Σώμα (άλγεβρα): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
μ συνδ |
συμπλήρωση interwiki, επιμέλεια |
||
Γραμμή 1: | Γραμμή 1: | ||
Σώμα είναι ένα σύνολο F (απο το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο |
'''Σώμα''' είναι ένα [[σύνολο]] F (απο το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο [[δυαδική πράξη|δυαδικές πράξεις]] + και * ορισμένες στο F, οι οποίες απεικονίζουν σε 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F, άλλα στοιχεία, a+b και a*b, πάλι στο F. |
||
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες |
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες: |
||
#(a+b)+c=a+(b+c) |
|||
#Υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F τέτοιο ώστε |
|||
##a+0=a για κάθε a που ανήκει στο F, και |
|||
##Για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0. |
|||
#a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η [[αντιμεταθετική ιδιότητα]] στο F |
|||
#(a*b)*c=a*(b*c) |
|||
#Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1. |
|||
#a*b=b*a |
|||
#a*(b+c)=a*b+a*c |
|||
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές |
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το [[ρητός αριθμός|Q]] και το [[πραγματικοί αριθμοί|R]] και το σώμα των [[μιγαδικοί αριθμοί|μιγαδικών αριθμών]] C. |
||
Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού |
Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. |
||
Το στοιχείο 0 |
Το στοιχείο 0 είναι το [[ουδέτερο στοιχείο]] της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. |
||
Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι |
Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με <math>a^{-1}</math> , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει <math>a^{-1}</math> τέτοιο ώστε a*<math>a^{-1}</math> =1. |
||
Εκτός |
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*<math>\sqrt{2}</math> και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν. |
||
Ένας [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιος]] <math>(R,\circ,+)</math> καλείται '''σώμα''' αν ισχύουν τα εξής : |
Ένας [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιος]] <math>(R,\circ,+)</math> καλείται '''σώμα''' αν ισχύουν τα εξής : |
||
Γραμμή 34: | Γραμμή 35: | ||
[[Κατηγορία: Άλγεβρα]] |
[[Κατηγορία: Άλγεβρα]] |
||
[[ |
[[ar:حقل (رياضيات)]] |
||
[[zh-min-nan:Thé]] |
|||
[[ca:Cos (matemàtiques)]] |
|||
[[cs:Těleso (algebra)]] |
|||
[[da:Legeme (matematik)]] |
|||
[[de:Körper (Algebra)]] |
|||
[[et:Korpus (matemaatika)]] |
|||
[[el:Σώμα (άλγεβρα)]] |
|||
[[es:Cuerpo (matemática)]] |
|||
[[eo:Korpo (algebro)]] |
|||
[[fa:میدان (ریاضی)]] |
|||
[[fr:Corps (mathématiques)]] |
|||
[[zh-classical:域 (代數)]] |
|||
[[ko:체 (수학)]] |
|||
[[hr:Polje (matematika)]] |
|||
[[io:Feldo (algebro)]] |
|||
[[id:Medan (matematika)]] |
|||
[[it:Campo (matematica)]] |
|||
[[he:שדה (מתמטיקה)]] |
|||
[[hu:Test (algebra)]] |
|||
[[nl:Lichaam (Ned) / Veld (Be)]] |
|||
[[ja:体 (数学)]] |
|||
[[no:Kropp (matematikk)]] |
|||
[[pl:Ciało (matematyka)]] |
|||
[[pt:Corpo (matemática)]] |
|||
[[ro:Corp (matematică)]] |
|||
[[ru:Поле (алгебра)]] |
|||
[[sk:Pole (algebra)]] |
|||
[[sl:obseg (algebra)]] |
|||
[[sr:Поље (математика)]] |
|||
[[fi:Kunta (matematiikka)]] |
|||
[[sv:Kropp (matematik)]] |
|||
[[vi:Trường (toán học)]] |
|||
[[tr:Cisim (matematik)]] |
|||
[[uk:Поле]] |
|||
[[zh:域 (数学)]] |
Έκδοση από την 11:51, 12 Μαΐου 2009
Σώμα είναι ένα σύνολο F (απο το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο δυαδικές πράξεις + και * ορισμένες στο F, οι οποίες απεικονίζουν σε 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F, άλλα στοιχεία, a+b και a*b, πάλι στο F. Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες:
- (a+b)+c=a+(b+c)
- Υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει στο F τέτοιο ώστε
- a+0=a για κάθε a που ανήκει στο F, και
- Για κάθε a που ανήκει στο F υπάρχει b που ανήκει στο F τέτοιο ώστε a+b=0.
- a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στο F
- (a*b)*c=a*(b*c)
- Υπάρχει αριθμός 1 που ανήκει στο F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει, για κάθε a διάφορο του μηδενός, ένα b, τέτοιο ώστε a*b=1.
- a*b=b*a
- a*(b+c)=a*b+a*c
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές από τα θεωρήματα του Σώματος είναι το Q και το R και το σώμα των μιγαδικών αριθμών C. Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού άρα δεν χρειάζονται περαιτέρω διερεύνηση. Το στοιχείο 0 είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού. Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ώστε για κάθε a να υπάρχει -a, τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλαπλασιασμού συμβολίζεται με , τέτοιο ώστε, για κάθε a που ανήκει στο F, να υπάρχει τέτοιο ώστε a* =1.
Εκτός από τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b* και γενικά της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμές 2,3,...,ν.
Ένας δακτύλιος καλείται σώμα αν ισχύουν τα εξής :
- Ο δακτύλιος είναι μεταθετικός.
- Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο ώστε για κάθε
- Για κάθε υπάρχει στοιχείο του το οποίο συμβολίζουμε με τέτοιο ώστε
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών , καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο. Όντως:
Αυτό το μαθηματικό λήμμα χρειάζεται επέκταση. Μπορείτε να βοηθήσετε την Βικιπαίδεια επεκτείνοντάς το. |