Δέσμη ευθειών

Κεντρική δέσμη ευθειών ονομάζουμε το σύνολο των ευθειών του επιπέδου που διέρχονται από το ένα σημείο (κέντρο δέσμης) ή είναι παράλληλες μεταξύ τους. Η εξίσωση της δέσμης ευθειών είναι η

$\kappa \left({{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y+{{\gamma }_{1}}\right)+\lambda \left({{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y+{{\gamma }_{2}}\right)=0$ $:(1)$

Οι συντεταγμένες του κέντρου βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος

$\left(\Sigma \right):\left\{{\begin{matrix}{{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y+{{\gamma }_{1}}=0\\{{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y+{{\gamma }_{2}}=0\\\end{matrix}}\right.$

Αν $\kappa =1$ τότε έχουμε $\left({{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y+{{\gamma }_{1}}\right)+\lambda \left({{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y+{{\gamma }_{2}}\right)=0$ $:(2)$ μια μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών. Η μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών $(2)$ μαζί με την ευθεία ${{\alpha }_{2}}x+{{\beta }_{2}}y+{{\gamma }_{2}}=0$ αποτελούν την δέσμη ευθειών $(1)$. Η ίδια δέσμη ορίζεται και για $\lambda =1$ μαζί με την ευθεία ${{\alpha }_{1}}x+{{\beta }_{1}}y+{{\gamma }_{1}}=0$

Αν $\mathrm {P} \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$ το κέντρο της δέσμης $\left(1\right)$, τότε είναι και το κέντρο της μονοπαραμετρικής οικογένειας ευθειών $\left(2\right)$. Η δέσμη ευθειών που διέρχονται από το $\mathrm {P} \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$ καλύπτει όλο το επίπεδο, δηλαδή η δέσμη ευθειών με κέντρο το $\mathrm {P} \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$ περιέχει όλες τις ευθείες του επιπέδου που διέρχονται από αυτό ενώ δεν ισχύει το ίδιο για την μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών. Για παράδειγμα το σύνολο των ευθειών της δέσμης $\kappa \left(x+2y+1\right)+\lambda \left(x+y\right)=0,\left|\kappa \right|+\left|\lambda \right|\neq 0$ είναι το σύνολο των ευθειών της μονοπαραμετρικής οικογένειας ευθειών $\left(x+2y+1\right)+\lambda \left(x+y\right)=0$ μαζί με την ευθεία $x+y=0$. Στο παραπάνω παράδειγμα η δέσμη ευθειών $\kappa \left(x+2y+1\right)+\lambda \left(x+y\right)=0$ έχει κέντρο το $\mathrm {P} \left(1,-1\right)$. Παρατηρούμε ότι η ευθεία με εξίσωση $x+y=0$ διέρχεται από το $\mathrm {P} \left(1,-1\right)$ και ανήκει στην δέσμη ευθειών αφού παράγεται από αυτήν για $\kappa =0$ και $\lambda =1$ ενώ η μονοπαραμετρική οικογένεια ευθειών $\left(x+2y+1\right)+\lambda \left(x+y\right)=0$ δεν μπορεί να την παράγει αφού δεν υπάρχει τιμή του πραγματικού αριθμού $\lambda$ ώστε ${\frac {1+\lambda }{2+\lambda }}=1$ και ${\frac {1}{2+\lambda }}=0$.

Αν είναι γνωστό το κέντρο $\mathrm {P} \left({{x}_{0}},{{y}_{0}}\right)$ της δέσμης ευθειών τότε οι εξισώσεις των ευθειών της είναι η οικογένεια $y-{{y}_{0}}=\lambda \left(x-{{x}_{0}}\right)$ μαζί με την ευθεία $x={{x}_{0}}$