Εγγράψιμο τετράπλευρο

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ λέγεται εγγράψιμο σε κύκλο ή κυκλικό αν υπάρχει κύκλος που διέρχεται και από τις τέσσερις κορυφές του ${\rm {A}}$ , ${\rm {B}}$ , ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$ . Ο κύκλος αυτός ονομάζεται περιγεγραμμένος κύκλος του ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και λέγεται ότι το τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε αυτόν.^[1]^:111^[2]^:134^[3]^:38^[4]^:112-113

Ιδιότητες

Οι μεσοκάθετοι των πλευρών ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου τέμνονται στο περίκεντρο

{\rm {O}}

.

Οι απέναντι γωνίες είναι παραπληρωματικές, δηλαδή

{\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}={\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}=180^{\circ }

.

Κάθε γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της, π.χ. η

{\hat {\rm {A}}}

είναι ίση με την εξωτερική της

{\hat {\rm {\Gamma }}}

.

Δύο διαδοχικές κορυφές βλέπουν την απέναντι πλευρά υπό ίδια γωνία,

{\widehat {\rm {\Delta A\Gamma }}}={\widehat {\rm {\Delta B\Gamma }}}

.

Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου και λέγεται περίκεντρο.^[4]^: 111-112

Απόδειξη

( $\Rightarrow$ ) Έστω ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ένα κυρτό τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $\rho$ . Τότε, αφού τα ${\rm {A}}$ , ${\rm {B}}$ , ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$ ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι

{\rm {OA}}={\rm {OB}}={\rm {O\Gamma }}={\rm {O\Delta }}=\rho

.

Επομένως, καταλήγουμε ότι το ${\rm {O}}$ ανήκει στις μεσοκαθέτους των ${\rm {AB}}$ , ${\rm {B\Gamma }}$ , ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και ${\rm {\Delta A}}$ .

( $\Leftarrow$ ) Έστω ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ένα κυρτό τετράπλευρο, όπου οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το σημείο ${\rm {O}}$ . Τότε, έχουμε

{\rm {OA}}={\rm {OB}}={\rm {O\Gamma }}={\rm {O\Delta }}

,

και επομένως ο κύκλος με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα ${\rm {OA}}$ διέρχεται από τα ${\rm {A}}$ , ${\rm {B}}$ , ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$ , συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο. $\square$

Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }$ ή ${\hat {\rm {B}}}+{\hat {\rm {\Delta }}}=180^{\circ }$ .^[4]^: 112
Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.^[4]^: 112

Απόδειξη

Η συνθήκη αυτή προκύπτει από την προηγούμενη, καθώς η εξωτερική γωνία είναι παραπληρωματική της εσωτερικής.

Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγράψιμο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, π.χ. ${\widehat {\rm {A\Gamma B}}}={\widehat {\rm {A\Delta B}}}$ .^[4]^: 113

Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ , θεωρούμε τους εγγεγραμμένους κύκλους $({\rm {I}}_{1},\rho _{1})$ $({\rm {I}}_{1},\rho _{1})$ , $({\rm {I}}_{2},\rho _{2})$ $({\rm {I}}_{2},\rho _{2})$ , $({\rm {I}}_{3},\rho _{3})$ $({\rm {I}}_{3},\rho _{3})$ και $({\rm {I}}_{4},\rho _{4})$ $({\rm {I}}_{4},\rho _{4})$ των τριγώνων ${\rm {AB\Gamma }}$ ${\rm {AB\Gamma }}$ , ${\rm {B\Gamma \Delta }}$ ${\rm {B\Gamma \Delta }}$ , ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ ${\rm {\Gamma \Delta A}}$ και ${\rm {\Delta AB}}$ ${\rm {\Delta AB}}$ . Τότε ισχύει ότι^{[Σημείωση 1]}
- Το τετράπλευρο ${\rm {I_{1}I_{2}I_{3}I_{4}}}$ είναι ορθογώνιο, και
- (Ιαπωνικό θεώρημα) $\rho _{1}+\rho _{3}=\rho _{2}+\rho _{4}$ .

Αντίκεντρο

Το αντίκεντρο (ή σημείο Mathot) ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου είναι το συμμετρικό του βαρυκέντρου του τετραπλεύρου ως προς το περίκεντρό του.^[5]^:131-133

Το σημείο αυτό έχει τις εξής ιδιότητες:^[6]^[7]

Οι κάθετες ευθείες από τα μέσα των πλευρών προς τις απέναντι πλευρές διέρχονται από αντίκεντρο.^[5]^: 131
Το αντίκεντρο είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου που ορίζεται από τα μέσα των διαγωνίων και το σημείο τομής τους.^[5]^: 132
Τα ορθόκεντρα των τεσσάρων τριγώνων που ορίζουν οι κορυφές του τετραπλεύρου ανά τρεις σχηματίζουν ένα τετράπλευρο συμμετρικό ως προς το αρχικό με κέντρο συμμετρίας το αντίκεντρο.^[5]^: 132
Οι κύκλοι Όιλερ των τριγώνων που ορίζουν οι κορυφές του ανά τρεις τετραπλεύρου^[5]^: 132
- διέρχονται από το αντίκεντρο του τετραπλεύρου.
- Τα κέντρα τους είναι ομοκύκλια σημεία.
- Ο περιγεγραμμένος τους κύκλος των κεντρών ίσος με τους άλλους τέσσερις, το κέντρο του είναι το αντίκεντρο του τετραπλεύρου και η ακτίνα του είναι ίση με το μισό της ακτίνας του αρχικού τετραπλεύρου.
Το άθροισμα των τετραγώνων των αποστάσεων των κορυφών από το αντίκεντρο ισούται με το τετράγωνο της διαμέτρου του περιγεγραμμένου του κύκλου. Δηλαδή,

{\rm {MA^{2}+MB^{2}+M\Gamma ^{2}+M\Delta ^{2}=(2R)^{2}}}

.

Το αντίκεντρο ως σημείο τομής των καθέτων από τα μέσα των πλευρών προς τις απέναντι πλευρές.

Το αντίκεντρο ως ορθόκεντρο του τριγώνου που έχει κορυφές τα δύο μέσα των υψών και το σημείο τομής τους.

Το αντίκεντρο του τριγώνου ως κέντρο συμμετρίας του αρχικού τετραπλεύρου και του τετραπλεύρου που σχηματίζεται από τα ορθόκεντρα των ´μερικών τριγώνων.

Το αντίκεντρο ως τομή κύκλων του Όιλερ.

Εμβαδόν

Το εμβαδόν ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ με μήκη πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ δίνεται από τον τύπο του Βραγχμαγκούπτα (ο οποίος γενικεύει τον τύπο του Ήρωνα για τα τρίγωνα)

{\rm {E}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}

,

όπου $\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )$ η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Για δοσμένα τα μήκη των πλευρών $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ , το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι αυτό με το μέγιστο εμβαδόν.^{[Σημείωση 2]}^[8]

Μετρικές σχέσεις

(1o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι^[9]^[10]

{\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {B\Delta }}=\alpha \gamma +\beta \delta

.

(2o Θεώρημα του Πτολεμαίου) Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι

{\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}

.

Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ τα μήκη των διαγωνίων δίνονται από τις σχέσεις^[11]

{\rm {A\Gamma }}={\sqrt {\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}}\quad

και

\quad {\rm {B\Delta }}={\sqrt {\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )}{\alpha \delta +\beta \gamma }}}

.

Απόδειξη

Οι τύποι αυτοί προκύπτουν από το πρώτο και το δεύτερο θεώρημα του Πτολεμαίου. Για παράδειγμα, από τον πολλαπλασιαμό των σχέσεων

{\rm {A\Gamma }}\cdot {\rm {B\Delta }}=\alpha \gamma +\beta \delta

,

και

{\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\alpha \delta +\beta \gamma }{\alpha \beta +\gamma \delta }}

,

λαμβάνουμε

{\rm {A\Gamma }}^{2}={\frac {(\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{\alpha \beta +\gamma \delta }}

,

που οδηγεί στον πρώτο τύπο.

(Θεώρημα τεμνόμενων χορδών) Σε ένα τετράπλευρο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ όπου ${\rm {I}}$ το σημείο τομής των διαγωνίων του ${\rm {A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta }}$ , ισχύει ότι

{\rm {AI}}\cdot {\rm {I\Gamma }}={\rm {BI}}\cdot {\rm {I\Delta }}

.

Η ακτίνα $R$ του περιγεγραμμένου κύκλου συναρτήσει των πλευρών του δίνεται από τον τύπο

R={\frac {1}{4}}{\sqrt {\frac {(\alpha \beta +\gamma \delta )\cdot (\alpha \gamma +\beta \delta )\cdot (\alpha \delta +\beta \gamma )}{(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}}

.

Απόδειξη

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου ${\rm {AB\Gamma }}$ με πλευρές $\alpha ,\beta ,\gamma$ και ακτίνα περιγεγραμμένου κύκλου $R$

{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}={\frac {\alpha \beta \gamma }{4R}}

.

Τώρα στο εγγράψιμο τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ τον εφαρμόζουμε στα τρίγωνα ${\rm {AB\Gamma }}$ και ${\rm {A\Delta \Gamma }}$ που έχουν τον ίδιο περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι

{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}={\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma }}+{\rm {E}}_{\rm {A\Delta \Gamma }}={\frac {\alpha \beta {\rm {A\Gamma }}}{4R}}+{\frac {\gamma \delta {\rm {A\Gamma }}}{4R}}={\frac {\rm {A\Gamma }}{4R}}\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )

.

Λύνοντας προς $R$ λαμβάνουμε

R={\frac {\rm {A\Gamma }}{4{\rm {E}}_{\rm {AB\Gamma \Delta }}}}\cdot (\alpha \beta +\gamma \delta )

.

Τέλος, χρησιμοποιώντας τον τύπο του Βραχμαγκούπτα για το εμβαδόν του ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ και τον τύπο για το μήκος της διαγωνίου λαμβάνουμε το ζητούμενο.

Για την γωνία ${\hat {\rm {A}}}$ ενός εγγράψιμου τετραπλεύρου ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ ισχύει ότι^[12]

\sin {\hat {\rm {A}}}={\frac {2{\sqrt {(\tau -\alpha )(\tau -\beta )(\tau -\gamma )(\tau -\delta )}}}{(\alpha \delta +\beta \gamma )}},

\cos {\hat {\rm {A}}}={\frac {\alpha ^{2}-\beta ^{2}-\gamma ^{2}+\delta ^{2}}{2(\alpha \delta +\beta \gamma )}},

\tan {\frac {\hat {\rm {A}}}{2}}={\sqrt {\frac {(\tau -\alpha )(\tau -\delta )}{(\tau -\beta )(\tau -\gamma )}}}

,

όπου

\tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma +\delta )

η ημιπερίμετρος του τετραπλεύρου.

Ειδικές περιπτώσεις

Το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο είναι εγγράψιμο και είναι το μόνο εγγράψιμο παραλληλόγραμμο.^[4]^: 113
Το ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο και είναι το μόνο εγγράψιμο τραπέζιο.^[4]^: 113

Οι διχοτόμοι των γωνιών ενός τετράπλευρου δημιουργούν ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ή συντρέχουν (όταν το τετράπλευρο είναι περιγεγράψιμο).

Εφαρμογές

Τα εγγράψιμα τετράπλευρα και οι ιδιότητες αυτών, χρησιμοποιούνται στις αποδείξεις των εξής θεωρημάτων:

Στην απόδειξη ύπαρξης του ορθόκεντρου τριγώνου
Στον απόδειξη του κύκλου Όιλερ ενός τριγώνου
Στην απόδειξη της ευθείας Σίμσον
Στην απόδειξη του θεωρήματος Νάγκελ
Στην απόδειξη του σημείου Στάινερ
Στην απόδειξη του σημείου ΜακΛώριν

Δείτε επίσης

Σημειώσεις

↑ Δείτε απόδειξη εδώ.
↑ Δείτε την απόδειξη εδώ

Παραπομπές

↑ Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
↑ Πάμφιλος, Πάρις (2012). Ελάσσον Γεωμετρικόν. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. ISBN 9789605243807.
↑ Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1966). Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία. Θεσσαλονίκη.
1 2 3 4 5 6 7 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα.
1 2 3 4 5 Altshiller-Court, Nathan (2007). College geometry: an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle (2η έκδοση). Mineola, NY: Dover Publ. ISBN 978-0-486-45805-2.
↑ Πάμφιλος, Πάρις. «Σημείο Mathot κυκλικού τετραπλεύρου».
↑ Ψύχας, Βαγγέλης (2012). «Μαθήματα προετοιμασίας 2012» (PDF). σελίδες 41–43.
↑ Hajja, Mowaffaq (14 June 2016). 100.22 The maximal area property of cyclic quadrilaterals. 100. doi:10.1017/mag.2016.75.
↑ Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 49–51.
↑ Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα,Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. σελίδες 187–188. ISBN 978-960-493-159-0.
↑ Alsina, Claudi; Nelsen, Rogen B. (2007). «On the diagonals of a cyclic quadrilateral». Forum Geometricorum (7): 147-149. https://web.archive.org/web/20240428182328/https://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf.
↑ Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, σελ. 202, OCLC 429528983

[5] Δείτε απόδειξη εδώ.

[9] Δείτε την απόδειξη εδώ

[Tav-1] Ταβανλης, Χ. Επίπεδος Γεωμετρία. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.

[2] Πάμφιλος, Πάρις (2012). Ελάσσον Γεωμετρικόν. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης. ISBN 9789605243807.

[3] Βασιλειάδης, Παν. Κ. (1966). Γεωμετρία Τόμος α' Επιπεδομετρία. Θεσσαλονίκη.

[S73-4] 1 2 3 4 5 6 7 Αναστάσιος Ι., Σκιαδάς (1973). Γεωμετρία: Επιπεδομετρία Τεύχος Α' (2η έκδοση). Αθήνα.

[CG07-6] 1 2 3 4 5 Altshiller-Court, Nathan (2007). College geometry: an introduction to the modern geometry of the triangle and the circle (2η έκδοση). Mineola, NY: Dover Publ. ISBN 978-0-486-45805-2.

[7] Πάμφιλος, Πάρις. «Σημείο Mathot κυκλικού τετραπλεύρου».

[8] Ψύχας, Βαγγέλης (2012). «Μαθήματα προετοιμασίας 2012» (PDF). σελίδες 41–43.

[10] Hajja, Mowaffaq (14 June 2016). 100.22 The maximal area property of cyclic quadrilaterals. 100. doi:10.1017/mag.2016.75.

[11] Πανακης, Ιωάννης (1974). Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής Κατευθύνσεως). Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 49–51.

[12] Στεργίου, Μπάμπης (2012). Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, Πολύγωνα,Εμβαδά. Αθήνα: Σαββάλας. σελίδες 187–188. ISBN 978-960-493-159-0.

[13] Alsina, Claudi; Nelsen, Rogen B. (2007). «On the diagonals of a cyclic quadrilateral». Forum Geometricorum (7): 147-149. https://web.archive.org/web/20240428182328/https://forumgeom.fau.edu/FG2007volume7/FG200720.pdf.

[14] Siddons, A. W.; Hughes, R. T. (1929), Trigonometry, Cambridge University Press, σελ. 202, OCLC 429528983

[1]

[2]

[3]

[4]

[Σημείωση 1]

[5]

[6]

[7]

[Σημείωση 2]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]