Επίπεδο

Το επίπεδο είναι αρχική έννοια της γεωμετρίας. Στην καθημερινή ζωή αντιστοιχεί σε μια λεία ομοιόμορφη ανοιχτή επιφάνεια που εφαρμόζει ακριβώς με τον εαυτό της ακόμα και όταν κινείται κατά την έκτασή της, παραδείγματα επιφανειών που τη προσεγγίζουν είναι οι τοίχοι, τα ταβάνια, και τα πατώματα ενός απλού σπιτιού, η πάνω επιφάνεια ενός τραπεζιού, ο πίνακας μίας σχολικής αίθουσας.

Περιγραφή του επιπέδου

Αξιωματική γεωμετρία

Σχεδόν σε κάθε γεωμετρία ισχύουν τα εξής που αφορούν το επίπεδο:

• Αν δύο σημεία που ανήκουν σε ένα επίπεδο ορίζουν μία ευθεία, τότε αυτή ανήκει εξ'ολοκλήρου στο επίπεδο.
• Απο τρία σημεία διέρχεται μοναδικό επίπεδο.
• Δύο ευθείες που ανήκουν στο ίδιο επίπεδο ταυτίζονται, τέμνονται ή είναι παράλληλες. Δε μπορούν να είναι ασύμβατες.
• Δύο επίπεδα που έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο ταυτίζονται ή τέμνονται κατά μήκος μιας ευθείας.
• Κάθε επίπεδο χωρίζει το χώρο σε τρεις περιοχές, ή ισοδύναμα δύο σημεία που δεν ανήκουν στο επίπεδο βρίσκονται είται στο ίδιο μέρος του επιπέδου ή εκατέρωθέν του.
• Ένα επίπεδο έχει τρία τουλάχιστον σημεία που δεν βρίσκονται στην ίδια ευθεία και ένα σημείο έξω από το επίπεδο.
• Ένα επίπεδο μπορεί να προεκταθεί απεριόριστα.

Αναλυτική γεωμετρία

Επίπεδο p με κάθετα σε αυτό διανύσματα τα n1 και n2.

Σε τρισδιάστατο ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς ένα επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως ο γεωμετρικός χώρος που αντιστοιχεί σε αυτήν τη συνθήκη:

$(\mathrm {P} -\Pi )\delta =0$

Όπου Ρ το εφαρμοστό διάνυσμα θέσης τυχαίου σημείου του χώρου, Π το εφαρμοστό διάνυσμα θέσης ενός σημείου του χώρου και δ ένα διάνυσμα που λέγεται κάθετο διάνυσμα του επιπέδου. Οι αρχές των εφαρμοστών διανυσμάτων είναι η αρχή των αξόνων.

Το διάνυσμα Ρ-Π είναι ένα διάνυσμα του οποίου και τα δύο σημεία ανήκουν στο οριζόμενο επίπεδο, άρα ανήκει εξολοκλήρου στο επίπεδο. Από τη σχέση προκύπτει ότι αυτό το διάνυσμα και το δ είναι κάθετα μεταξύ τους, άρα το δ δίνει στο επίπεδο έναν συγκεκριμένο προσανατολισμό. Ο προσδιορισμός του επιπέδου ολοκληρώνεται με το εφαρμοστό διάνυσμα Π, το οποίο τοποθετεί το ελεύθερο επίπεδο σε συγκεκριμένη θέση. Το Π ανήκει στο επίπεδο, αφού $\Pi -\Pi ={\vec {0}}$

Γραμμική άλγεβρα

Το επίπεδο είναι η λύση γραμμικών εξισώσεων της μορφής αχ+βψ+γω=0, όπου α, β, γ παράμετροι τέτοιες, ώστε |α|+|β|+|γ|$\neq$0, δηλαδή να μην είναι όλες μηδέν. Αν σε μία εξίσωση αυτής της μορφής είναι α=β=γ=0, τότε η λύση του συστήματος είναι όλος ο τρισδιάστατος χώρος.