Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ

Το ολοκλήρωμα μια μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί να μεταφραστεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη.

Στα Μαθηματικά, το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί με τον απλούστερο τρόπο, να θεωρηθεί ως το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και τον άξονα των x. Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Επίσης, επεκτείνει το πεδίο ορισμού πάνω στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να οριστούν. Ήταν ήδη αντιληπτό, πως για μη αρνητικές λείες συναρτήσεις (όπως οι συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σε κλειστά και φραγμένα διαστήματα) το εμβαδό κάτω από την καμπύλη μπορούσε να οριστεί ως το ολοκλήρωμα και υπολογίζονταν χρησιμοποιώντας τεχνικές προσέγγισης με πολύγωνα. Όμως, καθώς οι ανάγκες για χρήση πιό περίπλοκων συναρτήσεων μεγάλωναν (όπως για παράδειγμα στη Θεωρία πιθανοτήτων), έγινε ξεκάθαρο πως απαιτούνταν πιό προσεκτικές μέθοδοι προσέγγισης, για να οριστεί ένα πιό κατάλληλο ολοκλήρωμα. Επίσης, υπήρχε η ανάγκη για ολοκήρωση σε γενικότερους χώρους πέραν της πραγματικής ευθείας. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ παρέχει όλους τους απαραίτητους κανόνες και έννοιες για να γίνει αυτό.

Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ είναι πολύ σημαντικό στην Πραγματική Ανάλυση, καθώς και σε άλλα πεδία των μαθηματικών. Πήρε το όνομά του από τον Ανρί Λεμπέγκ (1875–1941), ο οποίος το εισήγαγε το 1904. Είναι επίσης η βάση για τους ορισμούς και τη θεμελίωση της αξιωματικής Θεωρίας Πιθανοτήτων.

Ο όρος "ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ" μπορεί να αναφέρεται, είτε γενικά στη θεωρία της ολοκλήρωσης μιας συνάρτησης ως προς ένα γενικό μέτρο, όπως παρουσιάστηκε από τον Λεμπέγκ, ή στην ειδική περιπτωση που το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης ορίζεται πάνω σε ένα υποσύνολο τού άξονα των πραγματικών αριθμών ως προς το μέτρο Λεμπέγκ.

Εισαγωγή

Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης f με όρια ολοκλήρωσης a και b μπορεί να μεταφραστεί ως το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση της f. Αυτό είναι εύκολα αντιληπτό για απλές συναρτήσεις, όπως είναι τα πολυώνυμα, αλλά τι σημαίνει αυτό όταν μιλάμε για πιο περίπλοκες συναρτήσεις; Γενικά, για ποια κατηγορία συναρτήσεων έχει νόημα "το εμβαδό κάτω από την καμπύλη"; Η απάντηση έχει τεράστια θεωρητική και πρακτική σημασία.

Κατά το δέκατο ένατο αιώνα, έγιναν προσπάθειες να στηθεί ο Ολοκληρωτικός Λογισμός σε μια πιο αυστηρή βάση, στα πλαίσια μιας γενικότερης αυστηροποίησης των μαθηματικών. Το Ρίμαν ολοκλήρωμα, είναι μια επιτυχημένη τέτοια προσπάθεια που βοηθά στην επίτευξη αυτού τού στόχου. Ο ορισμός που έδωσε ο Ρίμαν, ξεκινά με την κατασκευή μιας ακολουθίας εμβαδών, που εύκολα υπολογίζονται, η οποία συγκλίνει στο ολοκλήρωμα μιας δοσμένης συνάρτησης. Αυτός ο ορισμός είναι επιτυχημένος, με την έννοια ότι δίνει την αναμενόμενη απάντηση σε ήδη λυμένα προβλήματα, καθώς και χρήσιμα αποτελέσματα σε πολλά άλλα προβλήματα.

Ωστόσο, η Ολοκλήρωση κατά Ρίμαν δεν αλληλεπιδρά καλά με τα όρια ακολουθιών συναρτήσεων, πράγμα που καθιστά δύσκολη την ανάλυση τέτοιων διαδικασιών. Αυτή είναι πρεωτεύουσας σημασίας σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα στην Ανάλυση Φουριέ. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ μπορεί καλύτερα να περιγράψει κάτω από ποιές συνθήκες μπορεί το ολοκλήρωμα να βγει έξω από το όριο, με τα ισχυρά θεωρήματα της Μονότονης Σύγκλισης και της Κυριαρχούμενης Σύγκλισης. Ο ορισμός τού Λεμπέγκ, σε αντίθεση με τού Ρίμαν, θεωρεί μια άλλη κατηγορία εύκολα υπολογίσιμων εμβαδών και γι' αυτό το λόγο το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ συμπεριφέρεται καλύτερα. Επιπλέον, το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ καθιστά δυνατό τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων για μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση τού Ντίριχλετ, η οποία είναι 0 όταν το όρισμά της είναι άρρητος και 1 όταν είναι ρητός, ενώ δεν είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη, είναι Λεμπέγκ ολοκληρώσιμη και το ολοκλήρωμά της ισούται με 0.

Η προσέγγιση τού Λεμπέγκ για το ολοκλήρωμα συνοψίζεται σε ένα γράμμα του, όπου γράφει:

Πρέπει να πληρώσω ένα συγκεκριμένο ποσό. Βγάζω τα χαρτονομίσματα και τα νομίσματα από την τσέπη μου και για να πληρώσω, τα δίνω με τη σειρά που τα βρίσκω μέχρι να φτάσω το συνολικό ποσό. Αυτό είναι το Ρίμαν ολοκλήρωμα. Αλλά μπορώ να πληρώσω διαφορετικά. Αφού βγάλω όλα τα χρήματα από την τσέπη μου, στοιβάζω τα νομίσματα και τα χαρτονομίσματα σε σειρά με βάση την αξία τους και ύστερα πληρώνω δίνοντας τις στοίβες τη μία μετά την άλλη. Αυτό είναι το δικό μου ολοκλήρωμα.

Δηλαδή, μπορούμε να κατανείμουμε τις τιμές μιας συνάρτησης ελεύθερα, διατηρώντας όμως σταθερή την τιμή τού ολοκληρώματος. Η διαδικασία αυτής της ανακατανομής μπορεί να μετατρέψει μια παθολογική συνάρτηση σε μια "όμορφη" συνάρτηση, από την άποψη της ολοκληρωσιμότητας και επομένως μας επιτρέπει την ολοκλήρωση μιας τέτοιας συνάρτησης.

Δείτε επίσης

• Μπέρναρντ Ρίμαν
• Ολοκλήρωμα
• Μέτρο Λεμπέγκ
• Θεωρία μέτρου
• σ-άλγεβρα

Βιβλιογραφία

• Bartle, Robert G. (1995). The elements of integration and Lebesgue measure. Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. MR 1312157. 

• Bauer, Heinz (2001). Measure and Integration Theory. De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter. 236. ISBN 978-3-11-016719-1. 

• Bourbaki, Nicolas (2004). Integration. I. Chapters 1–6. Translated from the 1959, 1965 and 1967 French originals by Sterling K. Berberian. Elements of Mathematics (Berlin). Berlin: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR 2018901. 

• Dudley, Richard M. (1989). Real analysis and probability. The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR 0982264.  Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.

• Folland, Gerald B. (1999). Real analysis: Modern techniques and their applications. Pure and Applied Mathematics (New York) (Second έκδοση). New York: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. MR 1681462. 

• Halmos, Paul R. (1950). Measure Theory. New York, N. Y.: D. Van Nostrand Company, Inc. σελίδες xi+304. MR 0033869.  A classic, though somewhat dated presentation.

• Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Lebesgue integral», Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/l057860 

• Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Paris: Gauthier-Villars 

• Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volumes) (στα French). Geneva: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. σελ. 405. MR 0389523. 

• Lieb, Elliott· Loss, Michael (2001). Analysis. Graduate Studies in Mathematics. 14 (2nd έκδοση). American Mathematical Society. ISBN 978-0821827833. 

• Loomis, Lynn H. (1953). An introduction to abstract harmonic analysis. Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc. σελίδες x+190. MR 0054173.  Includes a presentation of the Daniell integral.

• Munroe, M. E. (1953). Introduction to measure and integration. Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. σελίδες x+310. MR 0053186.  Good treatment of the theory of outer measures.

• Royden, H. L. (1988). Real analysis (Third έκδοση). New York: Macmillan Publishing Company. σελίδες xx+444. ISBN 0-02-404151-3. MR 1013117. 

• Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third έκδοση). New York: McGraw-Hill Book Co. σελίδες x+342. MR 0385023.  Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.

• Rudin, Walter (1966). Real and complex analysis. New York: McGraw-Hill Book Co. σελίδες xi+412. MR 0210528.  Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
• Saks, Stanisław (1937). Theory of the Integral. Monografie Matematyczne. 7 (2nd έκδοση). Warszawa-Lwów: G.E. Stechert & Co., σελ. VI+347. Zbl 0017.30004. http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10&jez=pl . English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach.

• Shilov, G. E.· Gurevich, B. L. (1977). Integral, measure and derivative: a unified approach. Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman. Dover Books on Advanced Mathematics. New York: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR 0466463.  Emphasizes the Daniell integral.

• Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), «Henri Lebesgue», στο: Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader, επιμ., Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press .

• Teschl, Gerald. Topics in Real and Functional Analysis. (lecture notes). 

• Yeh, James (2006). Real Analysis: Theory of Measure and Integral 2nd. Edition Paperback. Singapore: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. σελ. 760. ISBN 978-981-256-6.