Δύναμη πραγματικού αριθμού

Γραφική παράσταση του y=α^x για διάφορες βάσεις α: βάση 10 (πράσινο), βάση e (κόκκινο), βάση 2 (μπλε), και βάση ½ (γαλάζιο). Κάθε καμπύλη διέρχεται από το σημείο (0,1) επειδή οποιοσδήποτε μη μηδενικός αριθμός υψώνεται στη δύναμη 0 κάνει 1. Στο x=1, η τιμή του y ισούται με την βάση καθώς οποιοσδήποτε αριθμός υψώνεται στη δύναμη 1 κάνει τον εαυτό του.

Εκθετική συνάρτηση (για $a>0$)

Εκθετική συνάρτηση για διάφορες βάσεις.
Ιδιότητες
συμβολισμός	$a^{x}$
πεδίο ορισμού	$\mathbb {R}$
σύνολο τιμών	$(0,+\infty )$
μονοτονία	φθίνουσα για $a<1$ σταθερή για $a=1$ αύξουσα στο $a>1$
συνέχεια	$\mathbb {R}$
κυρτότητα	κυρτή
παράγωγος	$a^{x}\ln a$, για $a\neq 1$
ολοκλήρωμα	${\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$, για $a\neq 1$
ρίζες	Δεν έχει
Σχετικές συναρτήσεις
αντίστροφη	Λογάριθμος $\log _{a}x$, για $a\neq 1$

Δύναμη $x^{a}$ (για $a\neq 0$)

Θετικές δυνάμεις. Αρνητικές δυνάμεις.
Ιδιότητες
συμβολισμός	$x^{a}$
πεδίο ορισμού	$[0,+\infty )$
σύνολο τιμών	$[0,+\infty )$
μονοτονία	φθίνουσα για $a<0$ αύξουσα για $a>0$
συνέχεια	$[0,+\infty )$
κυρτότητα	κυρτή για $a\in (0,1)$ κοίλη για $a\in \mathbb {R} \setminus (0,1)$.
παράγωγος	$ax^{a-1}$
ολοκλήρωμα	${\textstyle {\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C}$, για $a\neq -1$ ${\textstyle \ln x}$, για $a=-1$
ρίζες	καμία, για $a<0$, $x=0$, για $a>0$
ασύμπτωτες	$0$ καθώς $x\to +\infty$ και $+\infty$ καθώς $x\to 0$, για $a<0$ καμία, για $a>0$
Σχετικές συναρτήσεις
ειδική περίπτωση	νιοστή δύναμη, νιοστή ρίζα, ρητή δύναμη
αντίστροφη	$x^{1/a}$

Στα μαθηματικά, η δύναμη είναι πράξη που συμβολίζεται ως $a^{n}$ και περιλαμβάνει δύο αριθμούς, την βάση $a$ και τον εκθέτη $n$. Όταν το $n$ είναι θετικός ακέραιος, η δύναμη αντιστοιχεί σε επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό, με άλλα λόγια δύναμη είναι το γινόμενο $n$ παραγόντων, ο καθένας από τους οποίους ισούται με $a$:

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}$.

Κατά τον ίδιο τρόπο που ο πολλαπλασιασμός αντιστοιχεί σε επαναλαμβανόμενη πρόσθεση:

$a\times n=\underbrace {a+\cdots +a} _{n}.$

Ο εκθέτης είναι γραμμένος δεξιά της βάσης. Η δύναμη $a^{n}$ μπορεί να διαβαστεί ως $a$ στη νιοστή δύναμη ή απλά $a$ στη νιοστή. Κάποιοι εκθέτες έχουν ιδιαιτερότητες στην ανάγνωση: για παράδειγμα το $a^{2}$ διαβάζεται συνήθως $a$ στο τετράγωνο και το $a^{3}$, $a$ στον κύβο.

Όπως θα δούμε παρακάτω η δύναμη $a^{n}$ μπορεί να οριστεί γενικά όταν το $n$ είναι ένας πραγματικός αριθμός. Για να φτάσουμε να μπορούμε να γράφουμε εκφράσεις της μορφής $3^{-2},3^{0.5},3^{1.7},3^{\sqrt {2}},e^{i}$ πρέπει πρώτα να επεκταθεί κατάλληλα ο ορισμός της δύναμης. Παρακάτω παρουσιάζεται αυτή η επέκταση χωρισμένη σε 5 βήματα, και οι αποδείξεις και λεπτομέρειες για τα πρώτα τρία δίνονται σε ξεχωριστά λήμματα:

1. (Αρνητικές νιοστές δυνάμεις) Για κάθε $n\in \mathbb {N}$ και $a\neq 0$,

   $a^{-n}=\underbrace {a^{-1}\cdot \ldots \cdot a^{-1}} _{n{\text{ φορές}}}$.

2. (Νιοστές ρίζες) Για κάθε $n\in \mathbb {N}$ και $a>0$,

   $a^{1/n}=x$, όπου $x^{n}=a$.

3. (Ρητούς εκθέτες) Για κάθε $n,m\in \mathbb {N}$,

   $a^{m/n}=(a^{1/n})^{m}$.

4. (Πραγματικούς εκθέτες) Μέσω του ορίου

   $a^{n}=\lim _{r\to n:r\in \mathbb {Q} }a^{r}$.

   Ή μέσω της εκθετικής συνάρτησης $\exp$ και της αντίστροφής της, του φυσικού λογαρίθμου $\ln$ ως

   $a^{n}=\exp(n\ln a)$.

5. (Μιγαδικούς εκθέτες) Μέσω της μιγαδικής εκθετικής συνάρτησης (όπως παραπάνω).

Η δύναμη έχει εφαρμογή και σε πολλά άλλα πεδία, όπως τα οικονομικά, η βιολογία, η χημεία, η φυσική και η επιστήμη υπολογιστών, με εφαρμογές στον ανατοκισμό, την πληθυσμιακή αύξηση, τη συμπεριφορά κυμάτων και την κρυπτογράφηση δημόσιου κλειδιού.

Η έννοια της δύναμης γενικεύεται σε άλλες αλγεβρικές δομές όπως οι πίνακες ή η αριθμητική υπολοίπων, που βρίκουν εφαρμογές στην επίλυση συστημάτων γραμμικών διαφορικών εξισώσεων και στην κρυπτογραφία αντίστοιχα. Δείτε το λήμμα για την νιοστή δύναμη στην άλγεβρα.

Ακέραιοι εκθέτες

Η πράξη της δύναμης όταν ο εκθέτης είναι ακέραιος απαιτεί μόνο την χρήση στοιχειώδους άλγεβρας.

Θετικοί εκθέτες

Η έκφραση $a^{2}=a\cdot a$ ονομάζεται τετράγωνο του $a$ επειδή το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους $a$ ισούται με $a^{2}$.

Η έκφραση $a^{3}=a\cdot a\cdot a$ ονομάζεται κύβος, επειδή ο όγκος ενός κύβου με ακμή μήκους $a$ ισούται με $a^{3}$.

Έτσι το $3^{2}$ διαβάζεται «$3$ στο τετράγωνο» ή «τετράγωνο του $3$» και το $2^{3}$ διαβάζεται «$2$ στον κύβο» ή «κύβος του $2$».

Ο εκθέτης ορίζει το πόσες φορές πολλαπλασιάζεται η βάση με τον εαυτό της. Για παράδειγμα, 3⁵ = 3·3·3·3·3 = 243. Η βάση 3 εμφανίζεται 5 φορές στον επαναλαμβανόμενο (ή μεγάλο) πολλαπλασιασμό, επειδή ο εκθέτης είναι 5. Εδώ 3 είναι η βάση, 5 ο εκθέτης και 243 η δύναμη ή πιο συγκεκριμένα, η πέμπτη δύναμη του 3 ή το 3 στην πέμπτη. Έτσι το 3⁵ διαβάζεται απλώς 3 στην πέμπτη.

Πιο αυστηρά, οι δυνάμεις με θετικό εκθέτη μπορούν να οριστούν ως εξής

Για $n=1$, τότε $a^{1}=a$, και

Για $n>1$, τότε $a^{n}=a^{n-1}\cdot a$.

Από αυτόν τον ορισμό και την προσεταιριστική ιδιότητα του πολλαπλασιασμού προκύπτουν οι ιδιότητες:

• $a^{n+m}=a^{n}\cdot a^{m}$.
• $(a^{n})^{m}=a^{nm}$.

Αρνητικοί ακέραιοι εκθέτες

Για κάθε μη-μηδενικό $a$ οι αρνητικές δυνάμεις ορίζονται ως

$a^{-n}=(a^{-1})^{n}$,

όπου $a^{-1}$ είναι ο αντίστροφος του $a$ ως προς τον πολλαπλασιασμό.

Σημείωση: Οι αρνητικές δυνάμεις δεν ορίζονται για το $a=0$.

Ικανοποιεί τις εξής ιδιότητες

• Για κάθε $n>0$, ισχύει ότι

$a^{-n}=(a^{n})^{-1}$.

Ο ορισμός αυτός γενικεύει την παρακάτω ιδιότητα για όλους τους ακεραίους $n,m\in \mathbb {Z}$,

$a^{n+m}=a^{m}\cdot a^{n}$,

Σημείωση: Η σχέση αυτή για $m=-n$ αιτιολογεί την επιλογή του ορισμού $a^{0}=1$, καθώς $a^{n}\cdot a^{-n}=a^{n-n}=a^{0}=1$

Η ύψωση σε αρνητική ακέραια δύναμη μπορεί εναλλακτικά να ειδωθεί ως επαναλαμβανόμενη διαίρεση του 1 από τη βάση. Για παράδειγμα,

$3^{-4}=(((1/3)/3)/3)/3={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}$.

Ιδιότητες

Η πιο σημαντική ιδιότητα που ικανοποιείται από την ύψωση σε ακέραια δύναμη, εφόσον η βάση δεν είναι μηδέν, είναι η εξής:

$a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}$

Αυτή η ιδιότητα έχει την εξής συνέπεια για $a\neq 0$,

$a^{m-n}={\frac {a^{m}}{a^{n}}}$,

και

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$

Μία άλλη βασική ταυτότητα είναι

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$.

Ιδιότητες που δεν ισχύουν

Ενώ η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι αντιμεταθετικές πράξεις (για παράδειγμα 2+3 = 5 = 3+2 και 2·3 = 6 = 3·2), η ύψωση σε δύναμη δεν είναι: 2³ = 8, όμως 3² = 9.

Παρομοίως, ενώ η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός είναι προσεταιριστικές πράξεις (για παράδειγμα (2+3)+4 = 9 = 2+(3+4) και (2·3)·4 = 24 = 2·(3·4), η ύψωση σε δύναμη δεν είναι: 2³ στην 4η κάνει 8⁴ ή 4096, όμως 2 στην 3⁴ κάνει 2⁸¹ ή 2.417.851.639.229.258.349.412.352. Όταν δεν υπάρχουν παρενθέσεις ώστε να τροποποιήσουν την ιεραρχία των υπολογισμών, η σειρά εκλαμβάνεται συνήθως από πάνω προς τα κάτω και όχι το ανάποδο:

$a^{b^{c}}=a^{(b^{c})}\neq (a^{b})^{c}=a^{(b\cdot c)}=a^{b\cdot c}.$

Κύρια νιοστή ρίζα

Από πάνω προς τα κάτω: x^1/8, x^1/4, x^1/2, x¹, x², x⁴, x⁸.

Η νιοστή ρίζα ενός αριθμού $a$ είναι ένας αριθμός $x$ τέτοιος ώστε $x^{n}=a$.

Αν $a$ είναι θετικός πραγματικός και $n$ είναι θετικός ακέραιος, τότε υπάρχει ακριβώς μία θετική πραγματική λύση της εξίσωσης $x^{n}=a$. Αυτή η λύση αποκαλείται κύρια νιοστή ρίζα του $a$. Αυτό συμβολίζεται με ${\sqrt[{n}]{a}}$, όπου το σύμβολο ${\sqrt {\phantom {a}}}$ είναι το ριζικό. Εναλλακτικά, μπορεί να γραφεί ως $a^{1/n}$. Για παράδειγμα: 4^1/2 = 2, 8^1/3 = 2,

Όταν αναφέρεται η νιοστή ρίζα ενός θετικού πραγματικού $a$, συνήθως εννοείται η κύρια νιοστή ρίζα.

Παρακάτω θα χρησιμοποιήσουμε τις εξής ιδιότητες της νιοστής ρίζας

$(a^{1/n})^{1/m}=a^{1/(nm)}$, $\quad a^{1/n+1/m}=a^{1/n+1/m}\quad$ και $\quad (ab)^{1/n}=a^{1/n}b^{1/n}$,

καθώς και το όριο

$\lim _{n\to \infty }a^{1/n}=1$.

Ρητοί εκθέτες

Η δύναμη ενός θετικού πραγματικού $a$ με ρητό εκθέτη $m/n$ (το $m/n$ ανάγωγο) ορίζεται ως

$a^{m/n}=\left(a^{m}\right)^{1/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

όπου $m$ είναι ακέραιος και $n$ είναι θετικός ακέραιος.

Ιδιότητες

Από αυτόν τον ορισμό μπορούμε να αποδείξουμε τις εξής ιδιότητες:

• Για κάθε $n,m,k\in \mathbb {N}$, ισχύει ότι

${\sqrt[{nk}]{a^{mk}}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$,

δηλαδή ισοδύναμοι εκθέτες δίνουν την ίδια τιμή, π.χ. $16^{3/2}=16^{6/4}$.

• Για κάθε $r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q}$, ισχύει ότι

$a^{r_{1}+r_{2}}=a^{r_{1}}\cdot a^{r_{2}}$.

Σημείωση: Από αυτή την ιδιότητα προκύπτει επίσης ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στους ρητούς αριθμούς.

• Για κάθε $r\in \mathbb {Q}$, ισχύει ότι

$(a\cdot b)^{r}=a^{r}\cdot b^{r}$.

• Για κάθε $r_{1},r_{2}\in \mathbb {Q}$, ισχύει ότι

$(a^{r_{1}})^{r_{2}}=a^{r_{1}r_{2}}$.

Πραγματικοί εκθέτες

Η ύψωση ενός θετικού πραγματικού σε δύναμη που δεν είναι ακέραιος μπορεί να γίνει με δύο τρόπους.

• Ρητοί εκθέτες μπορούν να οριστούν ως n-οστές ρίζες και έπεια όλοι οι πραγματικές εκθέτες μπορούν να οριστούν απαιτώντας η συνάρτηση να είναι συνεχής.
• Μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο φυσικός λογάριθμος για τον ορισμό όλων των πραγματικών εκθετών με χρήση της εκθετικής συνάρτησης.

Οι ιδιότητες που αποδείχτηκαν παραπάνω για ακέραιους εκθέτες ισχύουν και για θετικούς πραγματικούς με μη ακέραιο εκθέτη. Ωστόσο η ταυτότητα

$(a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}$

δεν μπορεί να γενικευθεί όταν το $a$ είναι αρνητικός πραγματικός, δείτε αρνητικές νιοστές ρίζες. Η μη ισχύς αυτής της ταυτότητας είναι η πηγή των προβλημάτων με τις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών, όπως περιγράφεται και στην ενότητα μη ισχύς ταυτοτήτων δυνάμεων και λογαρίθμων.

Πρώτος τρόπος

Παραπάνω αποδείξαμε ότι η συνάρτηση $a^{x}$ είναι συνεχής στους ρητούς αριθμούς. Καθώς οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός μπορεί να από ρητούς αριθμούς, η ύψωση σε έναν τυχαίο πραγματικό x μπορεί να οριστεί μέσω συνέχειας ως

$b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r}\quad (r\in \mathbb {Q} ,\,x\in \mathbb {R} ),$

όπου το όριο καθώς το $r$ τείνει στο $x$ λαμβάνεται μόνο από τις ρητές τιμές του $r$.

Για παράδειγμα αν

$x\approx 1.732$

τότε

$5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{433/250}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241$.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό μπορούμε να αποδείξουμε τις ιδιότητες των δυνάμεων χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της συνέχειας:

• $a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}$

Απόδειξη  

Έστω ${\textstyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ και ${\textstyle y=\lim _{n\to \infty }y_{n}}$ με $x_{n},y_{n}\in \mathbb {Q}$, τότε

${\begin{aligned}a^{\lim _{n\to \infty }(x_{n}+y_{n})}&=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}+y_{n}}\\&=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}\cdot a^{y_{n}}\\&=\left(\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }a^{y_{n}}\right)\\&=a^{\lim _{n\to \infty }x_{n}}\cdot a^{\lim _{n\to \infty }y_{n}}\\&=a^{x}\cdot a^{y}.\end{aligned}}$

• $(a^{x})^{y}=a^{xy}$

Απόδειξη  

Έστω ${\textstyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ και ${\textstyle y=\lim _{n\to \infty }y_{n}}$ με $x_{n},y_{n}\in \mathbb {Q}$, τότε

$(a^{x})^{y}=\lim _{n\to \infty }(a^{x})^{y_{n}}$ (ορισμός του $a^{y}$)

${\phantom {(a^{x})^{y}}}=\lim _{n\to \infty }(\lim _{m\to \infty }a^{x_{m}})^{y_{n}}$ (ορισμός του $a^{x}$)

${\phantom {(a^{x})^{y}}}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }(a^{x_{m}})^{y_{n}}$ (ιδιότητα ορίου με ρητό εκθέτη)

${\phantom {(a^{x})^{y}}}=\lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }a^{x_{m}y_{n}}$ (ιδιότητα ρητών εκθετών)

${\phantom {(a^{x})^{y}}}=\lim _{n\to \infty }a^{\lim _{m\to \infty }x_{m}y_{n}}$ (ορισμός $a^{xy_{n}}$)

${\phantom {(a^{x})^{y}}}=\lim _{n\to \infty }a^{xy_{n}}$ (ιδιότητα ορίου)

${\phantom {(a^{x})^{y}}}=a^{\lim _{n\to \infty }xy_{n}}$ (ορισμός $a^{xy}$)

${\phantom {(a^{x})^{y}}}=a^{xy}$. (ιδιότητες ορίου)

• $(a\cdot b)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$

Απόδειξη  

Έστω ${\textstyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ με $x_{n}\in \mathbb {Q}$, τότε

$a^{x}=\lim _{n\to \infty }(ab)^{x_{n}}$ (ορισμός συνέχειας)

${\phantom {a^{x}}}=\lim _{n\to \infty }(a^{x_{n}}\cdot b^{x_{n}})$ (ιδιότητα ρητών εκθετών)

${\phantom {a^{x}}}=\lim _{n\to \infty }a^{x_{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }b^{x_{n}}$ (ιδιότητα ορίων)

${\phantom {a^{x}}}=a^{x}b^{x}$. (ορισμός συνέχειας)

Δεύτερος τρόπος

Η ύψωση σε πραγματική δύναμη μπορεί επίσης να οριστεί και με την χρήση της εκθετικής και της λογαριθμικής συνάρτησης.

Η εκθετική συνάρτηση μπορεί να οριστεί ως

$\exp(x)=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n},$

όπου συνήθως το $x$ γράφεται ως δύναμη $e^{x}$ καθώς ικανοποιεί την βασική εκθετική ταυτότητα

$\exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)$.

Η εκθετική συνάρτηση ορίζεται για όλες τους ακέραιες, ρητές, πραγματικές και μιγαδικές τιμές του $x$.

Ο φυσικός λογάριθμος $\ln x$ είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης $\exp(x)$. Ορίζεται για $b>0$ και ικανοποιεί την

$b=\exp(\ln b)$.

Αν $b^{x}$ ικανοποιεί τους περιορισμούς του λογαρίθμου και του εκθέτη, τότε πρέπει

$b^{x}=(\exp(\ln b))^{x}=\exp(x\cdot \ln b)$

για κάθε πραγματικό $x$.

Από τις ιδιότητες του λογάριθμου επιβεβαιώνουμε τις ιδιότητες για τις πραγματικές δυνάμεις

• Για κάθε $x,y\in \mathbb {R}$,

$a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}$.

Απόδειξη  

$a^{x+y}=\exp((x+y)\ln a)=\exp(x\ln a+y\ln a)=\exp(x\ln a)\cdot \exp(y\ln a)=a^{x}\cdot a^{y}$.

• Για κάθε $x,y\in \mathbb {R}$,

$(a^{x})^{y}=a^{xy}$.

Απόδειξη  

$(a^{x})^{y}=e^{y\ln a^{x}}=\exp(y\ln \exp(x\ln a))=\exp(y(x\ln a))=\exp(xy\ln a)=a^{xy}$.

• Για κάθε $x\in \mathbb {R}$,

$(ab)^{x}=a^{x}\cdot b^{x}$.

Απόδειξη  

$(ab)^{x}=\exp(x\ln(ab))=\exp(x\ln a+x\ln b)=\exp(x\ln a)\cdot \exp(x\ln b)=a^{x}\cdot b^{x}$.

Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως εναλλακτικός ορισμός της πραγματικής δύναμης $b^{x}$ και συμφωνεί με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω κάνοντας χρήση ρητών εκθετών και της συνέχειας. Ο ορισμός με χρήση λογαρίθμων είναι πιο κοινός στα πλαίσια των μιγαδικών αριθμών όπως αναλύεται παρακάτω.

Αρνητικές νιοστές ρίζες

Οι δυνάμεις ενός θετικού πραγματικού αριθμού είναι πάντα θετικοί πραγματικοί. Ωστόσο η εξίσωση $x^{2}=4$ έχει δύο λύσεις το $x=2$ και το $x=-2$. Έτσι πέραν της κύριας τιμής του $4^{1/2}$, το $-2$ είναι επίσης έγκυρη τετραγωνική ρίζα. Αν επεκτίνουμε τον ορισμό της ύψωσης σε δύναμη ώστε να επιτρέπονται και αρνητικές τιμές, τότε οι πράξεις παύουν να συμπεριφέρονται πλέον καλά.

• Αν το $n$ είναι άρτιος τότε η $x^{n}=a$ έχει δύο λύσεις αν το $a$ είναι θετικό, την θετική και την αρνητική $n$-οστή ρίζα $\pm {\sqrt[{n}]{a}}$. Η εξίσωση δεν έχει πραγματική λύση αν το $a$ είναι αρνητικό.

• Αν το $n$ είναι περιττός, τότε η $x^{n}=a$ έχει μία πραγματική λύση. Η λύση είναι θετική αν το $a$ είναι θετικός και αρνητική αν το $a$ είναι αρνητικός.

Η ρητή δύναμη $m/n$, όπου $m/n$ ανάγωγο, είναι θετική αν το $m$ είναι άρτιος, αρνητική αν το $a$ είναι αρνητικός και τα $m$ και $n$ είναι περιττοί, και μπορεί να είναι είτε θετική είτε αρνητική αν ο $a$ είναι θετικός και το $n$ περιττός. Για παράδειγμα,

$(-27)^{1/3}=-3$ και $(-27)^{2/3}=9$,

ενώ το $4^{3/2}$ έχει δύο ρίζες, το $8$ και το $-8$. Καθώς δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός $x$ ώστε $x^{2}=-1$, ο ορισμός του $a^{m/n}$ όταν το $a$ είναι αρνητικός και το $n$ άρτιος πρέπει να κάνει χρήση της φανταστικής μονάδας $i$, όπως περιγράφεται αναλυτικότερα στις δυνάμεις των μιγαδικών αριθμών.

Ούτε με την μέθοδο του λογάριθμου όυτε ε την μέθοδο του ρητού εκθέτη μπορεί να να οριστεί το $a^{x}$ για αρνητικό πραγματικό $a$ και οποιονδήποτε πραγματικό $x$. Η $e^{x}$ είναι θετική για κάθε πραγματικό $x$ και έτσι το $\ln(a)$ δεν ορίζεται στους πραγματικούς για $a\leq 0$. (Από την άλλη, μπορεί οριστεί οποιαδήποτε μιγαδική δύναμη ενός αρνητικού αριθμού $a$ επιλέγοντας έναν μιγαδικό λογάριθμο του $a$.)

Η μέθοδος του ρητού εκθέτη δεν μπορεί να χρησιμοποιηθεί για αρνητικές δυνάμεις του $a$ επειδή βασίζεται την συνέχεια. Η συνάρτηση $f(x)=a^{x}$ έχει μοναδική συνεχή επέκταση από τους ρητούς αριθμούς στους πραγματικούς για κάθε $a>0$. Όταν όμως $a<0$, η συνάρτηση $f$ δεν είναι καν συνεχής στο σύνολο των ρητών αριθμών στο οποίο ορίζεται.

Για παράδειγμα, έστω $a=-1$. Η $n$-οστή ρίζα του $-1$ είναι $-1$ για κάθε περιττό φυσικό αριθμό $n$. Έτσι αν το $n$ είναι περιττός θετικός ακέραιος $(-1)^{m/n}=-1$ αν το $m$ είναι περιττός, και $(-1)^{m/n}=1$ αν το $m$ είναι άρτιος. Έτσι το σύνολο των ρητών αριθμών $q$ για το οποίο $(-1)^{q}=1$ είναι πυκνό στους ρητούς αριθμός, όπως είναι και το σύνολο των $q$ για τους οποίους $(-1)^{q}=-1$. Αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση $(-1)^{q}$ δεν είναι συνεχής για οποιονδήποτε ρητό $q$.

Προσοχή χρειάζεται όταν εφαρμόζονται οι ταυτότητες των δυνάμεων με αρνητικές $n$-οστές ρίζες. Για παράδειγμα,

$-27=(-27)^{(2/3)\cdot (3/2)}=((-27)^{2/3})^{3/2}=(9)^{3/2}=+27$

είναι προφανώς λάθος. Το πρόβλημα προκύπτει επειδή λαμβάνεται η θετική τετραγωνική ρίζα αντί για την αρνητική στο τελευταίο βήμα, όμως εν γένει προκύπτουν τα ίδια προβλήματα με αυτά που περιγράφονται για τους μιγαδικούς στην ενότητα Μη ισχύς των εκθετικών και λογαριθμικών ταυτοτήτων

Μιγαδικοί εκθέτες θετικών πραγματικών αριθμών

Φανταστικές δυνάμεις του e

Η εκθετική συνάρτηση e^z μπορεί να οριστεί ως το όριο του (1 + z/N)^N, καθώς το N τείνει στο άπειρο, και συνεπώς το e^iπ είναι το όριο του (1 + iπ/N)^N. Σε αυτό το σχήμα το N παίρνει διάφορες τιμές από 1 έως 100. Ο υπολογισμός του(1 + iπ/N)^N παρουσιάζεται ως το συνδυασμένο αποτέλεσμα N επαναλαμβανόμενων πολλαπλασιασμών στο μιγαδικό επίπεδο, με το τελευταίο σημείο να είναι η τιμή του (1 + iπ/N)^N. Φαίνεται ότι καθώς το N μεγαλώνει, το (1 + iπ/N)^N προσεγγίζει το όριο −1. Κατά συνέπεια, e^iπ = −1, το οποίο είναι γνωστό από την ταυτότητα του Όιλερ.

Η γεωμετρική ερμηνεία των πράξεων με μιγαδικούς αριθμούς και ο ορισμός των δυνάμεων του e είναι το στοιχείο για την κατανόηση του $e^{ix}$ για πραγματικούς $x$.

Έστω το ορθογώνιο τρίγωνο $(0,1,1+ix/n)$. Για μεγάλες τιμές του $n$ το τρίγωνο είναι σχεδόν κυκλικός τομέας με κυρτή επίκεντρη γωνία ίση με $x/n$ ακτίνια. Τα τρίγωνα $(0,(1+ix/n)^{k},(1+ix/n)^{k+1}$ είναι όμοια για κάθε $k$. Έτσι για μεγάλες τιμές του $n$ το όριο του $(1+ix/n)$ είναι το σημείο στον μοναδιαίο κύκλο του οποίου η γωνία από τον θετικό πραγματικό άξονα είναι $x$ ακτίνια. Οι πολικές συντεταγμένες αυτού του σημείου είναι $(\rho ,\theta )=(1,x)$, και οι Καρτεσιανές $(\cos x,\sin x)$. Έτσι $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, και αυτή είναι ο τύπος του Όιλερ που συνδέει την άλγεβρα και την τριγωνομετρία μέσω των μιγαδικών αριθμών.

Η λύσεις της εξίσωσης $e^{z}=1$, είναι τα ακέραια πολλαπλάσια του $2\pi i$:

$\{z:e^{z}=1\}=\{2\kappa \pi i:\kappa \in \mathbb {Z} \}.$

Πιο γενικά, αν $e^{b}=a$, τότε κάθε λύση του $e^{z}=a$ μπορεί να βρεθεί προσθέτονταν ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του $2\pi i$ στο $b$:

$\{z:e^{z}=a\}=\{b+2\kappa \pi i:\kappa \in \mathbb {Z} \}.$

Έτσι η μιγαδική εκθετική συνάρτηση είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο $2\pi i$, ή πιο απλά

$e^{i\pi }=-1$,

και

$e^{x+iy}=e^{x}\cdot (\cos y+i\sin y)$.

Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

Από τον τύπο του Όιλερ προκύπτει ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις συνημίτονο και ημίτονο είναι

$\cos(z)={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}},\qquad \sin(z)={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}.\,$

Ιστορικά, το συνημίτονο και το ημίτονο ορίζονταν γεωμετρικά πριν την εφεύρεση των μιγαδικών αριθμών. Η παραπάνω εξίσωση απλοποιεί τις πολύπλοκες εξισώσεις τριγωνομετρικών συναρτήσεων αθρίσματος σε απλή εξίσωση ύψωσης σε δύναμη.

$e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,$

Μιγαδικές δυνάμεις του e

Η δύναμη $z=e^{x+iy}$ μπορεί να υπολογιστεί ως $e^{x}\cdot e^{iy}$. Ο πραγματικός παράγοντας $e^{x}$ είναι το μέτρο του $z$ και ο μιγαδικός παράγοντας $e^{iy}$ προσδιορίζει το όρισμα του $z$.

Μιγαδικές δυνάμεις των θετικών πραγματικών αριθμών

Αν $a$ είναι θετικός ακέραιος, και $z$ ένας μιγαδικός, η δύναμη $a^{z}$ ορίζεται ώς $e^{z\cdot \ln a}$, όπου $x=\ln a$ είναι η μοναδική πραγματική λύση της εξίσωσης $e^{x}=a$. Έτσι η ίδια μέθοδος που ισχύει για πραγματικούς εκθέτες ισχύει και για μιγαδικούς. Για παράδειγμα:

2ⁱ = e ^i·ln(2) = cos(ln(2)) + i·sin(ln(2)) ≈ 0.76924 + 0.63896i

eⁱ ≈ 0.54030 + 0.84147i

10ⁱ ≈ −0.66820 + 0.74398i

(e^2π)ⁱ ≈ 535.49ⁱ ≈ 1

Μηδέν στη μηδενική δύναμη

Γράφημα του z = abs(x)^y οι κόκκινες καμπύλες τείνουν σε διαφορετικά όρια καθώς το (x,y) προσεγγίζει το (0,0). Οι πράσινες καμπύλες όλες τείνουν στο 1.

Οι περισσότεροι συγγραφείς συμφωνούν με τα παρακάτω που σχετίζονται με το 0⁰, παίρνουν όμως διαφορετικές αποφάσεις όταν πρόκειται να ορίσουν το 0⁰ ή όχι: δείτε την επόμενη υποενότητα.

Στις περισσότερες περιπτώσεις που δεν έχουν να κάνουν με την συνέχεια στον εκθέτη, ερμηνεύοντας το 0⁰ ως 1 απλοποιεί τους τύπους και μηδενίζει την ανάγκη για ειδικές περιπτώσεις στα θεωρήματα. (Δείτε την επόμενη παράγραφο για περιπτώσεις που έχουν να κάνουν με συνέχεια.)

Για παράδειγμα:

• Θεωρώντας το α⁰ ως κενό γινόμενο του εποδίδεται η τιμή 1, ακόμα και όταν α=0.
• Η συνδυαστική ερμηνεία του 0⁰ είναι ο αριθμός των κενών πλειάδων στοιχείων από το κενό σύνολο. Υπάρχει μία ακριβώς κενή πλειάδα.
• Ισοδύναμα, το 0⁰ ερμηνεύεται στο πλαίσιο των συνόλων ως ο αριθμός των συναρτήσεων από το κενό σύνολο προς το κενό σύνολο. Υπάρχει ακριβώς μία τέτοια συνάρτηση, η κενή συνάρτηση.
• Ο συμβολισμός $\textstyle \sum a_{n}x^{n}$ για τα πολυώνυμα και τις δυναμοσειρές βασίζεται στον ορισμό 0⁰ = 1. Ταυτότητες όπως η ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$ και $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$ καθώς και το διωνυμικό θεώρημα $(1+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}$ δεν ισχύουν για x = 0 εκτός και άν0⁰ = 1.
• Στον διαφορικό λογισμό, ο ο κανόνας $\textstyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}$ δεν είναι έγκυρος για n = 1 στο x = 0 αν δεν ισχύει 0⁰ = 1.

Από την άλλη, όταν το 0⁰ προκύπτει από όριο της μορφής $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}x^{y}$, πρέπει να εκλαμβάνεται ως απροσδιόριστη μορφή.

• Τα όρια που περιλαμβάνουν αλγεβρικούς υπολογισμούς πρέπει να αποτιμούνται με την αντικατάσταση υποεκφράσεων από τα όριά τους, αν η έκφραση που προκύπτει δεν προσδιορίζει το αρχικό όριο, η έκφραση είναι γνωστή ως απροσδιόριστη μορφή. Στην πραγματικότητα, όταν f(t) και g(t) είναι συναρτήσεις με πραγματικές τιμές που και οι δύο προσεγγίζουν το 0 (καθώς το t τείνει σε ένα πραγματικό αριθμό ή το ±∞), με f(t) > 0, η συνάρτηση f(t)^g(t) δεν είναι αναγκαίο να τείνει στο 1. Αναλόγως με τις f και g, το όριο f(t)^g(t) μπορεί να είναι οποιοσδήποτε μη αρνητικός αριθμός ή το +∞, ή μπορεί να είναι απροσδιόριστο. Για παράδειγμα, t → 0⁺ όμως τα όρια είναι διαφορετικά:

$\lim _{t\to 0^{+}}{t}^{t}=1,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{t}=0,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t^{2}})^{-t}=+\infty ,\quad \lim _{t\to 0^{+}}(e^{-1/t})^{at}=e^{-a}$.

Έτσι το 0⁰ είναι απροσδιόριστη μορφή. Αυτή η συμπεριφορά δείχνει ότι οι συνάρτηση δύο μεταβλητών x^y, αν και συνεχής στο σύνολο {(x,y): x > 0}, δεν μπορεί να γενικευτεί σε συνεχή συνάρτηση σε οποιοδήποτε σύνολο περιέχει το (0,0), ανεξαρτήτως του πως ορίζεται το 0⁰. Ωστόσο υπό συνθήκες, όπως αν αμφότερες οι f και g είναι αναλυτικές συναρτήσεις και η f είναι μη αρνητική, το όριο από τα δεξιά είναι πάντα 1.

• Στους μιγαδικούς αριθμούς, η συνάρτηση z^w ορίζεται για μη μηδενικό z επιλέγοντας ένα κλάδο του log z και θέτοντας z^w := e^w log z, αλλά δεν υπάρχει κλάδος του log z που να ορίζεται στο z = 0, πόσο μάλλον σε μία γειτονιά του 0.

Ιστορία των απόψεων πάνω στο 0⁰

Διαφορετικοί συγγραφείς ερμηνεύουν την κατάσταση που περιγράφηκε παραπάνω με διαφορετικό τρόπο:

• Κάποιοι ισχυρίζονται ότι η καλύτερη τιμή για το 0⁰ εξαρτάται από τα συμφραζόμενα, και έτσι ο ορισμός του για όλα είναι προβληματικός. Σύμφωνα με τον Μπένσον (Benson 1999), «η επιλογή για το άν θα οριστεί το 0⁰ εξαρτάται από το πόσο βολικό είναι και όχι από το πόσο σωστό είναι.»
• Άλλοι ισχυρίζονται ότι το 0⁰ είναι 1. Σύμφωνα με την σ.408 του Knuth (1992), «πρέπει να είναι 1», αν και συνεχίζει λέγοντας ότι ο «Cauchy είχε καλούς λόγους ώστε να θεωρεί το 0⁰ ως απροσδιόριστη οριακή μορφή» και ότι «υπό αυτή την πιο έντονη έννοια, η τιμή του 0⁰ είναι λιγότερο ορισμένη από, έστω, την τιμή του 0+0» (η έμφαση του πρωτότυπου).

Η διαμάχη συνεχίζεται τουλάχιστον από τις αρχές του 19ου αιώνα. Εκείνη την εποχή, οι περισσότεροι μαθηματικοί συμφωνούσαν ότι 0⁰ = 1, μέχρι που το 1821 ο Κωσύ καταχώρισε το 0⁰ μαζί με εκφράσεις όπως το ${\tfrac {0}{0}}$ στο πίνακα με τις απροσδιόριστες μορφές. Την δεκαετία του 1830 ο Libri δημοσίευσε ένα μη πειστικό επιχείρημα υπέρ του 0⁰ = 1, και ο Möbius πήρε το μέρος του, ισχυριζόμενος ότι $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1$ οποτεδήποτε $\lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0.$ Ένας σχολιαστής που υπέγραψε απλά ως «S» παρείχε το αντιπαράδειγμα του (e^−1/t)^t, γεγονός που σίγασε την διαμάχη για ένα διάστημα, με την κατάληξη ότι το 0⁰ θα έπρεπε να είναι αόριστο.

Χειρισμός από τους υπολογιστές

Πρότυπο κινητής υποδιαστολής του IEEE

Το πρότυπο κινητής υποδιαστολής IEEE 754-2008 χρησιμοποιείται για τον σχεδιασμό των περισσοτέρων βιβλιοθηκών κινητής υποδιαστολής. Προτείνει ένα αριθμό διαφορετικών συναρτήσεων για τον υπολογισμό μίας δύναμης:

• Η pow χειρίζεται το 0⁰ ως 1. Αυτή είναι η παλαιότερα ορισμένη έκδοση. Αν η δύναμη είναι ακέραιος τότο το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με την powr (εκτός από κάποιες εξαιρετικές περιπτώσεις).
• Η pown χειρίζεται το 0⁰ ως 1. Η δύναμη πρέπει να είναι ακέραιος. Η τιμή ορίζεται για αρνητικές βάσεις, π.χ. pown(−3,5) βγάζει −243.
• Η powr χειρίζεται το 0⁰ ως NaN (Not-a-Number - όχι αριθμός, αόριστο). Η τιμή είναι επίσης NaN για περιπτώσεις όπως powr(-3,2) όπου η βάση είναι μικρότερη του μηδενός. Η τιμή ορίζεται ως e^{power×log(base)}.

Γλώσσες προγραμματισμού

Οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού με συνάρτηση δύναμης υλοποιούνται χρησιμοποιώντας την συνάρτηση pow του IEEE και συνεπώς αποτιμούν το 0⁰ ως 1. Τα μεταγενέστερα πρότυπα της C και της C++ περιγράφουν αυτή τη συμπεριφορά ως μη κανονική. Η μέθοδος System.Math.Pow του .NET Framework επείσης χειρίζεται το 0⁰ ως 1.

Όρια των δυνάμεων

Στην ενότητα μηδέν στη μηδενική δύναμη υπάρχουν κάποια παραδείγματα ορίων τα οποία είναι της απροσδιόριστης μορφής 0⁰. Τα όρια σε αυτά τα παραδείγματα υπάρχουν, αλλά έχουν διαφορετικές τιμές, δείχνοντας ότι η συνάρτηση δύο μεταβλητών x^y δεν έχει όριο στο σημείο (0,0). Το ζήτημα είναι σε ποια σημεία έχει όριο αυτή η συνάρτηση.

Πιο συγκεκριμένα, έστω η συνάρτηση f(x,y) = x^y, ορισμένη στο D = {(x,y) ∈ R² : x > 0}. Τότε το D μπορεί να ειδωθεί ως υποσύνολο του R² (ήτοι το σύνολο όλων των ζευγών (x,y) με τα x,y να ανήκουν στην εκτεταμένη ευθεία των πραγματικών R = [−∞, +∞] εφοδιασμένο με γινόμενη τοπολογία), το οποίο θα περιέχει όλα τα σημεία στα οποία η συνάρτηση f έχει όριο.

Η f έχει όριο σε όλα τα οριακά σημεία του D εκτός από το (0,0), (+∞,0), (1,+∞) και (1,−∞). Σύμφωνα με αυτό μπορεί κανείς να ορίσει τις δυνάμεις x^y διά της συνέχειας οποτεδήποτε 0 ≤ x ≤ +∞, −∞ ≤ y ≤ +∞, ακτό από τα 0⁰, (+∞)⁰, 1^+∞ και 1^−∞, τα οποία παραμένουν απροσδιόριστες μορφές.

Υπό αυτόν τον ορισμό διά της συνέχειας, προκύπτει:

• α^+∞ = +∞ και α^−∞ = 0, όταν 1 < α ≤ +∞.
• α^+∞ = 0 και α^−∞ = +∞, όταν 0 ≤ α < 1.
• 0^b = 0 και (+∞)^b = +∞, όταν 0 < b ≤ +∞.
• 0^b = +∞ και (+∞)^b = 0, όταν −∞ ≤ b < 0.

Αυτές οι δυνάμεις υπολογίζονται παίρνοντας τα όρια του x^y για θετικές τιμε΄ς του x. Αυτή η μέθοδος δεν επιτρέπει ορισμό του x^y όταν x < 0, καθώς τα ζεύγη (x,y) με x < 0 δεν είναι οριακά σημεία του D.

Από την άλλη, όταν ο n είναι ακέραιος, η δύναμη xⁿ έχει σημασία για όλες τις τιμές του x, συμπεριλαμβανομένων και των αρνητικών. Αυτό μπορεί να κάνει τον ορισμό 0ⁿ = +∞ προβληματικό για αρνητικά n όταν το n είναι περιττός, καθώς σε αυτή την περίπτωση tⁿ → +∞ καθώς το t τείνει στο 0 από θετικές τιμές αλλά όχι αρνητικές.

Εκθετικός συμβολισμός για συναρτήσεις

Τοποθετώντας ένα ακέραιο εκθέτη μετά το όνομα ή το σύμβολο μίας συνάρτησης, σαν η συνάρτηση να υψώνονταν σε δύναμη, κατά κοινή χρήση σημαίνει επεναλαμβανόμενη σύνθεση συναρτήσεων παρά επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό. Συνεπώς το f³(x) μπορεί να σημαίνει f(f(f(x))), και πιο συγκεκριμένα το f ⁻¹(x) συνήθως συμβολίζει την αντίστροφη συνάρτηση της f. Οι επαναλαμβανόμενες συναρτήσεις έχουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στη μελέτη των φράκταλ και των δυναμικών συστημάτων. Ο Τσαρλς Μπάμπατζ ήταν ο πρώτος που μελέτησε το πρόβλημα εύρεσης της τετραγωνικής ρίζας συνάρτησης f^1/2(x).

Για ιστορικούς ωστόσο λόγους, ισχύει ειδική σύνταξη για τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις: ένας θετικός εκθέτης στο όνομα της συνάρτησης σημαίνει ότι το αποτέλεσμα υψώνεται σε αυτή τη δύναμη, ενώ ο εκθέτης -1 υποδηλώνει την αντίστροφη συνάρτηση. Έτσι, sin²x είναι απλώς συντομογραφία του (sin x)² χωρίς την χρήση παρενθέσεων, ενώ το sin⁻¹x αναφέρεται στην αντίστροφη συνάρτηση του ημιτόνου, που ονομάζεται arcsin x. Δεν υπάρχει ανάγκη για συντομογραφίες των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων καθώς κάθε μία έχει το δικό της όνομα και συντομογραφία. Για παράδειγμα 1/sin x = (sin x)⁻¹ είναι csc x (συντέμνουσα). Παρόμοια σύμβαση ισχύει και για τους λογάριθμους, όπου log²x συνήθως σημαίνει (log x)², και όχι log log x.

Επαναλαμβανόμενη ύψωση σε δύναμη

Όπως η ύψωση σε δύναμη φυσικών αριθμών είναι στην ουσία επαναλαμβανόμενος πολλαπλασιασμός, είναι πιθανό να οριστεί μία πράξη με βάση την επαναλαμβανόμενη ύψωση σε δύναμη. Αυτή η πράξη κάποιες φορές ονομάζεται tetration. Η επανάληψη του tetration οδηγεί σε άλλη πράξη και ούτω καθεξής. Αυτή η ακολουθία πράξεων εκφράζεται από την συνάρτηση Ackermann και τον συμβολισμό άνω βέλους Knuth. Όπως ακριβώς η δύναμη αυξάνεται ταχύτερα από ότι ο πολλαπλασιασμό, και με την σειρά του ο πολλαπλασιασμός ταχύτερα από την πρόσθεση, η δύναμη της δύναμης αυξάνει ταχύτερα από την δύναμη. Αποτιμημένες στο (3,3), η πράξεις της πρόσθεσης, πολλαπλασιασμού, ύψωσης σε δύναμη και tetration δίνουν 6, 9, 27, και 7,625,597,484,987 αντίστοιχα.

Στις γλώσσες προγραμματισμού

Ο συμβολισμός με εκθέτη x^y είναι βολικός στο χειρόγραφο αλλά μη πρακτικός για τις γραφομηχνές και τα τερματικά που έχουν όλους τους χαρακτήρες ευθυγραμισμένους. Πολλές γλώσσες προγραμματισμού έχουν εναλακτικούς τρόπους για την έκφαρση της ύψωσης σε δύναμη που δεν χρησιμοποιούν εκθέτες:

• x ↑ y: Algol, Commodore BASIC
• x ^ y: BASIC, J, MATLAB, R, Microsoft Excel, TeX (και τα παράγωγά του), TI-BASIC, bc (για ακέραιους εκθέτες), Haskell (για μη αρνητικούς ακέραιους εκθέτες), Lua, ASP και τα περισσότερα υπολογιστικά συστήματα άλγεβρας (CAS)
• x ^^ y: Haskell (για κλασματική βάση, ακέραιους εκθέτες), D
• x ** y: Ada, Bash, COBOL, Fortran, FoxPro, Gnuplot, OCaml, Perl, PL/I, Python, Rexx, Ruby, SAS, Tcl, ABAP, Haskell (για εκθέτες μεταβλητής υποδιαστολής), Turing, VHDL
• x⋆y: APL
• Power(x, y): Microsoft Excel, Delphi/Pascal
• pow(x, y): C, C++, PHP, Tcl
• x**y: Python
• Math.pow(x, y): Java, JavaScript, Modula-3, Standard ML
• Math.Pow(x, y) ή BigInteger.Pow(x, y): C# (και άλλες γλώσσες που χρησιμοποιούν την BCL)
• (expt x y): Common Lisp, Scheme
• math:pow(x, y): Erlang

Στις Bash, C, C++, C#, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python και Ruby, το σύμβολο ^ αναπαριστά το επιπέδου bit XOR. Στην Pascal αναπαριστά την έμμεση αναφορά. Στις OCaml και Standard ML αναπαριστά παράθεση συμβολοσειρών (string concatenation).

Ιστορία του συμβολισμού

Ο όρος δύναμη χρησιμοποιήθηε από τον Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη για το τετράγωνο του μήκους ενός ευθυγράμμου τμήματος. Τον 9ο αιώνα, ο Αλ Χουαρίζμι χρησιμοποίησε τους όρους mal για το τετράγωνο και kab για τον κύβο, τα οποία μεταγενέστεροι ισλαμιστές μαθηματικοί τα αναπαριστούσαν ως m και k αντίστοιχα, κατά τον 15ο αιώνα, όπως φαίνεται στο έργο του Αμπού αλ-Χασάν ιμπν Αλί αλ-Καλασαντί.

Ο Nicolas Chuquet χρησιμοποίησε μία μορφή εκθετικού συμβολισμού τον 15ο αιώνα, η οποία χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τον Henricus Grammateus και τον Μίχαελ Στίφελ τον 16ο αιώνα. Ο Σάμιουελ Τζικ (Samuel Jeake) εισήγαγε τον όρο indices (δείκτες) το 1696. Τον 16ο αιώνα ο Robert Recorde χρησιμοποίησε τους όρους τετράγωνο, κύβος, zenzizenzic (για την τέταρτη δύναμη), surfolide (πέμπτη), zenzicube (έκτη), second surfolide (εβδόμη) και zenzizenzizenzic (ογδόη).

Κάποιοι μαθηματικοί (όπως π.χ. ο Ισαάκ Νεύτων) χρησιμοποίησαν εκθέτες μόνο για δυνάμεις μεγαλύτερες του δύο, προτιμώντας να αναπαριστούν τα τετράγωνα ως επαναλαμβανόμενο πολλαπλασιασμό. Έτσι έγραφαν τα πολυώνυμα ως ax + bxx + cx³ + d.

Δείτε επίσης

• Εκθετική συνάρτηση
• Νιοστή ρίζα
• Πολλαπλασιασμός
• Λογαριθμική συνάρτηση