, όπως της μία-προς-μία αντιστοιχίας συνόλων, της απόδειξής του ότι υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί απ'ότι ακέραιοι, και του "απείρου των απείρων" ("Ο παράδεισος του Κάντορ" - "Cantor's paradise") αποτέλεσμα των πράξεων με δυναμοσύνολα. Η χρησιμότητα της θεωρίας συνόλων οδήγησε στο άρθρο "Μένγκενλερε" ("Mengenlehre") του Άρτουρ Σουνφλις (Arthur Schoenflies) που δημοσιεύτηκε στην εγκυκλοπέδια του Klein το 1898.

Βιβλιογραφία

• "Naive Set Theory", Paul R. Halmos, Springer-Verlag, 1960 (ελληνική μετάφραση: "Αφελής συνολοθεωρία", μτφ. Γιώργος Κολέτσος, εκδόσεις Εκκρεμές, Αθήνα, 2002, ISBN 960-7651-26-X)
• "Notes on Set Theory", Yannis N. Moschovakis, Springer, 2nd edition, 2005 (λληνική έκδοση "Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία", εκδόσεις Νεφέλη, 1993)
• "Set Theory", Tomas Jech, Springer, 3rd edition, 2006