Πλατωνικό στερεό

Πλατωνικό στερεό λέγεται ένα κυρτό κανονικό πολύεδρο, του οποίου όλες οι έδρες είναι ίσα κανονικά πολύγωνα και όλες οι πολυεδρικές γωνίες του είναι ίσες. Επομένως, όλες οι ακμές του είναι ίσα ευθύγραμμα τμήματα, καθώς επίσης και όλες οι επίπεδες γωνίες των εδρών του είναι ίσες.

Υπάρχουν μόνο πέντε τέτοια πολύεδρα:

Τετράεδρο	Κύβος (ή κανονικό εξάεδρο)	Οκτάεδρο	Δωδεκάεδρο	Εικοσάεδρο
(κινούμενο μοντέλο)	(κινούμενο μοντέλο)	(κινούμενο μοντέλο)	(κινούμενο μοντέλο)	(κινούμενο μοντέλο)

Τα Πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι, επειδή μελετήθηκαν στην Ακαδημία του Πλάτωνα. Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα, τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά στοιχεία του σύμπαντος: το τετράεδρο τη φωτιά, ο κύβος τη γη, το εικοσάεδρο το νερό, το οκτάεδρο τον αέρα και το δωδεκάεδρο τον αιθέρα. Ο Ευκλείδης ασχολείται με αυτά στο 13ο βιβλίο των Στοιχείων του, όπου αποδεικνύει ότι υπάρχουν ακριβώς πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα και εκφράζεται η ακμή τους ως συνάρτηση της περιγεγραμμένης σφαίρας.

Ιδιότητες

Για το πλήθος των κορυφών K, των ακμών A και των εδρών E ισχύει το θεώρημα του Euler:

$E+K=A+2\,$

Αν θεωρήσουμε ότι κάθε έδρα έχει ν κορυφές (ν-γωνο) και ότι μ τέτοιες έδρες ενώνονται για να διαμορφώσουν μια πολυεδρική γωνία, τότε ισχύει:

$E={\frac {4\mu }{2\mu +2\nu -\mu \nu }}$

Πολύεδρο		Κορυφές K	Ακμές A	Έδρες E	Σύμβολο Schläfli {ν, μ}	Διαμόρφωση κορυφής	Αντίστοιχο στοιχείο
Τετράεδρο		4	6	4	{3, 3}	3.3.3	Φωτιά
Κύβος		8	12	6	{4, 3}	4.4.4	Γη
Οκτάεδρο		6	12	8	{3, 4}	3.3.3.3	Αέρας
Δωδεκάεδρο		20	30	12	{5, 3}	5.5.5	Αιθέρας, σύμπαν
Εικοσάεδρο		12	30	20	{3, 5}	3.3.3.3.3	Νερό

Μεγέθη

Σε κάθε Πλατωνικό στερεό όλες οι κορυφές του ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία περνάει από όλες τις κορυφές του πολυέδρου (περιγεγραμμένη σφαίρα). Το ίδιο ισχύει και για τις έδρες, δηλαδή ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία εφάπτεται όλων των εδρών, στα κέντρα τους (εγγεγραμμένη σφαίρα). Επίσης όλες οι ακμές ισαπέχουν από το κέντρο του πολυέδρου, πράγμα που σημαίνει ότι υπάρχει σφαίρα με κέντρο το κέντρο του πολυέδρου και η οποία εφάπτεται όλων των ακμών, στα μέσα τους.

Αν θεωρήσουμε α το μήκος της ακμής, ισχύουν τα παρακάτω:

Πολύεδρο	Ακτίνα σφαίρας που περνά από			Επιφάνεια	Όγκος
	κέντρα εδρών	κορυφές	μέσα ακμών
Τετράεδρο	${\frac {\sqrt {6}}{12}}\alpha$	${\frac {\sqrt {6}}{4}}\alpha$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}\alpha$	${\sqrt {3}}\alpha ^{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{12}}\alpha ^{3}$
Κύβος	${\frac {1}{2}}\alpha$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}\alpha$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\alpha$	$6\alpha ^{2}$	$\alpha ^{3}$
Οκτάεδρο	${\frac {\sqrt {6}}{6}}\alpha$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}\alpha$	${\frac {1}{2}}\alpha$	$2{\sqrt {3}}\alpha ^{2}$	${\frac {\sqrt {2}}{3}}\alpha ^{3}$
Δωδεκάεδρο	${\frac {1}{20}}{\sqrt {(10(25+11{\sqrt {5}})}}\alpha$	${\frac {\sqrt {3}}{4}}(1+{\sqrt {5}})\alpha$	${\frac {1}{4}}(3+{\sqrt {5}})\alpha$	$3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\alpha ^{2}$	${\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})\alpha ^{3}$
Εικοσάεδρο	${\frac {\sqrt {3}}{12}}(3+{\sqrt {5}})\alpha$	${\frac {1}{4}}{\sqrt {(10+2{\sqrt {5}})}}\alpha$	${\frac {1}{4}}(1+{\sqrt {5}})\alpha$	$5{\sqrt {3}}\alpha ^{2}$	${\frac {5}{12}}(3+{\sqrt {5}})\alpha ^{3}$

Συζυγή πολύεδρα - Συμμετρίες

Αν σε ένα Πλατωνικό στερεό λάβουμε τα κέντρα των εδρών του ως κορυφές ενός άλλου πολυέδρου, το δεύτερο αυτό πολύεδρο είναι επίσης Πλατωνικό στερεό. Τα δύο αυτά πολύεδρα ονομάζονται συζυγή πολύεδρα. Εάν το σύμβολο Schläfli του ενός πολυέδρου είναι {ν, μ}, τότε το σύμβολο Schläfli του συζυγούς του θα είναι {μ, ν}. Το πλήθος των ακμών τους παραμένει ίδιο. Έτσι, τα Πλατωνικά στερεά είναι συζυγή ανά ζεύγη: ο κύβος με το οκτάεδρο, το δωδεκάεδρο με το εικοσάεδρο και το τετράεδρο με τον εαυτό του.

Τα συζυγή πολύεδρα μοιράζονται την ίδια ομάδα συμμετρίας: το τετράεδρο ανήκει στην τετραεδρική ομάδα συμμετρίας (T), το οκτάεδρο και ο κύβος ανήκουν στην οκταεδρική ομάδα συμμετρίας (O), το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο ανήκουν στην εικοσαεδρική ομάδα συμμετρίας (I).

Πολύεδρο	Σύμβολο Schläfli	Συζυγές πολύεδρο	Ομάδα συμμετρίας
τετράεδρο	{3, 3}	τετράεδρο	Td (T)
κύβος	{4, 3}	οκτάεδρο	Oh (O)
οκτάεδρο	{3, 4}	κύβος
δωδεκάεδρο	{5, 3}	εικοσάεδρο	Ih (I)
εικοσάεδρο	{3, 5}	δωδεκάεδρο