Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Σώμα (άλγεβρα)»

Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
καμία σύνοψη επεξεργασίας
μ (αποσαφήνιση)
Σώμα είναι ένα σύνολο F (απο το αγγλικό Field) αντικειμένων οποιουδήποτε είδους, μαζί με δύο διμελής πράξεις + και * ορισμένες στο F οι οποιες απεικονίζουν σε 2 στοιχεία a και b που ανήκουν στο F αλλα στοιχεία, a+b και a*b στο F.
Και ισχύουν οι εξής ιδιότητες
 
(1).(a+b)+c=a+(b+c)
(2).Υπάρχει στοιχείο 0 που ανήκει F τέτοιο ώστε (i). a+0=a για κάθε a ανήκει F
και (ii). Για κάθε a ανήκει στο F υπάρχει b ανήκει F τέτοιο ώστε a+b=0.
(3).a+b=b+a Δηλαδή να ισχύει η αντιμεταθετική στο F
(4).(a*b)*c=a*(b*c)
(5).Υπάρχει αριθμός 1 ανήκει F τέτοιος ώστε (i).a*1=a (ii). Και να υπάρχει για κάθε a διαφορο του μηδενός ενα b τέτοιο ώστε a*b=1.
(6).a*b=b*a
(7).a*(b+c)=a*b+a*c
 
Τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων όπως είναι προφανές απο τα θεωρήματα του Σώματος είναι το Q και το R και το σώμα των μιγαδικών αριθμών C.
Βεβαίως τα + και το * είναι τα γνωστά σύμβολα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού αρα δε χρειάζονται περεταίρω διερέυνηση.
Το στοιχείο 0 ειναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το 1 είναι το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού.
Το αντίθετο της πρόσθεσης το συμβολίζουμε με -a έτσι ωστε για κάθε a να υπάρχει -a τέτοιο ώστε a+(-a)=0, και το αντίστροφο του πολλπλασιασμού συμβολίζεται με <math>a^{-1}</math> τέτοιο ώστε για κάθε a που ανήκει στο F να υπάρχει <math>a^{-1}</math> τετοιο ώστε a*<math>a^{-1}</math> =0.
 
Εκτός απο τα γνωστά παραδείγματα σωμάτων υπάρχουν και τα παραδείγματα των σωμάτων που είναι της μορφής a+b*<math>\sqrt{2}</math> και γενικα της μορφής αυτής που το υπόρριζο μπορεί να πάρει τις τιμες 2,3,...,ν.
 
Ένας [[δακτύλιος (άλγεβρα)|δακτύλιος]] <math>(R,\circ,+)</math> καλείται '''σώμα''' αν ισχύουν τα εξής :
 
*Ο δακτύλιος είναι [[Αντιμεταθετική ιδιότητα|μεταθετικός]].
 
*Υπάρχει Μοναδιαίο Στοιχείο<math>1_R \in R</math> ώστε <math>r\circ 1_R=1_R \circ r=r </math> για κάθε <math>r \in R</math>
 
*Για κάθε <math>r \in R</math> υπάρχει στοιχείο του <math> R </math> το οποίο συμβολίζουμε με <math>r^{-1}</math> τέτοιο ώστε <math>r \circ r^{-1}=r^{-1} \circ r =1_R</math>
Τυπικό παράδειγμα σώματος είναι το σύνολο των [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικών αριθμών]] <math>\mathbb{R}</math>, καθώς είναι μοναδιαίος αντιμεταθετικός δακτύλιος και κάθε μη μηδενικό στοιχείο του έχει αντίστροφο. Όντως:
<center><math>\forall a\in \mathbb{R}\Rightarrow \exists b\ne 0 : ab=1\Rightarrow a=\frac{1}{b}</math></center>
 
 
{{Μαθηματικά-επέκταση}}
10

επεξεργασίες

Μενού πλοήγησης