Σύμβολο μετάθεσης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
μ Bot: Migrating 25 langlinks, now provided by Wikidata on d:Q623761 |
εικ. |
||
Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
[[File:Epsilontensor.svg|thumb|right|Το σύμβολο μετάθεσης, σε τρεις διαστάσεις.]] |
|||
Στα [[μαθηματικά]], το '''σύμβολο μετάθεσης''' (επίσης γνωστό ως '''σύμβολο του Levi-Civita''' ή '''αντισυμμετρικό σύμβολο''') είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον [[τανυστικός λογισμός|τανυστικό λογισμό]]. |
Στα [[μαθηματικά]], το '''σύμβολο μετάθεσης''' (επίσης γνωστό ως '''σύμβολο του Levi-Civita''' ή '''αντισυμμετρικό σύμβολο''') είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον [[τανυστικός λογισμός|τανυστικό λογισμό]]. |
||
Γραμμή 26: | Γραμμή 27: | ||
===Διανυσματικός λογισμός=== |
===Διανυσματικός λογισμός=== |
||
Στον [[διανυσματικός λογισμός|διανυσματικό λογισμό]], το [[εξωτερικό γινόμενο]] μεταξύ δύο [[διάνυσμα|διανυσμάτων]] '''Α'''=(a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>) και '''Β'''=(b<sub>1</sub>,b<sub>2</sub>,b<sub>3</sub>) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή |
Στον [[διανυσματικός λογισμός|διανυσματικό λογισμό]], το [[εξωτερικό γινόμενο]] μεταξύ δύο [[διάνυσμα|διανυσμάτων]] '''Α'''=(a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,a<sub>3</sub>) και '''Β'''=(b<sub>1</sub>,b<sub>2</sub>,b<sub>3</sub>) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή [[ορίζουσα]]ς [[πίνακας (μαθηματικά)|πίνακα]] ως εξής: |
||
: <math> \bold{A}\times\bold{B}=\begin{vmatrix} \bold{e}_1 & \bold{e}_2 & \bold{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} </math> |
: <math> \bold{A}\times\bold{B}=\begin{vmatrix} \bold{e}_1 & \bold{e}_2 & \bold{e}_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ \end{vmatrix} </math> |
Έκδοση από την 21:16, 12 Οκτωβρίου 2013
Στα μαθηματικά, το σύμβολο μετάθεσης (επίσης γνωστό ως σύμβολο του Levi-Civita ή αντισυμμετρικό σύμβολο) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.
Ορισμός
Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:
Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης εijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.
Η τιμή του συμβόλου μετάθεσης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:
Ιδιότητες
Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:
Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),
Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.
Χρήσεις
Διανυσματικός λογισμός
Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων Α=(a1,a2,a3) και Β=(b1,b2,b3) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:
όπου (e1,e2,e3) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:
Εν γένει, αν C=A×B (όπου C=(c1,c2,c3)) τότε:
Δείτε επίσης
Πηγές
Wolfram Mathworld. «Permutation Symbol».