Συνάρτηση ζήτα Ρήμαν: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
μ To "Ζήτα συνάρτηση" μετακινήθηκε στο "Συνάρτηση ζήτα": στο κείμενο γράφεται παντού συν. ζήτα, γιατί στον τίτλο διαφορετικά; |
→Επεκτάσεις: +διωνυμικό συντελεστή |
||
Γραμμή 26: | Γραμμή 26: | ||
Η ζήτα συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε όλο το <math>\mathbb{C}</math> σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξής 1 στο <math>s=1</math>. Για <math>Re(s) > 1-2r</math> η επεκταμένη αυτή συνάρτηση έιναι: |
Η ζήτα συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε όλο το <math>\mathbb{C}</math> σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξής 1 στο <math>s=1</math>. Για <math>Re(s) > 1-2r</math> η επεκταμένη αυτή συνάρτηση έιναι: |
||
:<math>\zeta(n)=\frac12+\frac1{s-1}+\sum_{k=1}^n{s+2k-2 \choose s}2k(2k-1)B_{2k}-{s+2r-1 \choose s}2r\int_{1}^\infty \frac{\tilde{B}_{2r}(x)}{x^{s+2r}}dx,</math> |
:<math>\zeta(n)=\frac12+\frac1{s-1}+\sum_{k=1}^n{s+2k-2 \choose s}2k(2k-1)B_{2k}-{s+2r-1 \choose s}2r\int_{1}^\infty \frac{\tilde{B}_{2r}(x)}{x^{s+2r}}dx,</math> |
||
όπου <math>B_{2k} </math> [[αριθμοί |
όπου <math>\ B_{2k} </math> οι [[αριθμοί Bernoulli]], <math>\tilde{B}_{2r}(x):=B_{2r}(x-\lfloor x\rfloor), B_{2r}(x)</math> τα [[πολυώνυμα Bernoulli]] και <math>{n \choose k}</math> συμβολίζει το [[διωνυμικός συντελεστής|διωνυμικό συντελεστή]], δηλ. <math>{s+2n-2 \choose s}=\frac{(s+2n-2)!}{s!(2n-2)!}</math>. |
||
==Σχέσεις== |
==Σχέσεις== |
Έκδοση από την 07:48, 24 Ιουνίου 2010
Η συνάρτηση ζήτα ή συνάρτηση ζήτα του Riemann, από το όνομα του Γερμανού μαθηματικού Μπέρναρντ Ρίμαν είναι μια συνάρτηση με ιδιαίτερη σημασία στη θεωρία αριθμών, λόγω της σχέσης της με την κατανομή των πρώτων αριθμών. Έχει επίσης εφαρμογές σε άλλα πεδία, όπως η φυσική, η θεωρία πιθανοτήτων και η εφαρμοσμένη στατιστική.
Ορισμός
Η συνάρτηση ζήτα είναι συνάρτηση μιας μιγαδικής μεταβλητής s και ορίζεται με τη βοήθεια της ακόλουθης άπειρης σειράς, όταν ο μιγαδικός αριθμός s έχει πραγματικό μέρος μεγαλύτερο της μονάδας:
Στην περιοχή , αυτή η σειρά συγκλίνει και ορίζει μια συνάρτηση αναλυτική σε αυτή την περιοχή.
Η συνάρτηση ζήτα ορίζεται ως η αναλυτική επέκταση της πάνω συνάρτησης σε ολόκληρο το μιγαδικό επίπεδο, καθώς ο Riemann έδειξε ότι αυτή η αναλυτική επέκταση για Re(s) ≤ 1 και s≠1 υπάρχει και είναι μοναδική, ενώ στο σημείο s=1 του μιγαδικού επιπέδου προκύπτει η αρμονική σειρά η οποία αποκλίνει προς το +∞.
Η συνάρτηση ζήτα συνδέεται με τους πρώτους αριθμούς με την εξής σχέση, που ανακαλύφθηκε από τον Λέοναρντ Όιλερ:
όπου το σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.
Αν ο s είναι ακέραιος, τότε ο παραπάνω τύπος του Όιλερ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της πιθανότητας s το πλήθος τυχαία επιλεγμένοι αριθμοί να είναι μεταξύ τους σχετικά πρώτοι. Η πιθανότητα αυτή αποδεικνύεται ότι ισούται με 1/ζ(s).
Επεκτάσεις
Η συνάρτηση ζήτα μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά στην περιοχή σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξης 1 στο . Η επεκταμένη αυτή συνάρτηση έιναι:
όπου με δηλώνεται το ακέραιο μέρος του .
Η ζήτα συνάρτηση μπορεί να επεκταθεί αναλυτικά σε όλο το σε μία μερομορφική συνάρτηση στην περιοχή αυτή με έναν πόλο τάξής 1 στο . Για η επεκταμένη αυτή συνάρτηση έιναι:
όπου Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (SVG (Η MathML μπορεί να ενεργοποιηθεί μέσω μιας προσθήκης στο πρόγραμμα περιήγησης): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \ B_{2k} } οι αριθμοί Bernoulli, τα πολυώνυμα Bernoulli και συμβολίζει το διωνυμικό συντελεστή, δηλ. .
Σχέσεις
Συναρτησιακή εξίσωση της ζήτα συνάρτησης (functional equation):
όπου η συνάρτηση γάμμα.
H συνάρτηση γάμμα (ή ακριβέστερα η αναλυτική προέκτασή της στο ) έχει πόλους τάξης 1 στο . Η ζήτα συνάρτηση μηδενίζεται συνεπώς για .
Υπόθεση του Riemann
Η υπόθεση του Riemann είναι ένα από τα άλυτα προβλήματα της θεωρίας αριθμών. Δηλώνει ότι εκτός από τις τιμές η συνάρτηση ζήτα μηδενίζεται μόνο για με .
Από την συναρτησιακή εξίσωση της συνάρτησης ζήτα και τις ιδιότητες της συνάρτησης γάμα προκύπτει ότι η συνάρτηση ζήτα για με μηδενίζεται μόνο για . Στην περιοχή προφανώς δε μηδενίζεται. Επίσης αποδυκνείεται ότι για . Συνεπώς οι υπόλοιπες τιμές που τη μηδενίζουν πρέπει να ικανοποιούν .
Βιβλιογραφία
- Μαθηματικά
- J. Neukirch, Algebraische Zahlentheorie, Springer, Berlin, 1992, ISBN 3-540-54273-6 (Γερμανικά)
- Reinhard Remmert, Funktionentheorie 1, Springer, Berlin, 1992, ISBN 3-540-55233-2 (Γερμανικά)
- Edward Charles Titchmarsh, The Zeta-Function of Riemann, 1930 (Αγγλικά)
- Edward Charles Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, 1951 (Αγγλικά)
- Don Zagier, Zetafunktionen und quadratische Körper, Teil 1, § 4, Springer, Berlin, Heidelberg, New York, 1981, ISBN 3-540-10603-0 (Γερμανικά)
- Ιστορική εξέλιξη
- Marcus du Sautoy, Die Musik der Primzahlen. Auf den Spuren des größten Rätsels der Mathematik, München, Beck, 2005, ISBN 3-406-52320-X (Γερμανικά)
Εξωτερικοί σύνδεσμοι
Αγγλικοί σύνδεσμοι:
- Xavier Gourdon and Pascal Sebah: ορισμός
- Xavier Gourdon and Pascal Sebah: γενικά
- Xavier Gourdon and Pascal Sebah: υπολογισμοί
- Xavier Gourdon and Pascal Sebah: ρίζες
- P. CERONE: BOUNDS FOR ZETA AND RELATED FUNCTIONS, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, Volume 6, Issue 5, Article 134, 2005
- Zetagrid
Γερμανικοί σύνδεσμοι: