Σώμα (άλγεβρα): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
{{Πηγές|07|05|2015}} |
|||
{{Επιστημονικό πεδίο| |
{{Επιστημονικό πεδίο| |
||
|όνομα= Σώμα (Άλγεβρα) |
|όνομα= Σώμα (Άλγεβρα) |
||
Γραμμή 4: | Γραμμή 5: | ||
|msc2010= 16-XX |
|msc2010= 16-XX |
||
}} |
}} |
||
'''Σώμα''' (από το [[γαλλική γλώσσα|γαλλικό]] ''Corps'') είναι ένα [[σύνολο]] <math>\mathbb{F}</math> (από το [[αγγλική γλώσσα|αγγλικό]] ''Field'') αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο [[δυαδική πράξη|δυαδικές πράξεις]] + και * ορισμένες στο <math>\mathbb{F}</math>, οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. |
'''Σώμα''' (από το [[γαλλική γλώσσα|γαλλικό]] ''Corps'') είναι ένα [[σύνολο]] <math>\mathbb{F}</math> (από το [[αγγλική γλώσσα|αγγλικό]] ''Field'') αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο [[δυαδική πράξη|δυαδικές πράξεις]] + και * ορισμένες στο <math>\mathbb{F}</math>, οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. |
||
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες: |
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες: |
||
Γραμμή 36: | Γραμμή 36: | ||
α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F |
α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F |
||
β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ |
β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ |
||
⚫ | |||
{{Portal bar|Μαθηματικά}} |
|||
{{Μαθηματικά-επέκταση}} |
{{Μαθηματικά-επέκταση}} |
||
⚫ |
Έκδοση από την 07:20, 7 Μαΐου 2015
Το λήμμα δεν περιέχει πηγές ή αυτές που περιέχει δεν επαρκούν. |
Πρότυπο:Επιστημονικό πεδίο Σώμα (από το γαλλικό Corps) είναι ένα σύνολο (από το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο , οι οποίες απεικονίζουν 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F στα a+b και a*b, επίσης στοιχεία του F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
- (υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F), τέτοιο ώστε
- για κάθε που ανήκει στο , και
- (για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0).
- a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
- (a*b)*c=a*(b*c)
- Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
- a*b=b*a
- a*(b+c)=a*b+a*c
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το και το και το σώμα των μιγαδικών αριθμών . Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει τέτοιο ώστε a* =1.
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b* και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.
Ένας δακτύλιος καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :
- Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
- Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο ώστε για κάθε
- Για κάθε υπάρχει στοιχείο του το οποίο συμβολίζουμε με τέτοιο ώστε
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών , καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο.
Υπόσωμα
Έστω F σώμα. Ένα υποσύνολο του F, έστω Κ, ονομάζεται υπόσωμα του F αν ισχύουν τα εξης: α) το Κ είναι υποδακτύλιος του F β) για κάθε κ που ανήκει στο Κ\(0) υπάρχει κ^(-1) που ανήκει στο Κ
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |