Διανυσματικό δυναμικό

Στον διανυσματικό λογισμό, ένα διανυσματικό δυναμικό είναι ένα διανυσματικό πεδίο του οποίου η κύρτωση είναι ένα δεδομένο διανυσματικό πεδίο. Αυτό είναι ανάλογο με ένα "βαθμωτό δυναμικό", το οποίο είναι ένα βαθμωτό πεδίο που η κλίση είναι ένα δεδομένο διανυσματικό πεδίο.

Τυπικά, δεδομένου ενός διανυσματικού πεδίου $\mathbf {v}$, ένα διανυσματικό δυναμικό είναι ένα $C^{2}$ διανυσματικό πεδίο $\mathbf {A}$ τέτοιο ώστε

$\mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .$

Ιστορικά, το μαγνητικό διανυσματικό δυναμικό ήταν ο λόγος για την περιγραφή του διανυσματικού δυναμικού. Εισήχθη για να απλοποιήσει τους υπολογισμούς με την πυκνότητα της μαγνητικής ροής και την ηλεκτρομαγνητική επαγωγή στην κλασική ηλεκτροδυναμική.

Συνέπεια

Αν ένα διανυσματικό πεδίο $\mathbf {v}$ δέχεται ένα διανυσματικό δυναμικό $\mathbf {A}$, τότε από την ισότητα

$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0$

(η απόκλιση της κύρτωσης είναι μηδέν) προκύπτει

$\nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0,$

το οποίο συνεπάγεται ότι $\mathbf {v}$ πρέπει να είναι ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο.

Θεώρημα

Έστω $\mathbf {v} :\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$

να είναι ένα σωληνοειδές διανυσματικό πεδίο το οποίο είναι δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμο. Υποθέτουμε ότι $\mathbf {v} (\mathbf {x} )$ μειώνεται τουλάχιστον τόσο γρήγορα όσο $1/\|\mathbf {x} \|$ for $\|\mathbf {x} \|\to \infty$. Ορίζουμε

$\mathbf {A} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y}$

όπου $\nabla _{y}\times$ δηλώνει την κύρτωση ως προς τη μεταβλητή $\mathbf {y}$. Τότε $\mathbf {A}$ είναι ένα διανυσματικό δυναμικό για $\mathbf {v}$. Δηλαδή,

$\nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {v} .$

Το πεδίο ολοκλήρωσης μπορεί να περιοριστεί σε οποιαδήποτε απλά συνδεδεμένη περιοχή $\mathbf {\Omega }$. Δηλαδή, το $\mathbf {A'}$ είναι επίσης ένα διανυσματικό δυναμικό $\mathbf {v}$, όπου

$\mathbf {A'} (\mathbf {x} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\Omega }{\frac {\nabla _{y}\times \mathbf {v} (\mathbf {y} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|}}\,d^{3}\mathbf {y} .$

Μια γενίκευση αυτού του θεωρήματος είναι το θεώρημα του Χέλμχολτς, το οποίο δηλώνει ότι κάθε διανυσματικό πεδίο μπορεί να αναλυθεί ως άθροισμα ενός σωληνοειδούς διανυσματικού πεδίου και ενός μη περιστροφικού διανυσματικού πεδίου.

Κατ' αναλογία με το νόμο Μπιότ - Σάβαρτ, το $\mathbf {A''} (\mathbf {x} )$ χαρακτηρίζεται επίσης ως διανυσματικό δυναμικό για το $\mathbf {v}$, όπου

$\mathbf {A''} (\mathbf {x} )=\int _{\Omega }{\frac {\mathbf {v} (\mathbf {y} )\times (\mathbf {x} -\mathbf {y} )}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{3}}}d^{3}\mathbf {y}$.

Αντικαθιστώντας $\mathbf {j}$ (πυκνότητα ρεύματος) για $\mathbf {v}$ και $\mathbf {H}$ (πεδίο H) για $\mathbf {A}$, προκύπτει ο νόμος Βιοτ-Σάβαρτ.

Έστω $\mathbf {\Omega }$ ένας αστρικός τομέας με κέντρο το σημείο $\mathbf {p}$, όπου $\mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{3}$. Εφαρμόζοντας το λήμμα του Πουανκαρέ για διαφορικές μορφές σε διανυσματικά πεδία, τότε το $\mathbf {A'''} (\mathbf {x} )$ είναι επίσης ένα διανυσματικό δυναμικό για το $\mathbf {v}$, όπου

$\mathbf {A'''} (\mathbf {x} )=\int _{0}^{1}s((\mathbf {x} -\mathbf {p} )\times (\mathbf {v} (s\mathbf {x} +(1-s)\mathbf {p} ))\ ds$

Μη μοναδικότητα

Το διανυσματικό δυναμικό που δέχεται ένα σωληνοειδές πεδίο δεν είναι μοναδικό. Αν το $\mathbf {A}$ είναι ένα διανυσματικό δυναμικό για το $\mathbf {v}$, τότε το ίδιο ισχύει και για το $\mathbf {v}$.

$\mathbf {A} +\nabla f,$

όπου $f$ είναι οποιαδήποτε συνεχώς διαφορίσιμη βαθμωτή συνάρτηση. Αυτό προκύπτει από το γεγονός ότι η κύρτωση της κλίσης είναι μηδέν.

Αυτή η μη μοναδικότητα οδηγεί σε έναν βαθμό ελευθερίας στη διατύπωση της ηλεκτροδυναμικής, ή ελευθερία του μέτρου, και απαιτεί την επιλογή ενός μέτρου.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Klausen, Kristján Óttar (25 Αυγούστου 2020). A Treatise on the Magnetic Vector Potential. Springer Nature. ISBN 978-3-030-52222-3. 
• Evans, Myron W. (4 Αυγούστου 2004). Modern Nonlinear Optics, Volume 119, Part 2. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-46612-3. 
• Arruñada, Benito· Westfall, Gary D. (29 Ιουνίου 2013). Advances in Nuclear Dynamics 2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-9086-3. 
• Pike, E. R.· Sabatier, Pierre C. (2002). Scattering, Two-Volume Set: Scattering and Inverse Scattering in Pure and Applied Science. Academic Press. ISBN 978-0-12-613760-6. 
• Ida, Nathan (1 Αυγούστου 2007). Engineering Electromagnetics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-20156-6. 
• Sohn, Lydia L.· Kouwenhoven, Leo P. (30 Σεπτεμβρίου 1997). Mesoscopic Electron Transport. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-7923-4737-8. 
• Harrington, Roger F. (1 Ιανουαρίου 2003). Introduction to Electromagnetic Engineering. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-43241-0. 
• Endler, P. C.· Schulte, J. (17 Απριλίου 2013). Ultra High Dilution: Physiology and Physics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-94-015-8342-8. 
• Pozrikidis, Constantine (28 Σεπτεμβρίου 2011). Introduction to Theoretical and Computational Fluid Dynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-990912-4. 
• Lonngren, Karl Erik· Savov, Sava Vasilev (2007). Fundamentals of Electromagnetics with MATLAB. SciTech Publishing. ISBN 978-1-891121-58-6. 

Παραπομπές

• Boyd, John P. (2001). Chebyshev and Fourier Spectral Methods (PDF). Mineola, NY: Courier Corporation. ISBN 0-486-41183-4. 
• LeVeque, Randall J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems. Cambridge University Press. doi:10.1017/cbo9780511791253. ISBN 978-0-521-81087-6. 
• Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second έκδοση). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X. 
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110. 
• Fewell, M. P. (2006). «Area of common overlap of three circles». Defence Science and Technology Organisation. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2022. 
• White, Joseph F. (1 Αυγούστου 2016). High Frequency Techniques: An Introduction to RF and Microwave Design and Computer Simulation. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-24450-9. 
• Slater, John C.· Frank, Nathaniel H. (9 Μαρτίου 2012). Electromagnetism. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-15040-6. 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Martin, Ralph R. (6 Αυγούστου 2009). Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03595-1. 
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0