Διαφορική εξίσωση Κλερώ

Στα μαθηματικά, μια εξίσωση Κλερώ είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής:

$y(x)=x{\frac {dy}{dx}}+f\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

Για την επίλυση αυτής της εξίσωσης, παραγωγίζουμε ως προς x, έχοντας:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dx}}+x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

έτσι:

$0=\left(x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)\right){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

Επομένως, είτε:

$0={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$

ή:

$0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

Στην πρώτη περίπτωση C = dy/dx για κάποια σταθερά C. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Κλερώ, έχουμε την οικογένεια συναρτήσεων που δίνεται από τον τύπο:

$y(x)=Cx+f(C)$

Αυτή ονομάζεται η γενική λύση της εξίσωσης Κλερώ.

Στη δεύτερη περίπτωση, προκύπτει η εξίσωση:

$0=x+f'\left({\frac {dy}{dx}}\right)$

Αυτή ορίζει μόνο μια λύση y(x), την επονομαζόμενη μοναδική λύση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η περιβάλλουσα των γραφικών παραστάσεων των γενικών λύσεων. Η μοναδική λύση συνήθως αναπαρίσταται ως (x(p), y(p)), όπου p είναι το dy/dx.

Αυτή η εξίσωση πήρε το όνομά της από τον Αλεξίς Κλερώ, ο οποίος την παρουσίασε το 1734.

Μια πρώτης τάξης μερική διαφορική εξίσωση είναι επίσης γνωστή ως Εξίσωση του Κλερώ ή Εξίσωση Κλερώ:

$\displaystyle u=xu_{x}+yu_{y}+f(u_{x},u_{y})$

Πηγές

• Clairaut, Alexis Claude, Solution de plusieurs Problemes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée.