Διαφορική εξίσωση Κλερώ

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Διαφορική Εξίσωση Κλερώ
Ταξινόμηση
Dewey51
MSC201035-XX

Στα Μαθηματικά, μια εξίσωση Κλερώ είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής:

Για την επίλυση αυτής της εξίσωσης, παραγωγίζουμε ως προς x, έχοντας:

έτσι:

Επομένως, είτε:

ή:

Στην πρώτη περίπτωση C = dy/dx για κάποια σταθερά C. Αντικαθιστώντας στην εξίσωση Κλερώ, έχουμε την οικογένεια συναρτήσεων που δίνεται από τον τύπο:

Αυτή ονομάζεται η γενική λύση της εξίσωσης Κλερώ.

Στη δεύτερη περίπτωση, προκύπτει η εξίσωση:

Αυτή ορίζει μόνο μια λύση y(x), την επονομαζόμενη μοναδική λύση, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η περιβάλλουσα των γραφικών παραστάσεων των γενικών λύσεων. Η μοναδική λύση συνήθως αναπαρίσταται ως (x(p), y(p)), όπου p είναι το dy/dx.

Αυτή η εξίσωση πήρε το όνομά της από τον Αλεξίς Κλερώ, ο οποίος την παρουσίασε το 1734.

Μια πρώτης τάξης μερική διαφορική εξίσωση είναι επίσης γνωστή ως Εξίσωση του Κλερώ ή Εξίσωση Κλερώ:

Πηγές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Clairaut, Alexis Claude, Solution de plusieurs Problemes où il s'agit de trouver des Courbes dont la propriété consiste dans une certaine relation entre leurs branches, exprimée par une Équation donnée.