Διάταξη

Μια διάταξη των n στοιχείων συνόλου Ζ {z₁,z₂...z_n} ανά k είναι ένα διατεταγμένο δείγμα (z₁,z₂...z_k) που προκύπτει από την επιλογή k στοιχείων από το σύνολο Z, όπου n και k είναι θετικοί ακέραιοι και k μικρότερο ή ίσο του n.

Η επιλογή των στοιχείων γίνεται χωρίς επανάθεση των ήδη επιλεγμένων (επανατοποθέτησή τους στο σύνολο Ζ).

Με πιο απλά λόγια, αν Ζ είναι ένα σύνολο με n στοιχεία, τότε λέμε διάταξη των n στοιχείων του Ζ ανά k, καθέναν από τους διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούμε να πάρουμε k διαφορετικά στοιχεία του Ζ και να τα βάλουμε σε μια σειρά.

Δύο διατάξεις ταυτίζονται όταν έχουν τα ίδια στοιχεία και με την ίδια σειρά. Για παράδειγμα έχουμε το σύνολο $\ Z=\lbrace 2,4,5,7\rbrace$. Μια διάταξη των 4 στοιχείων του Z ανά 3 είναι η διατεταγμένη τριάδα (4,2,7) ενώ μια άλλη διάταξη των 4 στοιχείων ανά 3 είναι η διατεταγμένη τριάδα (2,4,7).

Ο αριθμός (το πλήθος) των διατάξεων των n ανά k συμβολίζεται με (n)_k και είναι

(n)_k = n(n-1)...(n-k+1), το οποίο γράφεται διαδοχικά:

n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=[n(n-1)(n-2)...(n-k+1)(n-k)...3·2·1]/[(n-k)...3·2·1]= n!/(n-k)!

Σημείωση: n! είναι το παραγοντικό του αριθμού n, δηλαδή το γινόμενο 1·2·3·……·(n-1)·n

Ώστε το πλήθος των διατάξεων των n στοιχείων ανά k είναι: (n)_k = ${\frac {n!}{(n-k)!}}$

Αν έχουμε n=k, τότε προφανώς οι διατάξεις των n ανά n είναι οι μεταθέσεις (λήμμα:μετάθεση) όλων των στοιχείων (=n) του συνόλου δηλαδή n!

Για να ισχύει και στην περίπτωση αυτή ο τύπος n!/(n-k)! ορίζουμε ότι 0!=1

Αν δεν έχει σημασία η διάταξη των επιλεγμένων στοιχείων (η σειρά τους) τότε μιλάμε για συνδυασμό των n ανά k (βλ. λήμμα συνδυασμός).

Πηγές

• Γ. Κοκολάκης, Εισαγωγή στη Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική, 1991.