Δεύτερη θεμελιώδης μορφή

Ορισμός της δεύτερης θεμελιώδους μορφής

Στη διαφορική γεωμετρία, η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι μια τετραγωνική μορφή στο εφαπτόμενο επίπεδο μιας λείας επιφάνειας στον τρισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, που συνήθως συμβολίζεται με $\mathrm {I\!I}$ (δηλαδή «δύο»). Μαζί με την πρώτη θεμελιώδη μορφή, χρησιμεύει για τον ορισμό των εξωγενών αναλλοίωτων της επιφάνειας, των κύριων καμπυλοτήτων της. Γενικότερα, μια τέτοια τετραγωνική μορφή ορίζεται για μια λεία βυθισμένη υποπολλαπλότητα σε μια πολλαπλότητα Ρίμαν.

Επιφάνεια στο R³

Κίνητρα

Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας παραμετρικής επιφάνειας S στο R³εισήχθη και μελετήθηκε από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους. Ας υποθέσουμε αρχικά ότι η επιφάνεια είναι η γραφική παράσταση μιας δύο φορές συνεχώς διαφορίσιμης συνάρτησης, z = f(x,y) και ότι το επίπεδο z = 0 εφάπτεται στην επιφάνεια από την αρχή. Τότε η f και οι μερικές παράγωγοι της ως προς x και y εξαφανίζονται στο (0,0). Επομένως, το ανάπτυγμα Τέιλορ της f στο (0,0) αρχίζει με τετραγωνικούς όρους:

$z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{higher order terms}}\,,$

και η δεύτερη θεμελιώδης μορφή στην αρχή στις συντεταγμένες (x,y) είναι η τετραγωνική μορφή

$L\,dx^{2}+2M\,dx\,dy+N\,dy^{2}\,.$

Για ένα λείο σημείο P στο S, μπορεί κανείς να επιλέξει το σύστημα συντεταγμένων έτσι ώστε το επίπεδο z = 0 εφάπτεται στο S στο P, και να ορίσει τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή με τον ίδιο τρόπο.

Κλασική σημειογραφία

Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας γενικής παραμετρικής επιφάνειας ορίζεται ως εξής. Έστω r = r(u,v) μια κανονική παραμετροποίηση μιας επιφάνειας στον R³ όπου r είναι μια ομαλή διανυσματική συνάρτηση δύο μεταβλητών. Είναι σύνηθες να συμβολίζουμε τις μερικές παραγώγους της r ως προς u και v με r_u και r_v. Η κανονικότητα της παραμετροποίησης σημαίνει ότι r_u και r_v είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε (u,v) στο πεδίο της r και συνεπώς καλύπτουν το εφαπτόμενο επίπεδο στην S σε κάθε σημείο. Ισοδύναμα, το διασταυρούμενο γινόμενο r_u × r_v είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια. Η παραμετροποίηση ορίζει έτσι ένα πεδίο μοναδιαίων κανονικών διανυσμάτων n:

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.$

Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή γράφεται συνήθως ως

$\mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,,$

ο πίνακάς του στη βάση {r_u, r_v} του εφαπτόμενου επιπέδου είναι

${\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}\,.$

Οι συντελεστές L, M, N σε ένα δεδομένο σημείο του παραμετρικού επιπέδου uv δίνονται από τις προβολές των δεύτερων μερικών παραγώγων του r στο σημείο αυτό πάνω στην κάθετη ευθεία στο S και μπορούν να υπολογιστούν με τη βοήθεια του εσωτερικού γινομένου ως εξής:

$L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} \,,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} \,,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} \,.$

Για ένα υπογεγραμμένο πεδίο απόστασης του πίνακα Εσιάν H, οι συντελεστές της δεύτερης θεμελιώδους μορφής μπορούν να υπολογιστούν ως εξής:

$L=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{u}\,,\quad M=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,,\quad N=-\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,.$

Συμβολισμός της Φυσικής

Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μιας γενικής παραμετρικής επιφάνειας S ορίζεται ως εξής.

Έστω r = r(u¹,u²) μια κανονική παραμετροποίηση μιας επιφάνειας στον R³ όπου r είναι μια ομαλή διανυσματική συνάρτηση δύο μεταβλητών. Είναι σύνηθες να συμβολίζουμε τις μερικές παραγώγους της r ως προς u^α με r_α, α = 1, 2. Η κανονικότητα της παραμετροποίησης σημαίνει ότι οι r₁ και r₂ είναι γραμμικά ανεξάρτητες για κάθε (u¹,u²) στο πεδίο τιμών της r και συνεπώς καλύπτουν το εφαπτόμενο επίπεδο στην S σε κάθε σημείο. Ισοδύναμα, το σταυρωτό γινόμενο r₁ × r₂ είναι ένα μη μηδενικό διάνυσμα κάθετο στην επιφάνεια. Η παραμετροποίηση ορίζει έτσι ένα πεδίο μοναδιαίων κανονικών διανυσμάτων n:

$\mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}\,.$

Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή γράφεται συνήθως ως

$\mathrm {I\!I} =b_{\alpha \beta }\,du^{\alpha }\,du^{\beta }\,.$

Η παραπάνω εξίσωση χρησιμοποιεί τη σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.

Οι συντελεστές b_αβ σε ένα δεδομένο σημείο του παραμετρικού επιπέδου u¹u² δίνονται από τις προβολές των δεύτερων μερικών παραγώγων του r σε αυτό το σημείο πάνω στην κανονική γραμμή του S και μπορούν να υπολογιστούν ως προς το κανονικό διάνυσμα n ως εξής:

$b_{\alpha \beta }=r_{,\alpha \beta }^{\ \ \,\gamma }n_{\gamma }\,.$

Υπερεπιφάνεια σε μια πολλαπλότητα Ρίμαν

Στον Ευκλείδειο χώρο, η δεύτερη θεμελιώδης μορφή δίνεται από τη σχέση

$\mathrm {I\!I} (v,w)=-\langle d\nu (v),w\rangle \nu$

όπου $\nu$ είναι απεικόνηση Γκάους, και $d\nu$ το διαφορικό του $\nu$ θεωρούμενο ως διανυσματική διαφορική μορφή, και οι αγκύλες υποδηλώνουν τον μετρικό τανυστή του Ευκλείδειου χώρου.

Γενικότερα, σε μια πολλαπλότητα του Ρίμαν, η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι ένας ισοδύναμος τρόπος περιγραφής του τελεστή σχήματος (που συμβολίζεται με S) μιας υπερεπιφάνειας,

$\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)=\langle S(v),w\rangle =-\langle \nabla _{v}n,w\rangle =\langle n,\nabla _{v}w\rangle \,,$

όπου ∇_vw συμβολίζει τη συναναλλοίωτη παράγωγο της περιβάλλουσας πολλαπλότητας και n ένα πεδίο κανονικών διανυσμάτων στην υπερεπιφάνεια. (Αν η αφινική σύνδεση είναι ελεύθερη στρέψης, τότε η δεύτερη θεμελιώδης μορφή είναι συμμετρική).

Το πρόσημο της δεύτερης θεμελιώδους μορφής εξαρτάται από την επιλογή της κατεύθυνσης του n (η οποία ονομάζεται συν-προσανατολισμός της υπερεπιφάνειας - για επιφάνειες στον Ευκλείδειο χώρο, αυτό δίνεται ισοδύναμα από την επιλογή του προσανατολισμού της επιφάνειας).

Γενίκευση σε αυθαίρετη συνδιάσταση

Η δεύτερη θεμελιώδης μορφή μπορεί να γενικευτεί σε αυθαίρετη συνδιάσταση. Στην περίπτωση αυτή είναι μια τετραγωνική μορφή στον εφαπτόμενο χώρο με τιμές στην κανονική δέσμη και μπορεί να οριστεί ως εξής

$\mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot }\,,$

όπου $(\nabla _{v}w)^{\bot }$ συμβολίζει την ορθογώνια προβολή της συνδιαλλακτικής παραγώγου $\nabla _{v}w$ στην κανονική δέσμη.

Στον Ευκλείδειο χώρο, ο τανυστής καμπυλότητας μιας υποπολλαπλότητας μπορεί να περιγραφεί από τον ακόλουθο τύπο:

$\langle R(u,v)w,z\rangle =\mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z)\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)-\mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w)\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z).$

Αυτό ονομάζεται εξίσωση του Γκάους, καθώς μπορεί να θεωρηθεί ως γενίκευση του Θαυμαστού θεωρήματος του Γκάους.

Για τις γενικές πολλαπλότητες του Ρίμαν πρέπει να προσθέσουμε την καμπυλότητα του περιβάλλοντος χώρου- αν η N είναι μια πολλαπλότητα ενσωματωμένη σε μια πολλαπλότητα του Ρίμαν (M,g) τότε ο τανυστής καμπυλότητας R_N της N με την επαγόμενη μετρική μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας τη δεύτερη θεμελιώδη μορφή και R_M τον τανυστή καμπυλότητας της M:

$\langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle \,.$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών Αρχειοθετήθηκε 2025-06-01 στο Wayback Machine.
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Βαθμωτό πεδίο
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Sochi, Taha (14 Σεπτεμβρίου 2022). Introduction to Differential Geometry of Space Curves and Surfaces. Taha Sochi. 
• Tu, Loring W. (1 Ιουνίου 2017). Differential Geometry: Connections, Curvature, and Characteristic Classes. Springer. ISBN 978-3-319-55084-8. 
• II, Frederick Pearson (28 Μαρτίου 1990). Map ProjectionsTheory and Applications. CRC Press. ISBN 978-0-8493-6888-2. 
• Murray, M. K. (19 Οκτωβρίου 2017). Differential Geometry and Statistics. Routledge. ISBN 978-1-351-45512-1. 
• Chow, Bennett· Chow, Yutze (7 Οκτωβρίου 2024). Lectures on Differential Geometry. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-7804-9. 
• Teitelboim, Claudio· Zanelli, Jorge (2000). Black Holes and the Structure of the Universe. World Scientific. ISBN 978-981-02-4269-5. 
• Radzevich, Stephen P. (29 Νοεμβρίου 2022). Theory of Gearing: Kinematics, Geometry, and Synthesis. CRC Press. ISBN 978-1-000-73563-5. 
• Postnikov, M. M. (17 Απριλίου 2013). Geometry VI: Riemannian Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04433-9. 
• Berndt, Jurgen· Console, Sergio (22 Φεβρουαρίου 2016). Submanifolds and Holonomy. CRC Press. ISBN 978-1-4822-4516-5. 
• Gu, Chaohao· Hu, H. (8 Δεκεμβρίου 2004). Darboux Transformations in Integrable Systems: Theory and Their Applications to Geometry. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-3087-1. 

Παραπομπές

• Manfredo Perdigão do Carmo: Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall, Inc., New Jersey, 1976, ISBN 0-13-212589-7
• Manfredo Perdigão do Carmo: Riemannian Geometry, Birkhäuser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8
• John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Springer, New York 1997, ISBN 0-387-98322-8.
• Albrecht, Gudrun (2002). «The Veronese surface revisited». Journal of Geometry. Vol. 73 (Num. 1-2): 22-38. ISSN 0047-2468. doi:10.1007/s00022-002-8583-7.
• Yang, Xunnian; Zheng, Jianmin (April 2012), «Shape aware normal interpolation for curved surface shading from polyhedral approximation», The Visual Computer 29 (3): 189–201, doi:10.1007/s00371-012-0715-y 
• Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), «Pixel-shader-based curved triangles», SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, ACM Press, doi:10.1145/1179622.1179680, http://www.mpi-inf.mpg.de/~mschwarz/papers/pscurvedtris-sig06.pdf, ανακτήθηκε στις 2025-04-08 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd έκδοση), New York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8 .
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.