Διάσταση (διανυσματικός χώρος)

Διάγραμμα των διαστάσεων 1, 2, 3, και 4

Στα μαθηματικά, η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου V είναι η πολλαπλότητα (δηλ. ο αριθμός των διανυσμάτων) μιας βάσης του V πάνω στο πεδίο βάσης του. Μερικές φορές ονομάζεται διάσταση Χάμελ (από τον Γκέοργκ Χάμελ) ή αλγεβρική διάσταση για να διακρίνεται από άλλους τύπους διαστάσεων.

Για κάθε διανυσματικό χώρο υπάρχει μια βάση, και όλες οι βάσεις ενός διανυσματικού χώρου έχουν ίση πληθικότητα- ως αποτέλεσμα, η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου είναι μοναδικά καθορισμένη. Λέμε ότι ο $V$ είναι πεπερασμένης διάστασης αν η διάσταση του $V$ είναι πεπερασμένη και άπειρης διάστασης εάν η διάστασή του είναι άπειρη.

Η διάσταση του διανυσματικού χώρου $V$ πάνω από το πεδίο $F$ μπορεί να γραφεί ως $\dim _{F}(V)$ ή ως $[V:F],$ που διαβάζεται ως «διάσταση του $V$ πάνω από το $F$». Όταν η $F$ μπορεί να συναχθεί από τα συμφραζόμενα, η $\dim(V)$ όπως γράφεται συνήθως.

Παραδείγματα

Ο διανυσματικός χώρος $\mathbb {R} ^{3}$ έχει

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}\right\}$

ως κανονική βάση, και επομένως $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{3})=3.$ Γενικότερα, $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {R} ^{n})=n,$ και ακόμη πιο γενικά, $\dim _{F}(F^{n})=n$ για οποιοδήποτε πεδίο $F.$

Οι μιγαδικοί αριθμοί $\mathbb {C}$ είναι και πραγματικός και μιγαδικός διανυσματικός χώρος- έχουμε $\dim _{\mathbb {R} }(\mathbb {C} )=2$ και $\dim _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )=1.$ Έτσι η διάσταση εξαρτάται από το πεδίο βάσης.

Ο μόνος διανυσματικός χώρος με διάσταση $0$ είναι ο $\{0\},$ ο διανυσματικός χώρος που αποτελείται μόνο από το μηδενικό του στοιχείο.

Ιδιότητες

Αν $W$ είναι ένας γραμμικός υποχώρος του $V$ τότε $\dim(W)\leq \dim(V).$

Για να δείξουμε ότι δύο διανυσματικοί χώροι πεπερασμένων διαστάσεων είναι ίσοι, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το ακόλουθο κριτήριο: αν $V$ είναι ένας διανυσματικός χώρος πεπερασμένων διαστάσεων και $W$ είναι ένας γραμμικός υποχώρος του $V$ με $\dim(W)=\dim(V),$ τότε $W=V.$

Ο χώρος $\mathbb {R} ^{n}$ έχει την κανονική βάση $\left\{e_{1},\ldots ,e_{n}\right\},$ όπου $e_{i}$ είναι η $i$-th στήλη του αντίστοιχου πίνακα ταυτότητας. Επομένως, η $\mathbb {R} ^{n}$ έχει διάσταση $n.$

Οποιοιδήποτε δύο διανυσματικοί χώροι πεπερασμένης διάστασης πάνω από τον $F$ με την ίδια διάσταση είναι ισόμορφοι. Οποιαδήποτε αμφιρριπτική απεικόνιση μεταξύ των βάσεών τους μπορεί να επεκταθεί μοναδικά σε αμφιρριπτική γραμμική απεικόνιση μεταξύ των διανυσματικών χώρων. Αν $B$ είναι κάποιο σύνολο, ένας διανυσματικός χώρος με διάσταση $|B|$ πάνω στο $F$ μπορεί να κατασκευαστεί ως εξής: πάρτε το σύνολο $F(B)$ όλων των συναρτήσεων $f:B\to F$ τέτοιων ώστε $f(b)=0$ για όλα αλλά πεπερασμένα πολλά $b$ στο $B.$ Αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να προστεθούν και να πολλαπλασιαστούν με στοιχεία του $F$ για να προκύψει ο επιθυμητός διανυσματικός χώρος $F$.

Ένα σημαντικό αποτέλεσμα σχετικά με τις διαστάσεις δίνεται από το θεώρημα της μηδενικής κατάταξης για γραμμικές απεικονίσεις.

Αν $F/K$ είναι μια επέκταση σώματος, τότε το $F$ είναι ειδικότερα ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το $K.$. Επιπλέον, κάθε $F$-διανυσματικός χώρος $V$ είναι επίσης ένας $K$-διανυσματικός χώρος. Οι διαστάσεις σχετίζονται με τον τύπο

$\dim _{K}(V)=\dim _{K}(F)\dim _{F}(V).$

Ειδικότερα, κάθε μιγαδικός διανυσματικός χώρος διάστασης $n$ είναι πραγματικός διανυσματικός χώρος διάστασης $2n.$

Ορισμένοι τύποι συσχετίζουν τη διάσταση ενός διανυσματικού χώρου με την πολλαπλότητα του πεδίου βάσης και την πολλαπλότητα του ίδιου του χώρου.

Αν $V$ είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από ένα πεδίο $F$ και αν η διάσταση του $V$ συμβολίζεται με \dim $V,$ τότε:

Αν dim $V$ is finite then $|V|=|F|^{\dim V}.$

Αν dim $V$ is infinite then $|V|=\max(|F|,\dim V).$

Γενικεύσεις

Ένας διανυσματικός χώρος μπορεί να θεωρηθεί ως μια ειδική περίπτωση ενός μητροειδούς, και στο τελευταίο υπάρχει μια σαφώς καθορισμένη έννοια της διάστασης. Το μήκος μιας ενότητας και η τάξη μιας αβελιανής ομάδας έχουν και οι δύο αρκετές ιδιότητες παρόμοιες με τη διάσταση των διανυσματικών χώρων.

Η διάσταση Κρουλ ενός αντιμεταθετικού δακτυλίου, που πήρε το όνομά της από τον Βόλφγκανγκ Κρουλ (1899-1971), ορίζεται ως ο μέγιστος αριθμός αυστηρών εγκλεισμάτων σε μια αυξανόμενη αλυσίδα πρώτων ιδανικών του δακτυλίου.

Ίχνος

Βλ. επίσης: (Ίχνος πίνακα)

Η διάσταση ενός διανυσματικού χώρου μπορεί εναλλακτικά να χαρακτηριστεί ως το ίχνος της ταυτοτικής συνάρτησης. Επι παραδείγματι,

$\operatorname {tr} \ \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{2}}=\operatorname {tr} \left({\begin{smallmatrix}1&0\\0&1\end{smallmatrix}}\right)=1+1=2.$ Αυτός ο ορισμός φαίνεται να είναι κυκλικός, αλλά επιτρέπει χρήσιμες γενικεύσεις.

Πρώτον, επιτρέπει τον ορισμό μιας έννοιας της διάστασης όταν κάποιος έχει ένα ίχνος αλλά δεν έχει φυσική έννοια της βάσης. Επί παραδείγματι, μπορεί κανείς να έχει μια άλγεβρα $A$ με απεικονίσεις $\eta :K\to A$ και μια απεικόνιση $\epsilon :A\to K$ (που αντιστοιχεί στο ίχνος, που ονομάζεται συν-μονάδα (counit)). Η σύνθεση $\epsilon \circ \eta :K\to K$ είναι μια βαθμωτή (που είναι ένας γραμμικός τελεστής σε έναν 1-διάστατο χώρο) αντιστοιχεί στο «ίχνος της ταυτότητας», και δίνει μια έννοια της διάστασης για μια αφηρημένη άλγεβρα. Στην πράξη, στις διάλγεβρες, ο χάρτης αυτός απαιτείται να είναι η ταυτότητα, η οποία μπορεί να προκύψει από την κανονικοποίηση της συν-μονάδα (counit) διαιρώντας με τη διάσταση ($\epsilon :=\textstyle {\frac {1}{n}}\operatorname {tr}$), οπότε σε αυτές τις περιπτώσεις η σταθερά κανονικοποίησης αντιστοιχεί στη διάσταση.

Εναλλακτικά, μπορεί να είναι δυνατό να ληφθεί το ίχνος των τελεστών σε έναν χώρο άπειρης διάστασης- σε αυτή την περίπτωση ορίζεται ένα (πεπερασμένο) ίχνος, παρόλο που δεν υπάρχει (πεπερασμένη) διάσταση, και δίνει μια έννοια της «διάστασης του τελεστή». Αυτοί εμπίπτουν στην κατηγορία των «τελεστών κλάσης ίχνους» σε ένα χώρο Χίλμπερτ, ή γενικότερα των πυρηνικών τελεστών σε ένα χώρο Μπάναχ.

Μια λεπτότερη γενίκευση είναι να θεωρήσουμε το ίχνος μιας οικογένειας τελεστών ως ένα είδος " συνεστραμμένης" διάστασης. Αυτό εμφανίζεται σημαντικά στη θεωρία απεικόνισης, όπου ο χαρακτήρας μιας απεικόνισης είναι το ίχνος της απεικόνισης, άρα μια συνάρτηση με κλιμακωτή τιμή σε μια ομάδα $\chi :G\to K,$ της οποίας η τιμή στην ταυτότητα $1\in G$ είναι η διάσταση της απεικόνισης, καθώς μια απεικόνιση στέλνει την ταυτότητα στην ομάδα στον πίνακα ταυτότητας:$\chi (1_{G})=\operatorname {tr} \ I_{V}=\dim V.$. Οι άλλες τιμές $\chi (g)$ του χαρακτήρα μπορούν να θεωρηθούν ως "στριμμένες" διαστάσεις, και να βρεθούν ανάλογα ή γενικεύσεις των δηλώσεων για τις διαστάσεις σε δηλώσεις για χαρακτήρες ή παραστάσεις. Ένα εξελιγμένο παράδειγμα αυτού συμβαίνει στη θεωρία του τερατώδους σεληνόφωτος(monstrous moonshine): η $j$-αναλλοίωτη είναι η διαβαθμισμένη διάσταση μιας απείρως-διάστατης διαβαθμισμένης αναπαράστασης της τερατώδους ομάδας, και η αντικατάσταση της διάστασης με τον χαρακτήρα δίνει τη σειρά ΜακΚέι-Τόμσον για κάθε στοιχείο της τερατώδους ομάδας.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Halmos, Paul R. (24 Μαΐου 2017). Finite-Dimensional Vector Spaces: Second Edition. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-82226-6. 
• Corwin, Lawrence· Szczarba, Robert (8 Δεκεμβρίου 1994). Calculus in Vector Spaces, Second Edition, Revised Expanded. CRC Press. ISBN 978-0-8247-9279-4. 
• Axler, Sheldon (18 Ιουλίου 1997). Linear Algebra Done Right. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-98259-5. 
• Jain, M. C. (2001). Vector Spaces and Matrices in Physics. CRC Press. ISBN 978-0-8493-0978-6. 
• Cheng, Daizhan (18 Μαΐου 2019). From Dimension-Free Matrix Theory to Cross-Dimensional Dynamic Systems. Academic Press. ISBN 978-0-12-817802-7. 
• Carrell, James B. (2 Σεπτεμβρίου 2017). Groups, Matrices, and Vector Spaces: A Group Theoretic Approach to Linear Algebra. Springer. ISBN 978-0-387-79428-0. 
• Aliprantis, Charalambos D.· Border, Kim C. (2 Μαΐου 2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-32696-0. 
• Williams, Gareth (24 Αυγούστου 2011). Linear Algebra with Applications. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-8248-1. 
• Crampin, M.· Pirani, F. A. E. (1986). Applicable Differential Geometry. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-23190-9. 
• Anton, Howard· Rorres, Chris (12 Απριλίου 2010). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-43205-1. 

Παραπομπές

• Hubbard, J. H.· Hubbard, B. B. (1999). Vector calculus, linear algebra, and differential forms. A unified approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7. 
• Warner, Frank (1983) [1971]. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3. 
• Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second έκδοση). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X. 
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110. 
• Fewell, M. P. (2006). «Area of common overlap of three circles». Defence Science and Technology Organisation. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2022. 
• Librion, Federico; Levorato, Marco; Zorzi, Michele (2012). «An algorithmic solution for computing circle intersection areas and its application to wireless communications». Wirel. Commun. Mobile Comput. 14 (18): 1672–1690. doi:10.1002/wcm.2305. 
• Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), «Pixel-shader-based curved triangles», SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, ACM Press, doi:10.1145/1179622.1179680, http://www.mpi-inf.mpg.de/~mschwarz/papers/pscurvedtris-sig06.pdf 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Martin, Ralph R. (6 Αυγούστου 2009). Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03595-1. 
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0