Διπλό παραγοντικό

Τα δεκαπέντε διαφορετικά διαγράμματα χορδών με έξι σημεία πάνω σε έναν πλήρη γράφο έξι κορυφών. Αυτά υπολογίζονται με το διπλό παραγοντικό: 15 = (6 − 1)!!.

Στα μαθηματικά, το διπλό παραγοντικό ενός αριθμού n, που συμβολίζεται με n‼, είναι το γινόμενο όλων των άρτιων θετικών ακεραίων μέχρι το n (αν το n είναι άρτιος) ή το γινόμενο όλων των περιττών θετικών ακεραίων μέχρι το n (αν το n είναι περιττός). Δηλαδή,

$$n!!=\prod _{k=0}^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil -1}(n-2k)=n(n-2)(n-4)\cdots .$$

Με άλλα λόγια, αυτό λέει ότι για άρτιο αριθμό n, το διπλό παραγοντικό είναι$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n}{2}}(2k)=n(n-2)(n-4)\cdots 4\cdot 2\,,$$ενώ για περιττό αριθμό n είναι$$n!!=\prod _{k=1}^{\frac {n+1}{2}}(2k-1)=n(n-2)(n-4)\cdots 3\cdot 1\,.$$Για παράδειγμα, 9‼ = 9 × 7 × 5 × 3 × 1 = 945.

Η ακολουθία των διπλών παραγοντικών για άρτιο αριθμό n = 0, 2, 4, 6, 8,... είναι

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, ... (ακολουθία A000165 στην OEIS)

Η ακολουθία των διπλών παραγοντικών για περιττό αριθμό n = 1, 3, 5, 7, 9,... είναι

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, ... (ακολουθία A001147 στην OEIS)

Ο όρος περιττό παραγοντικό χρησιμοποιείται μερικές φορές για το διπλό παραγοντικό ενός περιττού αριθμού.

Ο όρος ημιπαραγοντικό χρησιμοποιείται επίσης από τον Ντόναλντ Κνουθ ως συνώνυμο του διπλού παραγοντικού.

Ιστορία και χρήση

Σε ένα άρθρο του 1902, ο φυσικός Άρθουρ Σούστερ έγραψε:

Η συμβολική αναπαράσταση των αποτελεσμάτων αυτού του άρθρου διευκολύνεται πολύ με την εισαγωγή ενός ξεχωριστού συμβόλου για το γινόμενο εναλλασσόμενων παραγόντων, $n\cdot n-2\cdot n-4\cdots 1$, αν το $n$ είναι περιττός, ή $n\cdot n-2\cdots 2$ αν το $n$ είναι άρτιος. Προτείνω να γράφουμε $n!!$ για τέτοια γινόμενα, και αν απαιτείται όνομα για αυτό ας το ονομάσουμε "εναλλασσόμενο παραγοντικό" ή "διπλό παραγοντικό".

Ο Meserve (1948) δήλωσε ότι το διπλό παραγοντικό εισάχθηκε αρχικά για να απλοποιήσει την έκφραση ορισμένων τριγωνομετρικών ολοκληρωμάτων που προκύπτουν από το γινόμενο Γουάλις. Τα διπλά παραγοντικά προκύπτουν επίσης στην έκφραση του όγκου μιας μπάλας και της επιφάνειας μιας υπερσφαίρας και έχουν πολλές εφαρμογές στην αριθμητική συνδυαστική. Εμφανίζονται και στην κατανομή t-Student (1908), αν και ο Gosset δεν χρησιμοποιούσε τον συμβολισμό του διπλού θαυμαστικού.

Σχέση με το παραγοντικό

Επειδή το διπλό παραγοντικό περιλαμβάνει μόνο τους μισούς παράγοντες του συνηθισμένου παραγοντικού, η τιμή του δεν είναι πολύ μεγαλύτερη από την τετραγωνική ρίζα του παραγοντικού n!.

Το παραγοντικό ενός θετικού αριθμού n μπορεί να γραφτεί ως το γινόμενο δύο διπλών παραγοντικών: $$n!=n!!\cdot (n-1)!!\,,$$και ως εκ τούτου $$n!!={\frac {n!}{(n-1)!!}}={\frac {(n+1)!}{(n+1)!!}}\,,$$όπου ο παρονομαστής απλοποιεί τους παράγοντες που βρίσκονται στον αριθμητή. (Η τελευταία ισότητα ισχύει επίσης όταν n = 0.)

Για έναν άρτιο μη-αρνητικό ακέραιο n = 2k με k ≥ 0, το διπλό παραγοντικό μπορεί να εκφραστεί ως$$(2k)!!=2^{k}k!\,.$$

Για περιττό αριθμό n = 2k − 1 με k ≥ 1, ο συνδυασμός των δύο προηγούμενων τύπων δίνει$$(2k-1)!!={\frac {(2k)!}{2^{k}k!}}={\frac {(2k-1)!}{2^{k-1}(k-1)!}}\,.$$

Για έναν περιττό θετικό ακέραιο n = 2k − 1 με k ≥ 1, το διπλό παραγοντικό μπορεί να εκφραστεί με τους όρους των k-μεταθέσεων του 2k ή με το καθοδικό παραγοντικό ως εξής:$$(2k-1)!!={\frac {_{2k}P_{k}}{2^{k}}}={\frac {(2k)^{\underline {k}}}{2^{k}}}\,.$$

Ασυμπτωτικά

Η προσέγγιση Στίρλινγκ για το παραγοντικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εξαχθεί ένα ασυμπτωτικό ισοδύναμο για το διπλό παραγοντικό. Ειδικότερα, αφού $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n},$ όσο το $n$ τείνει στο άπειρο:

$$n!!\sim {\begin{cases}\displaystyle {\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{αν το }}n{\text{ είναι άρτιος}},\\[5pt]\displaystyle {\sqrt {2n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n/2}&{\text{αν το }}n{\text{ είναι περιττός}}.\end{cases}}$$

Επεκτάσεις

Αρνητικά ορίσματα

Το συνηθισμένο παραγοντικό, όταν επεκτείνεται στη συνάρτηση γάμμα, έχει έναν πόλο σε κάθε αρνητικό ακέραιο, αποτρέποντας τον ορισμό του παραγοντικού σε αυτούς τους αριθμούς. Ωστόσο, το διπλό παραγοντικό των περιττών αριθμών μπορεί να επεκταθεί σε οποιοδήποτε αρνητικό περιττό ακέραιο όρισμα αντιστρέφοντας την αναδρομική σχέση$$n!!=n\times (n-2)!!$$για να πάρουμε$$n!!={\frac {(n+2)!!}{n+2}}\,.$$Χρησιμοποιώντας αυτήν την αναδρομική σχέση, (−1)!! = 1, (−3)!! = −1 και (−5)!! = 1/3. Οι αρνητικοί περιττοί αριθμοί με μεγαλύτερο μέγεθος έχουν κλασματικά διπλά παραγοντικά. Συγκεκριμένα, όταν το n είναι περιττός αριθμός, έχουμε ότι$$(-n)!!\times n!!=(-1)^{\frac {n-1}{2}}\times n\,.$$

Μιγαδικά ορίσματα

Παραβλέποντας τον παραπάνω ορισμό του n!! για άρτιες τιμές του n, το διπλό παραγοντικό για περιττούς ακέραιους αριθμούς μπορεί να επεκταθεί στους περισσότερους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς z, παρατηρώντας ότι όταν το z είναι θετικός περιττός ακέραιος τότε:

$${\begin{aligned}z!!&=z(z-2)\cdots 5\cdot 3\\[3mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}\left({\frac {z}{2}}\right)\left({\frac {z-2}{2}}\right)\cdots \left({\frac {5}{2}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\\[5mu]&=2^{\frac {z-1}{2}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)}{\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+1\right)}}\\[5mu]&={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)\,,\end{aligned}}$$όπου $\Gamma (z)$ είναι η συνάρτηση γάμμα.

Η τελική έκφραση ορίζεται για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτός από τους αρνητικούς άρτιους ακεραίους και ικανοποιεί την εξίσωση (z + 2)!! = (z + 2) · z!! παντού όπου ορίζεται. Όπως και με τη συνάρτηση γάμμα που επεκτείνει τη συνηθισμένη παραγοντική συνάρτηση, η διπλή παραγοντική συνάρτηση είναι λογαριθμικά κυρτή με την έννοια του θεωρήματος Bohr–Mollerup. Ασυμπτωτικά, ${\textstyle n!!\sim {\sqrt {2n^{n+1}e^{-n}}}\,.}$

Ο γενικευμένος τύπος ${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{\frac {z}{2}}\Gamma \left({\tfrac {z}{2}}+1\right)$ δεν συμφωνεί με τον προηγούμενο τύπο γινομένου του z!! για μη-αρνητικές άρτιες ακέραιες τιμές του z. Αντίθετα, αυτός ο γενικευμένος τύπος συνεπάγεται την ακόλουθη εναλλακτική λύση: $$(2k)!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}2^{k}\Gamma \left(k+1\right)={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\prod _{i=1}^{k}(2i)\,,$$με την τιμή για το 0!! στην προκειμένη περίπτωση να είναι

$0!!={\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\approx 0.797\,884\,5608\dots$ (ακολουθία A076668 στην OEIS).

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον γενικευμένο τύπο ως ορισμό, ο όγκος μιας n-διάστατης υπερσφαίρας ακτίνας R μπορεί να εκφραστεί ως

$$V_{n}={\frac {2\left(2\pi \right)^{\frac {n-1}{2}}}{n!!}}R^{n}\,.$$

Επιπλέον ταυτότητες

Για ακέραιες τιμές του n, $$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}\times {\begin{cases}1&{\text{αν τo }}n{\text{ είναι περιττός}}\\{\frac {\pi }{2}}&{\text{αν τo }}n{\text{ είναι άρτιος.}}\end{cases}}$$Χρησιμοποιώντας αντ' αυτού την επέκταση του διπλού παραγοντικού των περιττών αριθμών σε μιγαδικούς αριθμούς, ο τύπος είναι$$\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}x\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}x\,dx={\frac {(n-1)!!}{n!!}}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\,.$$

Τα διπλά παραγοντικά μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των ολοκληρωμάτων πιο περίπλοκων τριγωνομετρικών πολυωνύμων.

Τα διπλά παραγοντικά περιττών αριθμών σχετίζονται με τη συνάρτηση γάμμα από την ταυτότητα:

$$(2n-1)!!=2^{n}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)}{\sqrt {\pi }}}=(-2)^{n}\cdot {\frac {\sqrt {\pi }}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)}}\,.$$

Ορισμένες πρόσθετες ταυτότητες που περιλαμβάνουν διπλά παραγοντικά περιττών αριθμών είναι:

$${\begin{aligned}(2n-1)!!&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k+1}}(2k-1)!!(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}(2k-3)!!(2(n-k)-1)!!\\&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n-k-1}{k-1}}{\frac {(2k-1)(2n-k+1)}{k+1}}(2n-2k-3)!!\\&=\sum _{k=1}^{n}{\frac {(n-1)!}{(k-1)!}}k(2k-3)!!\,.\end{aligned}}$$

Μια προσέγγιση για τον λόγο του διπλού παραγοντικού δύο διαδοχικών ακεραίων είναι$${\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\approx {\sqrt {\pi n}}.$$Αυτή η προσέγγιση γίνεται πιο ακριβής καθώς το n αυξάνεται.

Γενικεύσεις

Ορισμοί

Με τον ίδιο τρόπο που το διπλό παραγοντικό γενικεύει την έννοια του απλού παραγοντικού, ο ακόλουθος ορισμός των πολλαπλών παραγοντικών συναρτήσεων με ακέραιες τιμές (πολυπαραγοντικά), ή α-παραγοντικές συναρτήσεις, επεκτείνει την έννοια της διπλής παραγοντικής συνάρτησης για θετικούς ακεραίους αριθμούς $\alpha$:

$$n!_{(\alpha )}={\begin{cases}n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{αν }}n>\alpha \,;\\n&{\text{αν }}1\leq n\leq \alpha \,;{\text{και}}\\(n+\alpha )!_{(\alpha )}/(n+\alpha )&{\text{αν }}n\leq 0{\text{ και δεν είναι αρνητικό πολλαπλάσιο του }}\alpha \,;\end{cases}}$$

Εναλλακτική επέκταση του πολυπαραγοντικού

Εναλλακτικά, το πολυπαραγοντικό z!_(α) μπορεί να επεκταθεί στους περισσότερους πραγματικούς και μιγαδικούς αριθμούς z, παρατηρώντας ότι όταν το z είναι κατά ένα περισσότερο από ένα θετικό πολλαπλάσιο ενός θετικού ακέραιου αριθμού α τότε

$${\begin{aligned}z!_{(\alpha )}&=z(z-\alpha )\cdots (\alpha +1)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}\left({\frac {z}{\alpha }}\right)\left({\frac {z-\alpha }{\alpha }}\right)\cdots \left({\frac {\alpha +1}{\alpha }}\right)\\&=\alpha ^{\frac {z-1}{\alpha }}{\frac {\Gamma \left({\frac {z}{\alpha }}+1\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}+1\right)}}\,.\end{aligned}}$$

Αυτή η τελευταία έκφραση ορίζεται πολύ ευρύτερα από την αρχική. Με τον ίδιο τρόπο που το z! δεν ορίζεται για αρνητικούς ακεραίους και το z‼ δεν ορίζεται για αρνητικούς άρτιους ακεραίους, το z!_(α) δεν ορίζεται για αρνητικά πολλαπλάσια του α. Ωστόσο, ορίζεται και ικανοποιεί την εξίσωση (z+α)!_(α) = (z+α)·z!_(α) για όλους τους άλλους μιγαδικούς αριθμούς z. Αυτός ο ορισμός είναι συνεπής με τον προηγούμενο ορισμό μόνο για εκείνους τους ακέραιους αριθμούς z που ικανοποιούν z ≡ 1 mod α.

Γενικευμένοι αριθμοί Στίρλινγκ που επεκτείνουν τις πολυπαραγοντικές συναρτήσεις

Μια κατηγορία γενικευμένων αριθμών Στίρλινγκ του πρώτου είδους ορίζεται για α > 0 από την ακόλουθη τριγωνική αναδρομική σχέση:

$$\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }=(\alpha n+1-2\alpha )\left[{\begin{matrix}n-1\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\left[{\begin{matrix}n-1\\k-1\end{matrix}}\right]_{\alpha }+\delta _{n,0}\delta _{k,0}\,.$$

Αυτοί οι γενικευμένοι α-παραγοντικοί συντελεστές δημιουργούν στη συνέχεια τα διακριτά συμβολικά πολυωνυμικά γινόμενα που ορίζουν τα πολλαπλά παραγοντικά ή τις α-παραγοντικές συναρτήσεις, (x − 1)!_(α), ως

$${\begin{aligned}(x-1|\alpha )^{\underline {n}}&:=\prod _{i=0}^{n-1}\left(x-1-i\alpha \right)\\&=(x-1)(x-1-\alpha )\cdots {\bigl (}x-1-(n-1)\alpha {\bigr )}\\&=\sum _{k=0}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right](-\alpha )^{n-k}(x-1)^{k}\\&=\sum _{k=1}^{n}\left[{\begin{matrix}n\\k\end{matrix}}\right]_{\alpha }(-1)^{n-k}x^{k-1}\,.\end{aligned}}$$

Οι διακριτές πολυωνυμικές επεκτάσεις στις προηγούμενες εξισώσεις στην πραγματικότητα ορίζουν τα α-παραγοντικά γινόμενα για πολλαπλές διακριτές περιπτώσεις των ελάχιστων υπολοίπων x ≡ n₀ mod α για n₀ ∈ {0, 1, 2, ..., α − 1}.

Τα γενικευμένα α-παραγοντικά πολυώνυμα σ(α)
n(x), όπου σ(1)
n(x) ≡ σ_n(x), που γενικεύουν τα πολυώνυμα συνέλιξης Στίρλινγκ από την απλή παραγοντική περίπτωση στις πολυπαραγοντικές περιπτώσεις, ορίζονται ως

$$\sigma _{n}^{(\alpha )}(x):=\left[{\begin{matrix}x\\x-n\end{matrix}}\right]_{(\alpha )}{\frac {(x-n-1)!}{x!}}$$

για 0 ≤ n ≤ x.

Πεπερασμένα αθροίσματα που περιλαμβάνουν πολλαπλές παραγοντικές συναρτήσεις

Ας υποθέσουμε ότι το n ≥ 1 και το α ≥ 2 έχουν ακέραιες τιμές. Τότε μπορούμε να επεκτείνουμε τα επόμενα απλά πεπερασμένα αθροίσματα που περιλαμβάνουν τις πολυπαραγοντικές ή α-παραγοντικές συναρτήσεις (αn − 1)!_(α), όσον αφορά το σύμβολο Pochhammer και τους γενικευμένους διωνυμικούς συντελεστές, ως εξής:

$${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times \left({\frac {1}{\alpha }}\right)_{-(k+1)}\left({\frac {1}{\alpha }}-n\right)_{k+1}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k+1}}(-1)^{k}\times {\binom {{\frac {1}{\alpha }}+k-n}{k+1}}{\binom {{\frac {1}{\alpha }}-1}{k+1}}\times {\bigl (}\alpha (k+1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-k-1)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\,,\end{aligned}}$$

και επιπλέον, έχουμε ομοίως ένα διπλό ανάπτυγμα αθροίσματος αυτών των συναρτήσεων που δίνονται από τον τύπο

$${\begin{aligned}(\alpha n-1)!_{(\alpha )}&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (n-1-k)_{k+1-i}\\&=\sum _{k=0}^{n-1}\sum _{i=0}^{k+1}{\binom {n-1}{k+1}}{\binom {k+1}{i}}{\binom {n-1-i}{k+1-i}}(-1)^{k}\alpha ^{k+1-i}(\alpha i-1)!_{(\alpha )}{\bigl (}\alpha (n-1-k)-1{\bigr )}!_{(\alpha )}\times (k+1-i)!.\end{aligned}}$$