Βαρυτικό πεδίο: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Tas-90 (συζήτηση | συνεισφορές)
Tas-90 (συζήτηση | συνεισφορές)
Γραμμή 15: Γραμμή 15:


=== Ένταση ===
=== Ένταση ===
''Ένταση'', '''Ε''', σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου, ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, και φορά αντίθετη προς το μοναδιαίο διάνυσμα <math>\bold{\hat{r}}</math> που έχει φορά από το δεύτερο σώμα στο πρώτο. Μαθηματικά,
''Ένταση'', '''Ε''', σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου, ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, και φορά αντίθετη προς το μοναδιαίο διάνυσμα <math>\hat{r}</math> που έχει φορά από το δεύτερο σώμα στο πρώτο. Μαθηματικά,


:<math> \bold{E}=-G\frac{M}{r^2}\hat{r}, </math>
:<math> \bold{E}=-G\frac{M}{r^2}\hat{r}, </math>

Έκδοση από την 14:22, 17 Απριλίου 2011

Το βαρυτικό πεδίο είναι ένα μοντέλο που χρησιμοποιείται στη φυσική για να εξηγήσει πώς λειτουργεί η βαρύτητα στο σύμπαν. Στην αρχική της σύλληψη, η βαρύτητα ήταν μια δύναμη μεταξύ σημειακών μαζών. Μετά τον Νεύτωνα, ο Λαπλάς προσπάθησε να μοντελοποιήσει την βαρύτητα ως ένα είδος δυναμικού πεδίου ή ρευστού, και από τον 19ο αιώνα οι ερμηνείες για την βαρύτητα αντιλαμβάνονταν στο πλαίσιο πεδίων, παρά μιας σημειακής έλξης.

Στο μοντέλο πεδίου, σε αντίθεση με την αμοιβαία έλξη μεταξύ των σωματιδίων, τα σωματίδια παραμορφώνουν τον χωροχρόνο εξ αιτίας της μάζας τους, και αυτή η παραμόρφωση είναι αυτή που αντιλαμβανόμαστε εμείς σαν "δύναμη". Στην πραγματικότητα η δύναμη σε αυτό το μοντέλο δεν υφίσταται, απλώς η ύλη αντιδρά στην καμπύλωση του χωροχρόνου.

Βαρυτικά πεδία στην Κλασική Μηχανική

Στην κλασική μηχανική, το πεδίο δεν είναι μια πραγματική οντότητα, αλλά μόνο ένα επιστημονικό μοντέλο που χρησιμοποιείται για να περιγράψει τα αποτελέσματα της βαρύτητας. Το πεδίο μπορεί να καθοριστεί χρησιμοποιώντας τον νόμο της παγκόσμιας έλξης του Νεύτωνα. Καθορίζοντάς το με αυτόν τον τρόπο, το βαρυτικό πεδίο γύρω από ένα απλό σωματίδιο είναι ένα διανυσματικό πεδίο, σε κάθε σημείο του οποίου αντιστοιχεί ένα διάνυσμα με κατεύθυνση προς το σωματίδιο. Η ένταση του πεδίου σε κάθε σημείο υπολογίζεται με τον νόμο της παγκόσμιας έλξης και εκφράζει τη δύναμη ανά μονάδα μάζας ενός οποιουδήποτε αντικειμένου σε αυτό το σημείο στον χώρο. Το πεδίο γύρω από περισσότερα του ενός σωματίδια είναι απλώς το διανυσματικό άθροισμα των πεδίων κάθε σωματιδίου ξεχωριστά. Ένα αντικείμενο σε ένα τέτοιο πεδίο δέχεται -βάσει της αρχής της επαλληλίας- μια δύναμη που είναι ίση με τη συνισταμένη όλων των δυνάμεων που δέχεται από κάθε πεδίο ξεχωριστά.

Βαρυτικά πεδία στην Γενική Σχετικότητα

To δισδιάστατο ανάλογο παραμόρφωσης του χωρόχρονου. Η παρουσία ύλης αλλάζει τη γεωμετρία του χωρόχρονου, η οποία ερμηνεύεται ως βαρύτητα.

Στη Γενική σχετικότητα, το βαρυτικό πεδίο ως το αποτέλεσμα των πεδιακών εξισώσεων του Αϊνστάιν. Αυτές οι εξισώσεις εξαρτώνται από την κατανομή ύλης και ενέργειας σε μια περιοχή του χώρου, αντίθετα με την Νευτώνεια βαρύτητα, που εξαρτάται μόνο από την κατανομή ύλης. Τα πεδία αυτά καθαυτά στη γενική σχετικότητα αντιπροσωπεύουν την καμπύλωση του χωροχρόνου. Σύμφωνα με τη γενική σχετικότητα, το να βρίσκεται ένα αντικείμενο σε μια καμπυλωμένη περιοχή του χώρου είναι ισοδύναμο με το να επιταχύνει σύμφωνα με την κλίση του πεδίου. Σύμφωνα με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να δρα πάνω στο αντικείμενο μια δύναμη αδράνειας αν θεωρηθεί ακίνητο ως προς το πεδίο. Αυτός είναι και ο λόγος που ένα άτομο αισθάνεται να έλκεται από τη Γη εξ αιτίας της δύναμης της βαρύτητας ενώ στέκεται ακίνητος στην επιφάνεια της Γης. Γενικά τα βαρυτικά πεδία που προβλέπει η γενική σχετικότητα ταυτίζονται απόλυτα στο όριο των ασθενών βαρυτικών πεδίων με αυτά που προβλέπει η κλασική μηχανική, αλλά υπάρχουν μερικές σημαντικές διαφορές που τα διακρίνουν όταν τα βαρυτικά πεδία γίνονται ισχυρά, όπως είναι η καμπύλωση του φωτός και τα βαρυτικά κύματα.

Κλασική Περιγραφή του Βαρυτικού Πεδίου

Ένταση

Ένταση, Ε, σε ένα σημείο βαρυτικού πεδίου, ονομάζουμε το φυσικό διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο ίσο με το πηλίκο της δύναμης που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που βρίσκεται σε απόσταση r από το κέντρο της πηγής βαρύτητας προς τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, και φορά αντίθετη προς το μοναδιαίο διάνυσμα που έχει φορά από το δεύτερο σώμα στο πρώτο. Μαθηματικά,

όπου G=6.6742×10-11 (SI) η σταθερά της βαρύτητας σε μονάδες διεθνούς συστήματος. Είναι επίσης φανερό ότι το μέτρο της έντασης του βαρυτικού πεδίου έχει μονάδες επιτάχυνσης (δύναμη ανά μονάδα μάζας), και θα εξαρτάται τόσο από τη μάζα Μ του σώματος που δημιουργεί το βαρυτικό πεδίο, όσο και από την απόσταση r από τη θέση αυτού. Η συνολική δύναμη, F, που θα ασκηθεί στο σώμα μάζας m όταν αυτό τοποθετηθεί σε απόσταση r από την "πηγή" του βαρυτικού πεδίου, θα ισούται προφανώς με το γινόμενο της έντασης του βαρυτικού πεδίου επί τη μάζα m του σώματος. Δηλαδή,

που ταυτίζεται με τη γνωστή δύναμη της βαρύτητας κατά Νεύτωνα.

Βαρυτικό Δυναμικό - Σημειακή Πηγή

Το δυναμικό, Φ, του βαρυτικού πεδίου (επίσης γνωστό και ως Νευτώνειο Δυναμικό) είναι ένα μονόμετρο μέγεθος που ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η δύναμη της βαρύτητας από μια θέση αναφοράς r0 σε μια καινούρια απόσταση r από την πηγή του βαρυτικού πεδίου. Μαθηματικά, ο ορισμός του βαρυτικού δυναμικού ταυτίζεται με το εξής επικαμπύλιο ολοκλήρωμα:

Αν αντικαταστήσουμε την ακριβή μορφή του βαρυτικού πεδίου στο παραπάνω ολοκλήρωμα, εύκολα βρίσκουμε ότι:

Στο προηγούμενο ολοκλήρωμα κάναμε χρήση του γεγονότος ότι, λόγω της σφαιρικής συμμετρίας του προβλήματος, μόνο η ακτινική συνιστώσα dr του διαφορικού της ακτίνας θέσης συνεισφέρει στο εσωτερικό γινόμενο . Όπως είναι φανερό, το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται με απροσδιοριστία μίας σταθεράς, που είναι φυσικά το αυθαίρετο σημείο r0 το οποίο θεωρούμε ως θέση αναφοράς. Το πώς θα επιλέξουμε αυτό το σημείο δεν έχει καμία απολύτως σημασία, καθώς φυσική σημασία έχει μόνο η διαφορά βαρυτικού δυναμικού μεταξύ δύο σημείων στο χώρο. Αυτό επαληθεύεται εύκολα αν θεωρήσουμε δύο σημεία σε απόσταση ra και rb από την πηγή του βαρυτικού πεδίου, οπότε η διαφορά του δυναμικού δυναμικού μεταξύ των δύο αυτών σημείων θα ισούται με

Για δική μας διευκόλυνση όμως, συνηθίζεται να παίρνουμε ως σημείο αναφοράς το άπειρο, δηλαδή θεωρούμε ότι r0→∞. Ο λόγος που διαλέγουμε αυτό το σημείο ως σημείο αναφοράς είναι διότι Φ(∞)=0, δηλαδή το δυναμικό στο άπειρο μηδενίζεται. Γενικά, στα διάφορα είδη δυναμικών επιλέγουμε τα σημεία αναφοράς με τέτοιο τρόπο ώστε η μορφή του δυναμικού να είναι όσο τον δυνατόν απλούστερη. Βάσει αυτών που είπαμε λοιπόν, μπορούμε να ορίσουμε τελικά το βαρυτικό δυναμικό (με την εκλογή του απείρου ως το σημείο αναφοράς) ως εξής:

Όπως είναι φανερό, η εκλογή του απείρου ως σημείο αναφοράς οδηγεί αμέσως στο αποτέλεσμα ότι το βαρυτικό δυναμικό θα είναι παντού αρνητικό.

Βαρυτικό Δυναμικό - Συνεχής Κατανομή

Τα πράγματα αλλάζουν όταν δεν έχουμε μονάχα ένα σώμα μάζας Μ που δημιουργεί ένα σφαιρικά συμμετρικό βαρυτικό πεδίο τριγύρω του. Εν γένει, θα θέλαμε να βρούμε μια σχέση που να μας δίνει το βαρυτικό δυναμικό μιας συνεχούς κατανομής μάζας. Για να το κάνουμε αυτό, θα θεωρήσουμε καταρχάς ότι η κατανομή αυτή χαρακτηρίζεται από μια χωρική πυκνότητα ρ(r), η οποία εν γένει μπορεί να αλλάζει από θέση σε θέση στην κατανομή. Αν τώρα επιλέξουμε αυθαίρετα ένα σύστημα αναφοράς ως προς το οποίο η απόσταση ενός τυχαίου σημείου της συνεχούς κατανομής συμβολίζεται με r' , τότε είναι φανερό πως η συνολική μάζα, Μ, της κατανομής θα ισούται με το ολοκλήρωμα

Επίσης, μια στοιχειώδης μάζα, dM, της κατανομής σε απόσταση r' θα ισούται με το γινόμενο ρ(r')d3r' . Το στοιχειώδες βαρυτικό δυναμικό, dΦ, που θα προκαλεί μια τέτοια στοιχειώδης μάζα σε μία απόσταση r από την αρχή των αξόνων, θα ισούται συνεπώς με

όπου |r- r'| η σχετική απόσταση μεταξύ της στοιχειώδους μάζας και του σημείου στο οποίο θέλουμε να προσδιορίσουμε την απειροστή συνεισφορά του δυναμικού.

Βάσει της αρχής της επαλληλίας λοιπόν, δεν έχουμε παρά να αθροίσουμε(=ολοκληρώσουμε) τη συνεισφορά κάθε στοιχειώδους μάζας ολόκληρης της κατανομής. Το συνολικό βαρυτικό δυναμικό σε απόσταση r από την αρχή των αξόνων θα ισούται λοιπόν με:

Το ολοκλήρωμα αυτό μπορεί μόνο να υπολογισθεί εάν γνωρίζουμε τη γεωμετρία της κατανομής μάζας. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ότι έχουμε μια σημειακή μάζα στη θέση r'=0 (πάνω στην αρχή των αξόνων μας δηλαδή). Ο τρόπος με τον οποίο περιγράφουμε μια ασυνεχή κατανομή από μία συνεχή συνάρτηση γίνεται συνήθως με τη λεγόμενη συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ. Μπορούμε λοιπόν να περιγράψουμε το σημειακό σωματίδιο από την εξής κατανομή μάζας:

Αυτό μπορεί εύκολα να αποδειχθεί αν ολοκληρώσουμε τις δύο σχέσεις της παραπάνω εξίσωσης πάνω σε όλο το χώρο. Αντικαθιστώντας τώρα αυτή τη κατανομή μάζας στο ολοκλήρωμα που μας δίνει το δυναμικό σε απόσταση r από την αρχή των αξόνων, βρίσκουμε ότι

που συμφωνεί με το αποτέλεσμα που είχαμε βρει για το δυναμικό σημειακής μάζας. Βλέπουμε λοιπόν ότι ο τύπος που μας δίνει τη δυναμικό μιας συνεχούς κατανομής μάζας είναι εντελώς γενικός.

Ας επιστρέψουμε όμως στην έκφραση του δυναμικού που βρήκαμε για μια συνεχή κατανομή μάζας:

Παίρνοντας το ανάδελτα και των δυο μελών, βρίσκουμε:

Τέλος, αν δράσουμε άλλη μια φορά με τον ίδιο τελεστή καταλήγουμε στο σημαντικό αποτέλεσμα:

Η εξίσωση ∇2Φ=4πGρ είναι μια εξίσωση Πουασόν, η επίλυση της οποίας εξαρτάται από τη μορφή της πυκνότητας ρ και τις αρχικές/συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.

Χρησιμότητα του Βαρυτικού Δυναμικού

Ποια είναι όμως η φυσική σημασία του βαρυτικού δυναμικού και για ποιο λόγο να ορίσει κάποιος μία τέτοια περίπλοκη ποσότητα; Αρχικά, επενθυμίζεται ότι το βαρυτικό δυναμικό ορίστηκε μαθηματικά ως

Η παραπάνω σχέση είναι απολύτως ταυτόσημη με την

και ο λόγος έχει να κάνει με το γεγονός ότι η διανυσματική συνάρτηση Ε περιγράφει ένα συντηρητικό πεδίοαστρόβιλο), και τα συντηρητικά πεδία ικανοποιούν τη σχέση

Η αντικατάσταση της μορφής που δόθηκε προηγουμένως για το βαρυτικό πεδίο συναρτήσει του δυναμικού μπορεί εύκολα να δειχθεί ότι ικανοποιεί την παραπάνω συνθήκη αστροβιλότητας.

Αυτό σημαίνει πως αν γνωρίζουμε ποιά είναι η μορφή του δυναμικού, τότε μπορούμε παίρνοντας το ανάδελτά του να βρούμε ποιά είναι η ακριβής διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου. Γνωρίζοντας όμως εκ των υστέρων ποια είναι η μορφή του δυναμικού για μία σημειακή πηγή, μπορούμε να πάρουμε το ανάδελτά της για να ελέγξουμε αν όντως το αποτέλεσμα που θα πάρουμε θα μας δώσει τη γνωστή διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου:

Που είναι βεβαίως η ακριβής έκφραση του βαρυτικού πεδίου σημειακής πηγής όπως είχε υπολογισθεί προηγουμένως.

Όπως αναφέρθηκε και νωρίτερα, η σχέση Ε=-Φ μας δίνει τη διανυσματική μορφή του βαρυτικού πεδίου μιας κατανομής μάζας αν γνωρίζουμε το αντίστοιχο δυναμικό που προκαλεί αυτή. Πολλές φορές ο προσδιορισμός κάθε συνιστώσας του βαρυτικού πεδίου βάσει των εξισώσεων κίνησης του Νεύτωνα είναι μια αρκετά πολύπλοκη (αν όχι αδύνατη) διαδικασία, ειδικά για κατανομές μάζας που δεν έχουν κάποια συμμετρία. Σε τέτοιες περιπτώσεις, ενδέχεται η επίλυση της εξίσωσης ∇2Φ=4πGρ που θα υπακούει το δυναμικό να είναι πολύ ευκολότερη (ή τουλάχιστον δυνατόν να επιλυθεί αριθμητικά). Λύνοντας λοιπόν την εξίσωση Πουασόν, βρίσκουμε το δυναμικό σε κάθε σημείο του χώρου που μας ενδιαφέρει και, τέλος, παίρνουμε το ανάδελτα του δυναμικού για να βρούμε τις αντίστοιχες συνιστώσες του βαρυτικού πεδίου.

Σχέση με τη Δυναμική Ενέργεια

Το βαρυτικό δυναμικό δεν ταυτίζεται με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια. Το βαρυτικό δυναμικό ορίζεται ως μείον το έργο ανά μονάδα μάζας που εκτελεί η βαρυτική δύναμη από ένα σημείο αναφοράς σε μια απόσταση r από την αρχή των αξόνων. Αντίθετα, η βαρυτική δυναμική ενέργεια, V, ορίζεται ως

Επειδή όμως ισχύει ότι F=mE, αποδεικνύεται εύκολα ότι η σχέση που συνδέει το βαρυτικό δυναμικό με τη βαρυτική δυναμική ενέργεια είναι η εξής:

Αν λοιπόν γνωρίζουμε ποιο είναι το βαρυτικό δυναμικό που δημιουργεί μια συγκεκριμένη κατανομή μάζας στο χώρο, τότε σε κάθε θέση μπορούμε να υπολογίσουμε ποια θα είναι η δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας m που τοποθετείται στο σημείο αυτό μέσω της προηγούμενης σχέσης.

Για παράδειγμα, γνωρίζουμε ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια ενός σώματος μάζας m που κινείται σε τροχιά γύρω από ένα βαρύτερο σώμα μάζας Μ (π.χ. ένας πλανήτης σε τροχιά γύρω από έναν αστέρα) ισούται με

Επίσης, το σώμα μάζας Μ (αν θεωρηθεί ως σημειακό ή σφαιρικά συμμετρικό) δημιουργεί ένα βαρυτικό δυναμικό που μας δίνεται από τη σχέση

Είναι όμως φανερό ότι αν πολλαπλασιάσουμε την έκφραση του βαρυτικού δυναμικού αυτού με τη μάζα m του σώματος που κινείται σε τροχιά απόστασης r από την πηγή βαρύτητας, θα βρούμε τη γνωστή έκραση για τη βαρυτική δυναμική ενέργεια.

Η Κλασική Εικόνα Πεδίων

Από νωρίς η ιδέα της δράσης μίας αόρατης δύναμης εξ αποστάσεως προβλημάτιζε τους φυσικούς, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί η παραπάνω εικόνα των πεδίων - όπως ακριβώς και στον ηλεκτρομαγνητισμό. Γενικά, η εικόνα των πεδίων θεωρείται γενικότερη και στην περίπτωση της βαρύτητας αποτέλεσε τη βάση για την ανάπτυξη της Γενικής Σχετικότητας από τον Αϊνστάιν. Η βασική εικόνα των πεδίων στην περίπτωση της κλασικής βαρύτητας, μπορεί να συνοψισθεί στις εξής δύο προτάσεις:

  • Μια οποιαδήποτε κατανομή μάζας παράγει βαρυτικό σύμφωνα με την εξίσωση ∇2Φ=4πGρ
  • Το βαρυτικό πεδίο προκαλεί επιτάχυνση g=-Φ βάσει του 2ου νόμου του Νεύτωνα

Βιβλιογραφία

  • Øyvind Grøn, Sigbjørn Hervik (2007). Einstein's General Theory Of Relativity: With Modern Applications In Cosmology. Springer publications, USA.

Δείτε επίσης

CC-BY-SA
Μετάφραση
Στο λήμμα αυτό έχει ενσωματωθεί κείμενο από το λήμμα Gravitational field της Αγγλικής Βικιπαίδειας, η οποία διανέμεται υπό την GNU FDL και την CC-BY-SA 4.0. (ιστορικό/συντάκτες).