Δελτάεδρο

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Πήδηση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Το μεγαλύτερο αυστηρώς κυρτό δελτάεδρο είναι το κανονικό εικοσάεδρο.
Ένα περικομμένο τετράεδρο με εξάγωνα διαιρεμένα σε τρίγωνα. Το σχήμα αυτό δεν είναι αυστηρώς κυρτό δελτάεδρο διότι οι συνεπίπεδες έδρες δεν επιτρέπονται εξ ορισμού.

Το δελτάεδρο είναι ένα πολύεδρο οι έδρες του οποίου είναι όλες ισόπλευρα τρίγωνα. Η λέξη δελτάεδρο συνδυάζει το επίθεμα -έδρα με το πρόθεμα δέλτα-, καθώς το κεφαλαίο γράμμα δέλτα αναπαριστά ως σχήμα ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Υπάρχουν άπειρα δελτάεδρα, αλλά από αυτά μόνο οκτώ είναι κυρτά, αυτά που έχουν 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 και 20 πλευρές.[1] Ο αριθμός των εδρών, των ακμών και των κορυφών παρατίθεται παρακάτω για κάθε ένα από τα οκτώ κυρτά δελτάεδρα.

Τα οκτώ κυρτά δελτάεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν μόνον οκτώ αυστηρώς κυρτά δελτάεδρα: τα τρία είναι κανονικά πολύεδρα και τα άλλα πέντε είναι στερεά του Τζόνσον.

Κανονικά δελτάεδρα
Εικόνα Όνομα Έδρες Ακμές Κορυφές Διαμορφώσεις κορυφών Συμμετρία
Tetrahedron.jpg Τετράεδρο 4 6 4 4 × 33 Td, [3,3]
Octahedron.svg Οκτάεδρο 8 12 6 6 × 34 Oh, [4,3]
Icosahedron.jpg Εικοσάεδρο 20 30 12 12 × 35 Ih, [5,3]
Δελτάεδρα του Τζόνσον
Εικόνα Όνομα Έδρες Ακμές Κορυφές Διαμορφώσεις κορυφών Συμμετρία
Triangular dipyramid.png Τριγωνική διπυραμίδα 6 9 5 2 × 33
3 × 34
D3h, [3,2]
Pentagonal dipyramid.png Πενταγωνική διπυραμίδα 10 15 7 5 × 34
2 × 35
D5h, [5,2]
Snub disphenoid.png Κολοβό δισφηνοειδές 12 18 8 4 × 34
4 × 35
D2d, [2,2]
Triaugmented triangular prism.png Τρις επαυξημένο τριγωνικό πρίσμα 14 21 9 3 × 34
6 × 35
D3h, [3,2]
Gyroelongated square dipyramid.png Γυροσκοπική επιμήκης τετραγωνική διπυραμίδα 16 24 10 2 × 34
8 × 35
D4d, [4,2]

Στο δελτάεδρο με 6 πλευρές, μερικές κορυφές έχουν 3 μοίρες και κάποιες 4 μοίρες. Στα δελτάεδρα με 10, 12, 14 και 16 πλευρές, μερικές κορυφές έχουν 4 μοίρες και κάποιες 5 μοίρες. Αυτά τα πέντε αντικανονικά δελτάεδρα ανήκουν στην κατηγορία των στερεών του Τζόνσον (κυρτά πολύεδρα με έδρες κανονικά πολύγωνα).

Τα δελτάεδρα διατηρούν το σχήμα τους, ακόμη και όταν οι ακμές περιστρέφονται ελεύθερα γύρω από τις κορυφές τους, και έτσι οι γωνίες μεταξύ των ακμών τους είναι ρευστές. Δεν έχουν όμως όλα τα πολύεδρα αυτή την ιδιότητα, για παράδειγμα, αν χαλαρώσετε μερικές από τις γωνίες ενός κύβου, ο κύβος μπορεί να παραμορφωθεί σε ένα λανθάνον τετραγωνικό πρίσμα.

Κυρτά δελτάεδρα με 18 πλευρές δεν υπάρχουν.[2] Ωστόσο, το συμβεβλημένης ακμής εικοσάεδρο δίνει ένα παράδειγμα οκταδεκάεδρου το οποίο μπορεί είτε να κατασκευαστεί κυρτό με 18 αντικανονικές τριγωνικές πλευρές, είτε να κατασκευαστεί με ισόπλευρα τρίγωνα που περιλαμβάνουν δύο συνεπίπεδες ομάδες των τριών τριγώνων.

Μη αυστηρώς κυρτά δελτάεδρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχουν άπειρες περιπτώσεις συνεπίπεδων τριγώνων που καθορίζουν τμήματα για τριγωνική ψηφοθέτηση επ' άπειρον. Οι συνεπίπεδες τριγωνικές έδρες μπορούν να συγχωνευθούν σε ρομβοειδείς, τραπεζοειδείς, εξαγωνικές, ή και άλλες έδρες ισόπλευρων πολυγώνων.[3] Εάν το σύνολο των συνεπίπεδων τριγώνων θεωρηθεί ως ενιαία έδρα (που ονομάζεται triamond[4]), μπορεί να προστεθεί και ένα μικρότερο σύνολο εδρών, πλευρών και κορυφών. Οι triamond έδρες που χρησιμοποιούνται πρέπει να είναι κυρτές και συμπεριλαμβάνουν: Polyiamond-1-1.svg, Polyiamond-2-1.svg, Polyiamond-3-1.svg, Polyiamond-4-2.svg, Polyiamond-4-3.svg, Polyiamond-5-1.svg, Polyiamond-6-1.svg και Polyiamond-6-11.svg, ...

Μερικά μικρότερα παραδείγματα περιλαμβάνουν:

Συνεπίπεδα δελτάεδρα
Εικόνα Όνομα Έδρες Ακμές Κορυφές Διαμορφώσεις κορυφών Συμμετρία
Augmented octahedron.png Επαυξημένο οκτάεδρο
Αύξηση
1 τετρ + 1 οκτ
10 Polyiamond-1-1.svg 15 7 1 × 33
3 × 34
3 × 35
0 × 36
C3v, [3]
4 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-2-1.svg
12
Gyroelongated triangular bipyramid.png Τριγωνικό τραπεζόεδρο
Αύξηση
2 τετρ + 1 οκτ
12 Polyiamond-1-1.svg 18 8 2 × 33
0 × 34
6 × 35
0 × 36
C3v, [3]
6 Polyiamond-2-1.svg 12
Tet2Oct solid.png Αύξηση
2 τετρ + 1 οκτ
12 Polyiamond-1-1.svg 18 8 2 × 33
1 × 34
4 × 35
1 × 36
C2v, [2]
2 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-2-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
11 7
Triangulated monorectified tetrahedron.png Τριγωνικό frustum
Αύξηση
3 τετρ + 1 οκτ
14 Polyiamond-1-1.svg 21 9 3 × 33
0 × 34
3 × 35
3 × 36
C3v, [3]
1 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-3-1.svg
1 Polyiamond-4-3.svg
9 6
TetOct2 solid2.png Επιμήκης οκτάεδρο
Αύξηση
2 τετρ + 2 οκτ
16 Polyiamond-1-1.svg 24 10 0 × 33
4 × 34
4 × 35
2 × 36
D2h, [2,2]
4 Polyiamond-1-1.svg
4 Polyiamond-3-1.svg
12 6
Triangulated tetrahedron.png Τετράεδρο
Αύξηση
4 τετρ + 1 οκτ
16 Polyiamond-1-1.svg 24 10 4 × 33
0 × 34
0 × 35
6 × 36
Td, [3,3]
4 Polyiamond-4-3.svg 6 4
Tet3Oct2 solid.png Αύξηση
3 τετρ + 2 οκτ
18 Polyiamond-1-1.svg 27 11 1 × 33
2 × 34
5 × 35
3 × 36
D2h, [2,2]
2 Polyiamond-1-1.svg
1 Polyiamond-2-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
2 Polyiamond-4-2.svg
14 9
Double diminished icosahedron.png Συμβεβλημένης ακμής εικοσάεδρο 18 Polyiamond-1-1.svg 27 11 0 × 33
2 × 34
8 × 35
1 × 36
C2v, [2]
12 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-3-1.svg
22 10
Triangulated truncated triangular bipyramid.png Τριγωνικό bifrustum
Αύξηση
6 tets + 2 octs
20 Polyiamond-1-1.svg 30 12 0 × 33
3 × 34
6 × 35
3 × 36
D3h, [3,2]
2 Polyiamond-1-1.svg
6 Polyiamond-3-1.svg
15 9
Augmented triangular cupola.png Τριγωνικός τρούλος
Αύξηση
4 tets + 3 octs
22 Polyiamond-1-1.svg 33 13 0 × 33
3 × 34
6 × 35
4 × 36
C3v, [3]
3 Polyiamond-1-1.svg
3 Polyiamond-3-1.svg
1 Polyiamond-4-3.svg
1 Polyiamond-6-11.svg
15 9
Triangulated bipyramid.png Τριγωνική διπυραμίδα
Αύξηση
8 τετρ + 2 οκτ
24 Polyiamond-1-1.svg 36 14 2 × 33
3 × 34
0 × 35
9 × 36
D3h, [3]
6 Polyiamond-4-3.svg 9 5
Augmented hexagonal antiprism flat.png Εξαγωνικό αντιπρίσμα 24 Polyiamond-1-1.svg 36 14 0 × 33
0 × 34
12 × 35
2 × 36
D6d, [12,2+]
12 Polyiamond-1-1.svg
2 Polyiamond-6-11.svg
24 12
Triangulated truncated tetrahedron.png Περικομμένο τετράεδρο
Αύξηση
6 τετρ + 4 οκτ
28 Polyiamond-1-1.svg 42 16 0 × 33
0 × 34
12 × 35
4 × 36
Td, [3,3]
4 Polyiamond-1-1.svg
4 Polyiamond-6-11.svg
18 12
Triangulated octahedgon.png Τετράκις κυβοκτάεδρο
Οκτάεδρο
Αύξηση
8 τετρ + 4 οκτ
32 Polyiamond-1-1.svg 24 18 0 × 33
12 × 34
0 × 35
6 × 36
Oh, [4,3]
8 Polyiamond-4-3.svg 12 6

Μη κυρτές μορφές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Υπάρχει άπειρος αριθμός μη κυρτών μορφών.

Μερικά παραδείγματα δελτάεδρων με τεμνόμενες έδρες:

Great icosahedron.png

Άλλα μη κυρτά δελτάεδρα μπορούν να δημιουργηθούν με την προσθήκη ισοπλεύρων πυραμίδων στις έδρες όλων των 5 κανονικών πολυέδρων:

5-cell net.png Pyramid augmented cube.png Stella octangula.png Pyramid augmented dodecahedron.png Tetrahedra augmented icosahedron.png
Τριάκις τετράεδρο Τετράκις εξάεδρο Τριάκις οκτάεδρο
(αστερώδης οκτάεδρο)
Πεντάκις δωδεκάεδρο Τριάκις εικοσάεδρο
12 τρίγωνα 24 τρίγωνα 60 τρίγωνα

Άλλες επαυξήσεις του τετραέδρου περιλαμβάνουν:

Παραδείγματα επαυξημένων τετράεδρων
Biaugmented tetrahedron.png Triaugmented tetrahedron.png Quadaugmented tetrahedron.png
8 τρίγωνα 10 τρίγωνα 12 τρίγωνα

Επίσης, με την προσθήκη ανεστραμμένων πυραμίδων στις έδρες:

Third stellation of icosahedron.png
Το ανασκαμμένο δωδεκάεδρο
Toroidal polyhedron.gif
Ένα σπειροειδές δελτάεδρο
60 τρίγωνα 48 τρίγωνα

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Freudenthal & van der Waerden (1947) — Απέδειξαν ότι υπάρχουν μόνο 8 κυρτά δελτάεδρα.
  2. Trigg (1978), σσ. 55–57.
  3. The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces
  4. Triamonds

Βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Freudenthal, H.; van der Waerden, B. L. (1947), «Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")», Simon Stevin 25: 115–128 
  • Cundy, H. Martyn (Δεκέμβριος 1952), Deltahedra, 36, Math. Gaz., σελ. 263-266, http://www.wpr3.co.uk/gazette/1950-59.html 
  • Cundy, H. Martyn; Rollett, A. (1989), Deltahedra: §3.11 – Mathematical Models (3η έκδοση), Stradbroke, England: Tarquin Pub., σελ. 142–144 
  • Gardner, Martin (1992). «Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations». Scientific American Magazine (New York: W. H. Freeman): 40, 53 & 58-60. 
  • Pugh, Anthony (1976). Polyhedra: A visual approach. California: University of California Press Berkeley, σελ. 35–36. ISBN 0-520-03056-7. 
  • Rausenberger, O. (1915), Konvexe pseudoreguläre Polyeder, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen, 46, Unterricht, σελ. 135-142 
  • Trigg, Charles W. (Ιανουάριος 1978). «An Infinite Class of Deltahedra». Mathematics Magazine 51 (1): 55–57. http://links.jstor.org/sici?sici=0025-570X(197801)51%3A1%3C55%3AAICOD%3E2.0.CO%3B2-5. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]