Παραβολή (γεωμετρία)

Η πραβολή ως κωνική τομή.

Στη Γεωμετρία, παραβολή ονομάζεται η επίπεδη καμπύλη που προκύπτει από την τομή άπειρου κώνου από επίπεδο παράλληλο προς μια γενέτειρα αυτού. (Γενέτειρα του κώνου ονομάζεται η ευθεία που, αν περιστραφεί γύρω από τον άξονα του κώνου, παράγει, δηλαδή "γεννά", την επιφάνεια του κώνου). Εδώ λέγοντας κώνος εννοείται άπειρος διπλός κώνος, δηλ. οι γενέτειρές του προεκτείνονται απεριόριστα από την κορυφή του και προς τις δύο κατευθύνσεις. Συνεπώς, η παραβολή είναι ανοιχτή, απεριόριστη (δίχως άκρα) καμπύλη.

Βασικές έννοιες και εναλλακτικός ορισμός

Τα σημεία P της παραβολής ισαπέχουν από τα σημεία Q της διευθετούσας και την εστία F.

Η παραβολή ορίζεται ισοδύναμα και ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ενός επιπέδου Π που ισαπέχουν από δεδομένη ευθεία δ του επιπέδου και σημείο Ε του επιπέδου εκτός της ευθείας δ. Συμβολικά $\left\{X|{\overline {XE}}={\overline {X\delta }}\right\}$. Τότε το σημείο Ε καλείται εστία της παραβολής και η δ διευθετούσα της παραβολής.

Η παραβολή είναι συμμετρική ως προς την ευθεία α, καλούμενη άξονας της παραβολής, η οποία είναι κάθετος στη διευθετούσα δ και διέρχεται από την εστία Ε.

Έστω 2p η απόσταση μεταξύ της διευθετούσας και της εστίας. Θεωρούμε το σημείο τομής Β της διευθετούσας και του άξονα της παραβολής. Το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΒΕ είναι προφανώς 2p. Το μέσο Α του ΒΕ ανήκει προφανώς στην παραβολή και ονομάζεται κορυφή της παραβολής. Το Α ισαπέχει από τη διευθετούσα και την εστία κατά απόσταση p.

Η ευθεία που περνά από την εστία και την κορυφή της παραβολής ονομάζεται άξονας και αποτελεί άξονα συμμετρίας της παραβολής.

Εξισώσεις της Παραβολής

Κανονική μορφή

Μία παραβολή θεωρείται στην κανονική της μορφή, όταν η κορυφή της είναι στο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων και ο άξονάς της συμπίπτει με τον άξονα τετμημένων του συστήματος συντεταγμένων.

Η εξίσωση της παραβολής με εστία $E({\frac {p}{2}},0)$ και διευθετούσα δ: $x=-{\frac {p}{2}}$ σε Καρτεσιανές συντεταγμένες είναι:

$y^{2}=2px\,$.

Ο αριθμός p λέγεται παράμετρος της παραβολής και η απόλυτη τιμή του εκφράζει την απόσταση της εστίας από την διευθετούσα.

Ομοίως η εξίσωση της παραβολής με εστία $E(0,{\frac {p}{2}})$ και διευθετούσα δ: $y=-{\frac {p}{2}}$ σε Καρτεσιανές συντεταγμένες είναι:

$x^{2}=2py\,$.

Γενική μορφή

Έστω μία κωνική τομή

$\,ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0.$

Η καμπύλη αυτή είναι παραβολή, αν $\,4ac=b^{2}$ και τουλάχιστον ένα των a, c είναι διάφορο του μηδενός.

Η Παραβολή ως συνάρτηση

$\,f(x)=ax^{2}+bx+c.$

• Δείτε επίσης: Δευτεροβάθμια εξίσωση

Εφαπτομένη

Η εφαπτομένη της παραβολής στο σημείο Α(Xa,Ya) όταν η εξίσωση βρίσκετε στην γενική μορφή της είναι:

$\,YYa=p(X+Xa)$

Ιδιότητες

Οπτική

Aνάκλαση παράλληλων ακτίνων

Αν θεωρήσουμε ακτίνες φωτός παράλληλες ως προς τον άξονα, αυτές ανακλώντας στην καμπύλη της παραβολής συγκεντρώνονται στην εστία. Η ιδιότητα αυτή εφαρμόζεται στα παραβολικά κάτοπτρα.