Δύναμη σημείου ως προς κύκλο

Για εξωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ του κύκλου: ${\rm {PA\cdot PB=P\Gamma \cdot P\Delta =PE\cdot PZ=PT^{2}}}$.

Για εσωτερικό σημείο ${\rm {P}}$ του κύκλου: ${\rm {PA\cdot PB=P\Gamma \cdot P\Delta =PE\cdot PZ}}$.

Στην γεωμετρία, η δύναμη σημείου ως προς κύκλο είναι μία μετρική σχέση για την τέμνουσα ενός κύκλου.

Συγκεκριμένα, έστω ο κύκλος $C(\mathrm {O} ,\rho )$ και σημείο ${\rm {P}}$ του επιπέδου του. Αν ${\rm {\varepsilon }}$ είναι μια ευθεία που διέρχεται από το ${\rm {P}}$ και τέμνει τον κύκλο στα σημεία ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$ τότε το γινόμενο ${\rm {PA\cdot PB}}$ είναι σταθερό ανεξάρτητο της ευθείας ${\rm {\epsilon }}$. Το σταθερό γινόμενο ${\rm {PA\cdot PB}}$ ονομάζεται δύναμη του σημείου ${\rm {P}}$ ως προς τον κύκλο $C$.

Αν $\delta$ το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {OP}}$ και $\rho$ η ακτίνα του κύκλου $C(\mathrm {O} ,\rho )$ ονομάζουμε δύναμη του ${\rm {P}}$ ως προς τον $C$ την διαφορά $\delta ^{2}-\rho ^{2}$ και την συμβολίζουμε με $\Delta _{C}^{P}$.

Απόδειξη

Σχήμα απόδειξης.

Χαράζουμε την ευθεία που διέρχεται από τα ${\rm {O,P}}$ η οποία τέμνει τον κύκλο στα σημεία ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$. Τα τρίγωνα ${\rm {PA\Gamma }}$ και ${\rm {P\Delta \mathrm {B} }}$, έχουν την γωνία ${\widehat {\rm {P}}}$ κοινή, τις γωνίες ${\widehat {\rm {\mathrm {P} \Gamma \mathrm {A} }}}={\widehat {\rm {\mathrm {P} \mathrm {B} \Delta }}}$ ως παραπληρωματικές της γωνίας ${\widehat {\rm {\Delta \Gamma \mathrm {A} }}}$ και τις τις γωνίες ${\widehat {\rm {\mathrm {P} \mathrm {A} \Gamma }}}={\widehat {\rm {\mathrm {P} \Delta \mathrm {B} }}}$ ως παραπληρωματικές της γωνίας ${\widehat {\rm {\Gamma \mathrm {A} \mathrm {B} }}}$ άρα είναι όμοια.

Από την ομοιότητα των τριγώνων παίρνουμε την αναλογία:

${\frac {\mathrm {P} \mathrm {A} }{\mathrm {P} \Gamma }}={\frac {\mathrm {P} \Delta }{\mathrm {P} \mathrm {B} }}$

και με χιαστή γινόμενα έχουμε ότι:

${\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }={\mathrm {P} \Gamma }\cdot {\mathrm {P} \Delta }$

Επομένως το γινόμενο ${\rm {PA\cdot PB}}$ είναι σταθερό, διότι τα ευθύγραμμα τμήματα ${\mathrm {P} \Gamma },{\mathrm {P} \Delta }$ είναι σταθερά ανεξάρτητα της ευθείας ${\rm {\epsilon }}$. Παρατηρούμε ότι η απόδειξη αυτή ισχύει είτε το ${\rm {P}}$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου $C$ είτε εσωτερικό του σημείο.$\quad \square$

Πορίσματα

Πόρισμα (εξωτερικό σημείο) —  Αν το ${\rm {P}}$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου $C$ και ${\rm {P\mathrm {T} }}$ η μία από τις εφαπτόμενες που άγονται από το ${\rm {P}}$ στον κύκλο $C$ ($\mathrm {T}$ το σημείο επαφής) τότε ισχύει ότι:

α) ${\rm {{\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }={\mathrm {P} O}^{2}-\rho ^{2}}}$ και β) ${\rm {{\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }={\mathrm {P} T}^{2}}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

α) Από την σχέση ${\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }={\mathrm {P} \Gamma }\cdot {\mathrm {P} \Delta }$, λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι ${\rm {{\mathrm {P} \Gamma }=PO-\rho }}$ και ${\rm {{\mathrm {P} \Delta }=PO+\rho }}$, έπεται ότι:

${\begin{aligned}{\rm {{\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }}}&={\mathrm {P} \Gamma }\cdot {\mathrm {P} \Delta }\\&=({\rm {PO}}-\rho )\cdot ({\rm {PO}}+\rho )\\&={\rm {PO}}^{2}-\rho ^{2}\end{aligned}}$.

β) Επίσης από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ${\rm {PO\mathrm {T} }}$ έπεται ότι:

${\rm {{\mathrm {P} O}^{2}-\rho ^{2}={\mathrm {P} O}^{2}-OT^{2}={\mathrm {P} T}^{2}}}$ άρα ${\rm {{\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }={\mathrm {P} T}^{2}}}$

$\square$

Πόρισμα (εσωτερικό σημείο) —  Αν το ${\rm {P}}$ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου $C$ τότε ισχύει ότι:

${\rm {{\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }=\rho ^{2}-{\mathrm {P} O}^{2}}}$.

Απόδειξη  

Σχήμα απόδειξης.

Από την σχέση ${\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }={\mathrm {P} \Gamma }\cdot {\mathrm {P} \Delta }$, λαμβάνοντας υπ' όψιν ότι ${\rm {{\mathrm {P} \Gamma }=\rho -PO}}$ και ${\rm {{\mathrm {P} \Delta }=\rho +PO}}$, έπεται ότι:

${\begin{aligned}{\rm {{\mathrm {P} \mathrm {A} }\cdot {\mathrm {P} \mathrm {B} }}}&={\mathrm {P} \Gamma }\cdot {\mathrm {P} \Delta }\\&=(\rho -{\rm {PO}})\cdot (\rho +{\rm {PO}})\\&=\rho ^{2}-{\rm {PO}}^{2}\end{aligned}}$.

Είναι προφανές ότι η δύναμη σημείου ${\rm {P}}$ ως προς κύκλο $C$ είναι θετική αν το ${\rm {P}}$ είναι εξωτερικό σημείο του κύκλου, αρνητική αν το ${\rm {P}}$ είναι εσωτερικό σημείο του κύκλου και μηδέν αν το ${\rm {P}}$ είναι σημείο του κύκλου.$\quad \square$

Δείτε επίσης

• Θεώρημα τεμνόμενων χορδών
• Θεώρημα τεμνουσών
• Θεώρημα τέμνουσας και εφαπτόμενης

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Διαδραστική εφαρμογή για την δύναμη σημείου ως προς κύκλο στο Geogebra.
• Διαδραστική εφαρμογή για την δύναμη σημείου ως προς κύκλο στο Φωτόδεντρο.
• Διαδραστική εφαρμογή για την δύναμη σημείου ως προς κύκλο στο Geogebra.
• Δύναμη σημείου ως προς κύκλο στο cut-the-knot.

Ελληνικά άρθρα

• Γιαννέλος; Δρακόπουλος (1980). «Για τη Β'Λυκείου. Γεωμετρία: Εμβαδά και δύναμη σημείου ως προς κύκλο». Ευκλείδης Β' (4): 16-26. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4137. 
• Κισκύρας, Ν. Α. (1980). «Δύναμη σημείου προς κύκλο και σφαίρα». Μαθηματική Επιθεώρηση (18): 47-82. http://niobe.hms.gr/apothema/?s=sa&i=4541.