Διανυσματικός λογισμός

Ο διανυσματικός λογισμός ή διανυσματική ανάλυση είναι ένας κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη διαφοροποίηση και την ολοκλήρωση διανυσματικών πεδίων, κυρίως στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, $\mathbb {R} ^{3}.$ . ^[1] Ο όρος διανυσματικός λογισμός χρησιμοποιείται μερικές φορές ως συνώνυμο του ευρύτερου αντικειμένου του πολυμεταβλητού λογισμού, ο οποίος περιλαμβάνει τον διανυσματικό λογισμό καθώς και τη μερική διαφοροποίηση και την πολλαπλή ολοκλήρωση. Ο διανυσματικός λογισμός παίζει σημαντικό ρόλο στη διαφορική γεωμετρία και στη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Χρησιμοποιείται εκτενώς στη φυσική και τη μηχανική, ιδίως στην περιγραφή ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, βαρυτικών πεδίων και ροής ρευστών.

Ο διανυσματικός λογισμός αναπτύχθηκε από τη θεωρία των τετραδόνιων από τον Τζ. Γουίλαρντ Γκιμπς και τον Όλιβερ Χεαβισάιντ κοντά στα τέλη του 19ου αιώνα, και οι περισσότεροι συμβολισμοί και η ορολογία καθιερώθηκαν από τον Γκιμπς και τον Έντουιν Μπίντγουελ Γουίλσον στο βιβλίο τους «Διανυσματική Ανάλυση» του 1901. Στην τυπική του μορφή που χρησιμοποιεί το διανυσματικό γινόμενο, ο διανυσματικός λογισμός δεν γενικεύεται σε υψηλότερες διαστάσεις, αλλά η εναλλακτική προσέγγιση της γεωμετρικής άλγεβρας, η οποία χρησιμοποιεί το εξωτερικό γινόμενο, το κάνει (βλ. § Γενικεύσεις παρακάτω για περισσότερα).

Βασικά αντικείμενα

Βαθμωτό πεδίο

Κύριο άρθρο: Βαθμωτό πεδίο

Ένα βαθμωτό πεδίο συσχετίζει μια βαθμωτή τιμή με κάθε σημείο ενός χώρου. Ο βαθμωτός αριθμός είναι ένας μαθηματικός αριθμός που αντιπροσωπεύει ένα φυσικό μέγεθος. Παραδείγματα βαθμωτών πεδίων σε εφαρμογές περιλαμβάνουν την κατανομή της θερμοκρασίας στο χώρο, την κατανομή της πίεσης σε ένα ρευστό και τα κβαντικά πεδία με μηδενικό σπιν (γνωστά ως βαθμωτά μποζόνια), όπως το πεδίο Χιγκς. Τα πεδία αυτά αποτελούν αντικείμενο της θεωρίας των βαθμωτών πεδίων.

Διανυσματικά πεδία

Κύριο άρθρο: Διανυσματικό πεδίο^[2]

Ένα διανυσματικό πεδίο είναι η ανάθεση ενός διανύσματος σε κάθε σημείο ενός χώρου^[3]. Ένα διανυσματικό πεδίο στο επίπεδο, για παράδειγμα, μπορεί να απεικονιστεί ως μια συλλογή από βέλη με δεδομένο μέγεθος και κατεύθυνση, καθένα από τα οποία συνδέεται με ένα σημείο του επιπέδου. Τα διανυσματικά πεδία χρησιμοποιούνται συχνά για τη μοντελοποίηση, επί παραδείγματι, της ταχύτητας και της κατεύθυνσης ενός κινούμενου ρευστού στο χώρο ή της ισχύος και της κατεύθυνσης κάποιας δύναμης, όπως η μαγνητική ή η βαρυτική δύναμη, καθώς μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί, παραδείγματος χάριν, για τον υπολογισμό του έργου που γίνεται σε μια γραμμή.

Διανύσματα και ψευδοδιανύσματα

Σε πιο προχωρημένες επεξεργασίες, διακρίνει κανείς περαιτέρω τα ψευδοδιανυσματικά πεδία και τα ψευδοβαθμωτά πεδία, τα οποία είναι πανομοιότυπα με τα διανυσματικά πεδία και τα βαθμωτά πεδία, με τη διαφορά ότι αλλάζουν πρόσημο κάτω από έναν χάρτη που αντιστρέφει τον προσανατολισμό: για παράδειγμα, η κύρτωση ενός διανυσματικού πεδίου είναι ένα ψευδοδιανυσματικό πεδίο, και αν κάποιος αντανακλά ένα διανυσματικό πεδίο, η κύρτωση δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση. Αυτή η διάκριση αποσαφηνίζεται και αναπτύσσεται στη γεωμετρική άλγεβρα, όπως περιγράφεται παρακάτω.

Διανυσματική άλγεβρα

Κύριο άρθρο: Ευκλείδειο διάνυσμα § Βασικές ιδιότητες

Οι αλγεβρικές (μη διαφορικές) πράξεις στο διανυσματικό λογισμό αναφέρονται ως διανυσματική άλγεβρα, καθώς ορίζονται για ένα διανυσματικό χώρο και στη συνέχεια εφαρμόζονται σημειακά σε ένα διανυσματικό πεδίο. Οι βασικές αλγεβρικές πράξεις αποτελούνται από:

Συμβολισμοί στο διανυσματικό λογισμό
Πράξη	Συμβολισμός	Περιγραφή
Πρόσθεση διανύσματος	$\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}$	Πρόσθεση δύο διανυσμάτων, δίνοντας ένα διάνυσμα.
Βαθμωτός πολλαπλασιασμός	$a\mathbf {v}$	Πολλαπλασιασμός ενός βαθμωτού και ενός διανύσματος, που δίνει ένα διάνυσμα.
Γινόμενο τελείας	$\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}$	Πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων, που δίνει ένα βαθμωτό.
Διανυσματικό γινόμενο	$\mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}$	Πολλαπλασιασμός δύο διανυσμάτων στο $\mathbb {R} ^{3}$ , δίνοντας ένα (ψευδο)διάνυσμα.

Συνήθως χρησιμοποιούνται επίσης τα δύο τριπλά γινόμενα:

Διανυσματικός λογισμός τριπλά γινόμενα
Πράξη	Συμβολισμός	Περιγραφή
Τριπλό βαθμωτό γινόμενο	$\mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Τετραγωνικό γινόμενο του γινομένου δύο διανυσμάτων.
Τριπλό διανυσματικό γινόμενο	$\mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)$	Το διανυσματικό γινόμενο δύο διανυσμάτων.

Τελεστές και θεωρήματα

Διαφορικοί τελεστές

Ο διανυσματικός λογισμός μελετά διάφορους διαφορικούς τελεστές που ορίζονται σε βαθμωτά ή διανυσματικά πεδία, οι οποίοι τυπικά εκφράζονται με βάση τον τελεστή del ( $\nabla$ ), επίσης γνωστό ως « νάμπλα ». Οι τρεις βασικοί διανυσματικοί τελεστές είναι:^[4]

Διαφορικοί τελεστές στο διανυσματικό λογισμό
Πράξη	Συμβολισμός	Περιγραφή	Σημείωση αναλογία	Περιοχή/Πεδίο τιμών
Βαθμίδα	$\operatorname {grad} (f)=\nabla f$	Μετρά τον ρυθμό και την κατεύθυνση της μεταβολής ενός βαθμωτού πεδίου.	Βαθμωτός πολλαπλασιασμός	Χαρτογραφεί βαθμωτά πεδία σε διανυσματικά πεδία.
Απόκλιση	$\operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F}$	Μετρά το βαθμωτό μέγεθος μιας πηγής ή μιας καταβόθρας σε ένα δεδομένο σημείο ενός διανυσματικού πεδίου.	Γινόμενο τελείας	Χαρτογραφεί διανυσματικά πεδία σε βαθμωτά πεδία.
Στροβιλισμός	$\operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F}$	Μετρά την τάση περιστροφής γύρω από ένα σημείο σε ένα διανυσματικό πεδίο στο $\mathbb {R} ^{3}$ .	Διανυσματικό γινόμενο	Χαρτογραφεί διανυσματικά πεδία σε (ψευδο)διανυσματικά πεδία.
$f$ συμβολίζει ένα βαθμωτό πεδίο και $F$ συμβολίζει ένα διανυσματικό πεδίο

Επίσης, χρησιμοποιούνται συνήθως οι δύο τελεστές Λαπλάς:

Τελεστές Λαπλάς στο διανυσματικό λογισμό
Πράξη	Συμβολισμός	Περιγραφή	Περιοχή/Πεδίο τιμών
Tελεστής Λαπλάς	$\Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f$	Μετρά τη διαφορά μεταξύ της τιμής του βαθμωτού πεδίου και του μέσου όρου του σε απειροελάχιστες μπάλες.	Χάρτες μεταξύ βαθμωτών πεδίων.
Διάνυσμα Λαπλάς	$\nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )$	Μετρά τη διαφορά μεταξύ της τιμής του διανυσματικού πεδίου και του μέσου όρου του σε απειροελάχιστες μπάλες.	Χάρτες μεταξύ διανυσματικών πεδίων.
$f$ συμβολίζει ένα βαθμωτό πεδίο και $F$ συμβολίζει ένα διανυσματικό πεδίο

Μια ποσότητα που ονομάζεται Ιακωβιανός πίνακας είναι χρήσιμη για τη μελέτη συναρτήσεων όταν τόσο το πεδίο όσο και το εύρος της συνάρτησης είναι πολυμεταβλητά, όπως η αλλαγή των μεταβλητών κατά την ολοκλήρωση.

Ολοκληρωτικά θεωρήματα

Οι τρεις βασικοί διανυσματικοί τελεστές έχουν αντίστοιχα θεωρήματα που γενικεύουν το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού σε υψηλότερες διαστάσεις:

Ολοκληρωτικά θεωρήματα του διανυσματικού λογισμού
Θεώρημα	Δήλωση	Περιγραφή
θεώρημα κλίσης	$\int _{L\subset \mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\nabla \varphi \cdot d\mathbf {r} \ =\ \varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)\ \ {\text{ for }}\ \ L=L[p\to q]$	Το γραμμικό ολοκλήρωμα της κλίσης ενός βαθμωτού πεδίου πάνω σε μια καμπύλη $L$ ισούται με τη μεταβολή του βαθμωτού πεδίου μεταξύ των τελικών σημείων $p$ και $q$ της καμπύλης.
Θεώρημα απόκλισης	$\underbrace {\int \!\cdots \!\int _{V\subset \mathbb {R} ^{n}}} _{n}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV\ =\ \underbrace {\oint \!\cdots \!\oint _{\partial V}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {S}$	Το ολοκλήρωμα της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου πάνω από ένα $n$ -διάστατο στερεό $V$ είναι ίσο με τη ροή του διανυσματικού πεδίου μέσω της $(n -1)$ -διάστατης κλειστής συνοριακής επιφάνειας του στερεού.
Θεώρημα (Κέλβιν-Στόκες)	$\iint _{\Sigma \subset \mathbb {R} ^{3}}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {\Sigma } \ =\ \oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r}$	Το ολοκλήρωμα της απόκλισης ενός διανυσματικού πεδίου πάνω από ένα $n$ -διάστατο στερεό $V$ είναι ίσο με τη ροή του διανυσματικού πεδίου μέσω της $(n -1)$ -διάστατης κλειστής συνοριακής επιφάνειας του στερεού.
$\varphi$ υποδηλώνει ένα βαθμωτό πεδίο και $F$ υποδηλώνει ένα διανυσματικό πεδίο.

Σε δύο διαστάσεις, τα θεωρήματα απόκλισης και στροβιλισμού ανάγονται στο θεώρημα του Γκριν:

Θεώρημα Γκριν του διανυσματικού λογισμού
Θεώρημα	Δήλωση	Περιγραφή
Θεώρημα του Γκριν	$\iint _{A\,\subset \mathbb {R} ^{2}}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\ =\ \oint _{\partial A}\left(L\,dx+M\,dy\right)$	Το ολοκλήρωμα της απόκλισης (ή στροβιλισμού) ενός διανυσματικού πεδίου πάνω από κάποια περιοχή $A$ in $\mathbb {R} ^{2}$ ισούται με τη ροή (ή την κυκλοφορία) του διανυσματικού πεδίου πάνω στην κλειστή καμπύλη που οριοθετεί την περιοχή.
Για την απόκλιση, $F = (M, - L)$ . Για το Στροβιλισμό, $F = (L, M, 0)$ . $L$ και $M$ είναι συναρτήσεις του $(x, y)$ .

Γραμμικές προσεγγίσεις

Οι γραμμικές προσεγγίσεις χρησιμοποιούνται για την αντικατάσταση πολύπλοκων συναρτήσεων με γραμμικές συναρτήσεις που είναι σχεδόν ίδιες. Δεδομένης μιας διαφορίσιμης συνάρτησης $f (x, y)$ με πραγματικές τιμές, μπορεί κανείς να προσεγγίσει την $f (x, y)$ για $(x, y)$ κοντά στην $(a, b)$ με τον τύπο

f(x,y)\ \approx \ f(a,b)+{\tfrac {\partial f}{\partial x}}(a,b)\,(x-a)+{\tfrac {\partial f}{\partial y}}(a,b)\,(y-b).

Η δεξιά πλευρά είναι η εξίσωση του επιπέδου που εφάπτεται στη γραφική παράσταση της $z = f (x, y)$ στο $(a, b)$ .

Βελτιστοποίηση

Κύριο άρθρο: Βελτιστοποίηση

Για μια συνεχώς διαφορίσιμη συνάρτηση πολλών πραγματικών μεταβλητών, ένα σημείο $P$ (δηλαδή, ένα σύνολο τιμών για τις μεταβλητές εισόδου, το οποίο θεωρείται ως ένα σημείο στο $R n$ ) είναι κρίσιμο εάν όλες οι μερικές παράγωγοι της συνάρτησης είναι μηδέν στο $P$ , ή, ισοδύναμα, εάν η κλίση της είναι μηδέν. Οι κρίσιμες τιμές είναι οι τιμές της συνάρτησης στα κρίσιμα σημεία.

Εάν η συνάρτηση είναι ομαλή ή, τουλάχιστον δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμη, ένα κρίσιμο σημείο μπορεί να είναι είτε ένα τοπικό μέγιστο, είτε ένα τοπικό ελάχιστο είτε ένα σημείο σέλας. Οι διάφορες περιπτώσεις μπορούν να διακριθούν εξετάζοντας τις ιδιοτιμές του πίνακα των δεύτερων παραγώγων του Χέσιαν.

Σύµφωνα µε το θεώρηµα του Φερµά, όλα τα τοπικά µέγιστα και ελάχιστα µιας διαφορίσιµης συνάρτησης εµφανίζονται σε κρίσιµα σηµεία. Επομένως, για να βρεθούν τα τοπικά μέγιστα και ελάχιστα, αρκεί, θεωρητικά, να υπολογιστούν τα μηδενικά της κλίσης και οι ιδιοτιμές του πίνακα Χέσιαν σε αυτά τα μηδενικά.

Γενικεύσεις

Διαφορετικές 3-πολλαπλότητες

Ο διανυσματικός λογισμός ορίζεται αρχικά για τον Ευκλείδειο 3-χώρο, $\mathbb {R} ^{3},$ ο οποίος έχει πρόσθετη δομή πέρα από το να είναι απλώς ένας 3-διάστατος πραγματικός διανυσματικός χώρος, και συγκεκριμένα: μια νόρμα (που δίνει μια έννοια του μήκους) που ορίζεται μέσω ενός εσωτερικού γινομένου (το τετραγωνικό γινόμενο), το οποίο με τη σειρά του δίνει μια έννοια της γωνίας, και έναν προσανατολισμό, ο οποίος δίνει μια έννοια του αριστερόχειρα και του δεξιόχειρα. Αυτές οι δομές δίνουν μια μορφή όγκου, καθώς και το διανυσματικό γινόμενο, το οποίο χρησιμοποιείται διάχυτα στο διανυσματικό λογισμό.

Η κλίση και η απόκλιση απαιτούν μόνο το εσωτερικό γινόμενο, ενώ η κύρτωση και το διανυσματικό γινόμενο απαιτούν επίσης να λαμβάνεται υπόψη ο χειρισμός του συστήματος συντεταγμένων (βλέπε διανυσματικό γινόμενο § Χειρισμός για περισσότερες λεπτομέρειες).

Ο διανυσματικός λογισμός μπορεί να οριστεί σε άλλους τρισδιάστατους πραγματικούς διανυσματικούς χώρους, αν αυτοί έχουν ένα εσωτερικό γινόμενο (ή γενικότερα μια συμμετρική μη εκφυλισμένη μορφή) και έναν προσανατολισμό- αυτό είναι λιγότερο δεδομένο από έναν ισομορφισμό με τον Ευκλείδειο χώρο, καθώς δεν απαιτεί ένα σύνολο συντεταγμένων (ένα σύστημα αναφοράς), γεγονός που αντανακλά το γεγονός ότι ο διανυσματικός λογισμός είναι αναλλοίωτος κάτω από περιστροφές (η ειδική ορθογωνική ομάδα $SO(3)$ ^[5]).

Γενικότερα, ο διανυσματικός λογισμός μπορεί να οριστεί σε οποιαδήποτε τρισδιάστατη προσανατολισμένη πολλαπλότητα του Ριμάν ή γενικότερα ψευδο-Ριμάνια πολλαπλότητα. Αυτή η δομή σημαίνει απλώς ότι ο εφαπτόμενος χώρος σε κάθε σημείο έχει ένα εσωτερικό γινόμενο (γενικότερα, μια συμμετρική μη εκφυλισμένη μορφή) και έναν προσανατολισμό, ή γενικότερα ότι υπάρχει ένας συμμετρικός μη εκφυλισμένος μετρικός τανυστής και ένας προσανατολισμός, και λειτουργεί επειδή ο διανυσματικός λογισμός ορίζεται σε όρους εφαπτόμενων διανυσμάτων σε κάθε σημείο.

Άλλες διαστάσεις

Τα περισσότερα από τα αναλυτικά αποτελέσματα γίνονται εύκολα κατανοητά, σε μια πιο γενική μορφή, χρησιμοποιώντας τα μηχανήματα της διαφορικής γεωμετρίας, των οποίων ο διανυσματικός λογισμός αποτελεί υποσύνολο. Τα grad και div γενικεύονται άμεσα σε άλλες διαστάσεις, όπως και το θεώρημα της κλίσης, το θεώρημα της απόκλισης και η Λαπλασιανή (που δίνει την αρμονική ανάλυση), ενώ το curl και το διανυσματικό γινόμενο δεν γενικεύονται τόσο άμεσα.

Από μια γενική άποψη, τα διάφορα πεδία στον (τρισδιάστατο) διανυσματικό λογισμό θεωρούνται ομοιόμορφα ως $k$ -διανυσματικά πεδία: τα βαθμωτά πεδία είναι 0-διανυσματικά πεδία, τα διανυσματικά πεδία είναι 1-διανυσματικά πεδία, τα ψευδοδιανυσματικά πεδία είναι 2-διανυσματικά πεδία και τα ψευδοσκαλικά πεδία είναι 3-διανυσματικά πεδία. Σε μεγαλύτερες διαστάσεις υπάρχουν επιπλέον τύποι πεδίων (βαθμωτά, διανυσματικά, ψευδοδιανυσματικά ή ψευδοδιανυσματικά που αντιστοιχούν στις διαστάσεις $0$ , $1$ , $n - 1$ ή $n$ , οι οποίες είναι εξαντλητικές στη διάσταση 3), οπότε δεν μπορεί κανείς να εργαστεί μόνο με (ψευδο)βαθμωτά και (ψευδο)διανυσματικά.

Σε οποιαδήποτε διάσταση, υποθέτοντας μια μη εκφυλισμένη μορφή, η grad μιας βαθμωτής συνάρτησης είναι διανυσματικό πεδίο και η div ενός διανυσματικού πεδίου είναι βαθμωτή συνάρτηση, αλλά μόνο στη διάσταση 3 ή 7^[6] (και, τετριμμένα, στη διάσταση 0 ή 1) η κύρτωση ενός διανυσματικού πεδίου είναι διανυσματικό πεδίο, και μόνο στις 3 ή 7 διαστάσεις μπορεί να οριστεί ένα διανυσματικό γινόμενο (οι γενικεύσεις σε άλλες διαστάσεις είτε απαιτούν $n-1$ διανύσματα για να δώσουν 1 διάνυσμα, είτε είναι εναλλακτικές άλγεβρες Λι, οι οποίες είναι γενικότερα αντισυμμετρικά διγραμμικά γινόμενα). Η γενίκευση των grad και div, καθώς και ο τρόπος με τον οποίο μπορεί να γενικευτεί το curl αναλύεται στο Curl § Γενικεύσεις- εν συντομία, το curl ενός διανυσματικού πεδίου είναι ένα διμερές πεδίο, το οποίο μπορεί να ερμηνευτεί ως η ειδική ορθογώνια άλγεβρα Λι των απειροστικών περιστροφών, ωστόσο, αυτό δεν μπορεί να ταυτιστεί με ένα διανυσματικό πεδίο επειδή οι διαστάσεις διαφέρουν - υπάρχουν 3 διαστάσεις περιστροφών σε 3 διαστάσεις, αλλά 6 διαστάσεις περιστροφών σε 4 διαστάσεις (και γενικότερα $\textstyle {{\binom {n}{2}}={\frac {1}{2}}n(n-1)}$ διαστάσεις περιστροφών σε $n$ διαστάσεις).

Υπάρχουν δύο σημαντικές εναλλακτικές γενικεύσεις του διανυσματικού λογισμού. Η πρώτη, η γεωμετρική άλγεβρα, χρησιμοποιεί $k$ - πεδία αντί για διανυσματικά πεδία (σε 3 ή λιγότερες διαστάσεις, κάθε $k$ -διανυσματικό πεδίο μπορεί να ταυτιστεί με μια βαθμωτή συνάρτηση ή ένα διανυσματικό πεδίο, αλλά αυτό δεν ισχύει σε μεγαλύτερες διαστάσεις). Αυτό αντικαθιστά το διανυσματικό γινόμενο, το οποίο είναι συγκεκριμένο για 3 διαστάσεις, λαμβάνοντας δύο διανυσματικά πεδία και δίνοντας ως έξοδο ένα διανυσματικό πεδίο, με το εξωτερικό γινόμενο, το οποίο υπάρχει σε όλες τις διαστάσεις και λαμβάνει δύο διανυσματικά πεδία, δίνοντας ως έξοδο ένα δι-διανυσματικό (2-διανυσματικό) πεδίο. Αυτό το γινόμενο δίνει άλγεβρες Κλίφορντ ως αλγεβρική δομή σε διανυσματικά πεδία (με προσανατολισμό και μη εκφυλισμένη μορφή). Η γεωμετρική άλγεβρα χρησιμοποιείται κυρίως σε γενικεύσεις της φυσικής και άλλων εφαρμοσμένων πεδίων σε υψηλότερες διαστάσεις.

Η δεύτερη γενίκευση χρησιμοποιεί διαφορικές μορφές ( $k$ -διανυσματικά πεδία) αντί για διανυσματικά πεδία ή $k$ -διανυσματικά πεδία, και χρησιμοποιείται ευρέως στα μαθηματικά, ιδίως στη διαφορική γεωμετρία, τη γεωμετρική τοπολογία και την αρμονική ανάλυση, και ειδικότερα στη θεωρία Χοτζ σε προσανατολισμένες ψευδο-Ριμανιανές πολλαπλότητες. Από αυτή την άποψη, οι grad, curl και div αντιστοιχούν στην εξωτερική παράγωγο των 0-μορφών, 1-μορφών και 2-μορφών, αντίστοιχα, και τα βασικά θεωρήματα του διανυσματικού λογισμού είναι όλα ειδικές περιπτώσεις της γενικής μορφής του θεωρήματος του Στόκες.

Από την άποψη και των δύο αυτών γενικεύσεων, ο διανυσματικός λογισμός προσδιορίζει έμμεσα μαθηματικά διακριτά αντικείμενα, γεγονός που καθιστά την παρουσίαση απλούστερη αλλά την υποκείμενη μαθηματική δομή και τις γενικεύσεις λιγότερο σαφείς. Από την άποψη της γεωμετρικής άλγεβρας, ο διανυσματικός λογισμός ταυτίζει έμμεσα $k$ -διανυσματικά πεδία με διανυσματικά πεδία ή βαθμωτές συναρτήσεις: 0-διανύσματα και 3-διανύσματα με βαθμωτά, 1-διανύσματα και 2-διανύσματα με διανύσματα. Από την άποψη των διαφορικών μορφών, ο διανυσματικός λογισμός ταυτίζει σιωπηρά τις $k$ -μορφές με βαθμωτά πεδία ή διανυσματικά πεδία: 0-μορφές και 3-μορφές με πεδία βαθμωτά, 1-μορφές και 2-μορφές με διανυσματικά πεδία. Έτσι, για παράδειγμα, η κύρτωση παίρνει φυσικά ως είσοδο ένα διανυσματικό πεδίο ή 1-μορφή, αλλά φυσικά έχει ως έξοδο ένα 2-διανυσματικό πεδίο ή 2-μορφή (άρα ψευδοδιανυσματικό πεδίο), το οποίο στη συνέχεια ερμηνεύεται ως διανυσματικό πεδίο, αντί να παίρνει απευθείας ένα διανυσματικό πεδίο σε ένα διανυσματικό πεδίο- αυτό αντικατοπτρίζεται στην κύρτωση ενός διανυσματικού πεδίου σε υψηλότερες διαστάσεις που δεν έχει ως έξοδο ένα διανυσματικό πεδίο.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών

Δείτε επίσης

Βιβλιογραφία

NARAYAN, SHANTI (2003). A TEXTBOOK OF VECTOR CALCULUS. S. Chand Publishing. ISBN 978-81-219-0161-1.
Bhattacharyya, Durgaprasanna (8 Σεπτεμβρίου 2018). Vector Calculus. Lulu.com. ISBN 978-0-359-07641-3.
Lovric, Miroslav (3 Ιανουαρίου 2007). Vector Calculus. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-72569-5.
Krantz, Steven G.· Parks, Harold (28 Μαΐου 2024). Vector Calculus. CRC Press. ISBN 978-1-040-00684-9.
Cox, William· Cox, Bill (15 Μαΐου 1998). Vector Calculus. Butterworth-Heinemann. ISBN 978-0-340-67741-4.
Matthews, Paul C. (14 Ιανουαρίου 2000). Vector Calculus. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-76180-8.
Stroud, K. A.· Booth, Dexter J. (2005). Vector Analysis. Industrial Press Inc. ISBN 978-0-8311-3208-8.
Fehribach, Joseph D. (10 Φεβρουαρίου 2020). Multivariable and Vector Calculus. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-066057-9.
Nermend, Kesra (29 Απριλίου 2009). Vector Calculus in Regional Development Analysis: Comparative Regional Analysis Using the Example of Poland. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7908-2179-6.

Παραπομπές

↑ Kreyszig, Erwin· Kreyszig, Herbert· Norminton, E. J. (2011). Advanced engineering mathematics (10th έκδοση). Hoboken, NJ: John Wiley. ISBN 978-0-470-45836-5.
↑ «∆ιανυσματικά πεδία - eClass ΕΚΠΑ» (PDF).
↑ Galbis, Antonio· Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. σελ. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.
↑ «Differential Operators». Math24 (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Σεπτεμβρίου 2020.
↑ «Special Orthogonal Group SO(3), Euler Angles, Angle-axis, Rodriguez Vector and Unit-».
↑ Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80
doi:10.1007/BF02837124

Sandro Caparrini (2002) "The discovery of the vector representation of moments and angular velocity", Archive for History of Exact Sciences 56:151–81.
Crowe, Michael J. (1967). A History of Vector Analysis : The Evolution of the Idea of a Vectorial System (reprint έκδοση). Dover Publications. ISBN 978-0-486-67910-5.
Marsden, J. E. (1976). Vector Calculus. W. H. Freeman & Company. ISBN 978-0-7167-0462-1.
Schey, H. M. (2005). Div Grad Curl and all that: An informal text on vector calculus. W. W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-92516-6.
Barry Spain (1965) Vector Analysis, 2nd edition, link from Internet Archive.
Chen-To Tai (1995). A historical study of vector analysis. Technical Report RL 915, Radiation Laboratory, University of Michigan.

Padulo, Louis· Arbib, Michael A. (1974). System theory: a unified state-space approach to continuous and discrete systems. Saunders. ISBN 9780721670355. OCLC 947600.
Strogatz, Steven H. (1994). Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. Addison Wesley. ISBN 978-0-7382-0453-6. OCLC 49839504.

Πηγές

Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0
Conway, John Horton; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, ISBN 978-0-387-97993-9
Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2005), Prime Numbers: A Computational Perspective (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-25282-7
Singer, I. M.· Thorpe, J. A. (28 Μαΐου 2015). Lecture Notes on Elementary Topology and Geometry. Springer. ISBN 978-1-4615-7347-0.
Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4.
Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ
Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0

[1] Kreyszig, Erwin· Kreyszig, Herbert· Norminton, E. J. (2011). Advanced engineering mathematics (10th έκδοση). Hoboken, NJ: John Wiley. ISBN 978-0-470-45836-5.

[2] «∆ιανυσματικά πεδία - eClass ΕΚΠΑ» (PDF).

[Galbis-2012-p12-3] Galbis, Antonio· Maestre, Manuel (2012). Vector Analysis Versus Vector Calculus. Springer. σελ. 12. ISBN 978-1-4614-2199-3.

[4] «Differential Operators». Math24 (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 17 Σεπτεμβρίου 2020.

[5] «Special Orthogonal Group SO(3), Euler Angles, Angle-axis, Rodriguez Vector and Unit-».

[6] Lizhong Peng & Lei Yang (1999) "The curl in seven dimensional space and its applications", Approximation Theory and Its Applications 15(3): 66 to 80
doi:10.1007/BF02837124

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]