Δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ είναι ένα από τα 23 προβλήματα Χίλμπερτ που παρουσιάζονται σε έναν κατάλογο που συνέταξε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ το 1900. Διερωτάται αν οι λύσεις των κανονικών προβλημάτων του λογισμού των μεταβολών είναι πάντα αναλυτικές . Άτυπα, και ίσως λιγότερο άμεσα, αφού η έννοια του Χίλμπερτ για ένα "κανονικό πρόβλημα παραλλαγών" το προσδιορίζει ακριβώς ως ένα πρόβλημα παραλλαγών του οποίου η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ είναι μια ελλειπτική μερική διαφορική εξίσωση με αναλυτικούς συντελεστές , Το δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ, παρά την προφανώς τεχνική του διατύπωση, θέτει απλώς το ερώτημα αν, σε αυτή την κατηγορία μερικών διαφορικών εξισώσεων, οποιαδήποτε λύση κληρονομεί τη σχετικά απλή και καλά κατανοητή ιδιότητα να είναι αναλυτική συνάρτηση από την εξίσωση που ικανοποιεί. Το δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ επιλύθηκε ανεξάρτητα στα τέλη της δεκαετίας του 1950 από τους Έννιο ντε Τζόρτζι και Τζον Φορμπς Νας Τζούνιορ.

Ιστορία

Η προέλευση του προβλήματος

Ένα από τα πιο περίεργα εννοιολογικά γεγονότα στη θεωρία των αναλυτικών συναρτήσεων είναι ότι υπάρχουν μερικές διαφορικές εξισώσεις των οποίων τα ολοκληρώματα είναι όλα αναγκαστικά αναλυτικές συναρτήσεις ανεξάρτητων μεταβλητών, οι οποίες, εν ολίγοις, μπορούν να έχουν μόνο αναλυτικές λύσεις ——Ντάβιντ Χίλμπερτ (Hilbert 1900, p. 288).

Ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ παρουσίασε αυτό που σήμερα είναι γνωστό ως το δέκατο ένατο πρόβλημά του στην ομιλία του στο Δεύτερο Διεθνές Συνέδριο Μαθηματικών. Στο ( Χίλμπερτ 1900, σ. 288), αναφέρει ότι, κατά τη γνώμη του, ένα από τα πιο αξιοσημείωτα γεγονότα της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων είναι ότι υπάρχουν κλάσεις μερικών διαφορικών εξισώσεων που δέχονται μόνο αναλυτικές συναρτήσεις ως λύσεις, αναφέροντας ως παραδείγματα την εξίσωση Λαπλάς, την εξίσωση Λιούβιλ, την εξίσωση ελάχιστης επιφάνειας και μια κλάση γραμμικών μερικών διαφορικών εξισώσεων που μελετήθηκε από τον Εμίλ Πικάρ. Στη συνέχεια σημειώνει ότι οι περισσότερες μερικές διαφορικές εξισώσεις που μοιράζονται αυτή την ιδιότητα είναι εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ ενός καλά καθορισμένου τύπου μεταβλητού προβλήματος, οι οποίες ικανοποιούν τις ακόλουθες τρεις ιδιότητες

(1)     ${\iint F(p,q,z;x,y)dxdy}={\text{Minimum}}\qquad \left[{\frac {\partial z}{\partial x}}=p\quad ;\quad {\frac {\partial z}{\partial y}}=q\right]$,

(2)     ${\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}p}}\cdot {\frac {\partial ^{2}F}{\partial ^{2}q}}-\left({\frac {\partial ^{2}F}{{\partial p}{\partial q}}}\right)^{2}>0$,

(3)      F είναι αναλυτική συνάρτηση για όλα τα ορίσματά της p, q, z, x και y.

Ο Χίλμπερτ το ονομάζει αυτό «κανονικό πρόβλημα μεταβολής». Η ιδιότητα (1) σημαίνει ότι πρόκειται για ελάχιστα προβλήματα. Η ιδιότητα (2) είναι η συνθήκη ελλειπτικότητας στις εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ που σχετίζονται με τη δεδομένη συνάρτηση, ενώ η ιδιότητα (3) είναι μια απλή υπόθεση κανονικότητας για τη συνάρτηση F. Έχοντας προσδιορίσει την κατηγορία των προβλημάτων που εξετάζονται, θέτει το ακόλουθο ερώτημα: «... κάθε μερική διαφορική εξίσωση Λαγκράνζ ενός προβλήματος κανονικής μεταβολής έχει την ιδιότητα να δέχεται αποκλειστικά αναλυτικά ολοκληρώματα;» Διερωτάται περαιτέρω αν αυτό ισχύει ακόμη και όταν η συνάρτηση απαιτείται να λάβει συνοριακές τιμές που είναι συνεχείς, αλλά όχι αναλυτικές, όπως συμβαίνει στο πρόβλημα του Ντίριχλετ για τη συνάρτηση δυναμικού .

διαδρομή προς την πλήρη λύση

Ο Χίλμπερτ διατύπωσε το δέκατο ένατο πρόβλημά του ως πρόβλημα κανονικότητας για μια κατηγορία ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων με αναλυτικούς συντελεστές. Κατά συνέπεια, οι πρώτες προσπάθειες των ερευνητών που προσπάθησαν να το επιλύσουν στόχευαν στη μελέτη της κανονικότητας των κλασικών λύσεων για εξισώσεις που ανήκουν σε αυτή την κατηγορία. Για τις λύσεις C³, το πρόβλημα του Χίλμπερτ έλαβε θετική απάντηση από τον Σεργκέι Μπερνστάιν (1904) στη διατριβή του. Έδειξε ότι οι λύσεις C³ μη γραμμικών ελλειπτικών αναλυτικών εξισώσεων σε 2 μεταβλητές είναι αναλυτικές. Το αποτέλεσμα του Μπερνστάιν βελτιώθηκε με την πάροδο των ετών από διάφορους συγγραφείς, όπως ο Πετρόφσκι (Petrowsky (1939)), οι οποίοι μείωσαν τις απαιτήσεις διαφοροποίησης της λύσης που απαιτούνται για να αποδειχθεί ότι είναι αναλυτική. Από την άλλη πλευρά, άμεσες μέθοδοι στον λογισμό των μεταβολών έχουν δείξει την ύπαρξη λύσεων με πολύ αδύναμες ιδιότητες διαφορισιμότητας. Για πολλά χρόνια, υπήρχε ένα κενό μεταξύ αυτών των αποτελεσμάτων. Οι λύσεις που μπορούσαν να κατασκευαστούν ήταν γνωστό ότι είχαν τετραγωνικά ολοκληρώσιμες δεύτερες παραγώγους, αλλά αυτό δεν ήταν αρκετά ισχυρό για να τροφοδοτήσει τον μηχανισμό που μπορούσε να αποδείξει ότι ήταν αναλυτικές, ο οποίος χρειαζόταν συνέχεια των πρώτων παραγώγων. Αυτό το κενό καλύφθηκε ανεξάρτητα από τον Έννιο Ντε Τζιόρτζι (Ennio De Giorgi (1956, 1957) και τον Τζον Φορμπς Νας (John Forbes Nash (1957, 1958)), οι οποίοι μπόρεσαν να δείξουν ότι οι λύσεις είχαν πρώτες παραγώγους που ήταν συνεχείς κατά Χόλντερ. Από προηγούμενα αποτελέσματα αυτό σήμαινε ότι οι λύσεις είναι αναλυτικές όποτε η διαφορική εξίσωση έχει αναλυτικούς συντελεστές, ολοκληρώνοντας έτσι τη λύση του δέκατου ένατου προβλήματος του Χίλμπερτ. Στη συνέχεια, ο Γιούργκεν Μόζερ έδωσε μια εναλλακτική απόδειξη των αποτελεσμάτων που προέκυψαν από τον Έννιο Ντε Τζιόρτζι (Ennio De Giorgi (1956, 1957)) και τον Τζον Φορμπς Νας (John Forbes Nash (1957, 1958).).

Αντιπαραδείγματα σε διάφορες γενικεύσεις του προβλήματος

Η καταφατική απάντηση στο δέκατο ένατο πρόβλημα του Χίλμπερτ που δόθηκε από τους Έννιο Ντε Τζιόρτζι και Τζον Φορμπς Νας έθεσε το ερώτημα αν το ίδιο συμπέρασμα ισχύει και για τις εξισώσεις Όιλερ-Λαγκράνζ γενικότερων συναρτησιακών. Στα τέλη της δεκαετίας του 1960, οι Μαζ'ια (Maz'ya (1968)), Ντε Γκιόργκι (De Giorgi (1968)) και Γκιούστι & Μιράντα (Giusti & Miranda (1968)) κατασκεύασαν ανεξάρτητα διάφορα αντιπαραδείγματα, δείχνοντας ότι γενικά δεν υπάρχει ελπίδα να αποδειχθούν τέτοια αποτελέσματα κανονικότητας χωρίς την προσθήκη περαιτέρω υποθέσεων.

Συγκεκριμένα, ο Μαζ'ια ( Maz'ya (1968)) έδωσε αρκετά αντιπαραδείγματα που αφορούσαν μια απλή ελλειπτική εξίσωση τάξης μεγαλύτερης των δύο με αναλυτικούς συντελεστές. Για τους ειδικούς, το γεγονός ότι τέτοιες εξισώσεις θα μπορούσαν να έχουν μη αναλυτικές και ακόμη και μη ομαλές λύσεις προκάλεσε αίσθηση.

Οι Ντε Γκιόργκι (De Giorgi (1968)) και Γκιούστι & Μιράντα (Giusti & Miranda (1968)) έδωσαν αντιπαραδείγματα που έδειξαν ότι στην περίπτωση που η λύση είναι διανυσματικής αξίας και όχι κλιμακωτής αξίας, δεν χρειάζεται να είναι αναλυτική- το παράδειγμα του Ντε Γκιόργκι αποτελείται από ένα ελλειπτικό σύστημα με περιορισμένους συντελεστές, ενώ αυτό των Γκιούστι και Μιράντα έχει αναλυτικούς συντελεστές. Αργότερα, ο Νετσάς (1977) έδωσε άλλα, πιο εκλεπτυσμένα, παραδείγματα για το πρόβλημα με διανυσματική αξία.

Το θεώρημα του Ντε Γκιόργκι

Το βασικό θεώρημα που απέδειξε ο Ντε Γκιόργκι είναι μια εκ των προτέρων εκτίμηση που δηλώνει ότι αν η u είναι λύση μιας κατάλληλης γραμμικής δευτεροβάθμιας αυστηρά ελλειπτικής PDE της μορφής

$D_{i}(a^{ij}(x)\,D_{j}u)=0$

και η $u$ έχει τετραγωνικά ολοκληρώσιμες πρώτες παραγώγους, τότε η $u$ είναι συνεχής κατά Χόλντερ.

Εφαρμογή του θεωρήματος του Ντε Γκιόργκι στο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το πρόβλημα του Χίλμπερτ διερωτάται αν οι ελαχιστοποιητές $w$ μιας ενεργειακής συνάρτησης όπως η

$\int _{U}L(Dw)\,\mathrm {d} x$

είναι αναλυτικές. Εδώ $w$ είναι μια συνάρτηση σε κάποιο συμπαγές σύνολο $U$ του Rⁿ, $Dw$ είναι το διάνυσμα κλίσης της, και $L$ είναι η Λαγκρανζιανή, μια συνάρτηση των παραγώγων του $w$ που ικανοποιεί ορισμένες συνθήκες αύξησης, ομαλότητας και κυρτότητας. Η ομαλότητα της $w$ μπορεί να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Ντε Γκιόργκι ως εξής. Η εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ για αυτό το μεταβλητό πρόβλημα είναι η μη γραμμική εξίσωση

$\sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}}(Dw))_{x_{i}}=0$

και διαφοροποιώντας το ως προς $x_{k}$ προκύπτει

$\sum \limits _{i=1}^{n}(L_{p_{i}p_{j}}(Dw)w_{x_{j}x_{k}})_{x_{i}}=0$

Αυτό σημαίνει ότι $u=w_{x_{k}}$ ικανοποιεί τη γραμμική εξίσωση

$D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0$

με

$a^{ij}=L_{p_{i}p_{j}}(Dw)$

οπότε σύμφωνα με το αποτέλεσμα του Ντε Γκιόργκι η λύση w έχει συνεχείς πρώτες παραγώγους Χόλντερ, υπό την προϋπόθεση ότι ο πίνακας $L_{p_{i}p_{j}}$ είναι φραγμένος. Όταν αυτό δεν συμβαίνει, απαιτείται ένα επιπλέον βήμα: πρέπει να αποδείξουμε ότι η λύση $w$ είναι συνεχής κατά Λίπσιτζ, δηλαδή η κλίση $Dw$ είναι μια συνάρτηση $L^{\infty }$.

Αφού είναι γνωστό ότι η w έχει συνεχείς (n+1)st παραγώγους Χόλντερ για κάποιο n ≥ 1, τότε οι συντελεστές a^ij έχουν συνεχείς nth παραγώγους Χόλτερ, οπότε ένα θεώρημα του Σόουντερ (Schauder) συνεπάγεται ότι οι (n+2)nd παράγωγοι είναι επίσης συνεχείς Χόλτερ, οπότε επαναλαμβάνοντας αυτό απείρως συχνά αποδεικνύεται ότι η λύση w είναι ομαλή.

Θεώρημα του Νας

Ο Τζον Νας έδωσε μια εκτίμηση συνέχειας για τις λύσεις της παραβολικής εξίσωσης

$D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=D_{t}(u)$

όπου u είναι μια περιορισμένη συνάρτηση των x₁,...,x_n, t που ορίζεται για t ≥ 0. Από την εκτίμησή του ο Νας μπόρεσε να συμπεράνει μια εκτίμηση συνέχειας για τις λύσεις της ελλειπτικής εξίσωσης

$D_{i}(a^{ij}(x)D_{j}u)=0$ εξετάζοντας την ειδική περίπτωση κατά την οποία το u δεν εξαρτάται από το t.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Μερική διαφορική εξίσωση
• Διαφορική εξίσωση
• Εξίσωση Όιλερ-Λαγκράνζ
• Έννιο ντε Τζόρτζι
• Ελλειπτική συνάρτηση
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Τζον Φορμπς Νας
• Ανρί Πουανκαρέ
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Επιφάνεια Ρίμαν
• Αλγεβρική ποικιλία

Βιβλιογραφία

• Gray, Jeremy (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850651-5. 
• Dasgupta, Gautam (5 Δεκεμβρίου 2017). Finite Element Concepts: A Closed-Form Algebraic Development. Springer. ISBN 978-1-4939-7423-8. 
• Santambrogio, Filippo (17 Δεκεμβρίου 2023). A Course in the Calculus of Variations: Optimization, Regularity, and Modeling. Springer Nature. ISBN 978-3-031-45036-5. 
• Kinyon, Michael· Brummelen, Glen van (18 Ιουνίου 2006). Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-28272-5. 
• Jr, John Forbes Nash· Rassias, Michael Th (5 Ιουλίου 2016). Open Problems in Mathematics. Springer. ISBN 978-3-319-32162-2. 
• Buttazzo, Giuseppe· Giaquinta, Mariano (1998). One-dimensional Variational Problems: An Introduction. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-850465-8. 
• Mazʹâ, Vladimir Gilelevič· Shaposhnikova, T. O. (1999). Jacques Hadamard: A Universal Mathematician. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1923-4. 
• Parshall, Karen Hunger (22 Φεβρουαρίου 2022). The New Era in American Mathematics, 1920–1950. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-23381-9. 
• Esposito, Giampiero (23 Ιουνίου 2017). From Ordinary to Partial Differential Equations. Springer. ISBN 978-3-319-57544-5. 

Παραπομπές

• Bernstein, S. (1904), «Sur la nature analytique des solutions des équations aux dérivées partielles du second ordre», Mathematische Annalen 59 (1–2): 20–76, doi:10.1007/BF01444746, ISSN 0025-5831, http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN00225977X 
• Bombieri, Enrico (1975), «Variational problems and elliptic equations», Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, B.C., 1974, Vol. 1, ICM Proceedings, Montreal: Canadian Mathematical Congress, σελ. 53–63, , http://www.mathunion.org/ICM/ICM1974.1/Main/icm1974.1.0053.0064.ocr.pdf, ανακτήθηκε στις 2011-01-29  Reprinted in Bombieri, Enrico (1976), «Variational problems and elliptic equations», στο: Browder, Felix E., επιμ., Mathematical developments arising from Hilbert problems, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, XXVIII, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, σελ. 525–535, ISBN 978-0-8218-1428-4, , https://books.google.com/books?isbn=0821814281 
• De Giorgi, Ennio (1956), «Sull'analiticità delle estremali degli integrali multipli», Atti della Accademia Nazionale dei Lincei. Rendiconti. Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, Serie VIII 20: 438–441,   "On the analyticity of extremals of multiple integrals" (English translation of the title) is a short research announcement disclosing the results detailed later in (De Giorgi 1957). While, according to the Complete list of De Giorgi's scientific publication (De Giorgi 2006, p. 6), an English translation should be included in (De Giorgi 2006), it is unfortunately missing.
• De Giorgi, Ennio (1957), «Sulla differenziabilità e l'analiticità delle estremali degli integrali multipli regolari», Memorie della Accademia delle Scienze di Torino. Classe di Scienze Fisiche, Matematicahe e Naturali, Serie III 3: 25–43,   Translated in English as "On the differentiability and the analyticity of extremals of regular multiple integrals" in (De Giorgi 2006, σελίδες 149–166).
• De Giorgi, Ennio (1968), «Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale di tipo ellittico», Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Serie IV 1: 135–137,   Translated in English as "An example of discontinuous extremals for a variational problem of elliptic type" in (De Giorgi 2006, σελίδες 285–287)
• De Giorgi, Ennio (2006), Ambrosio, Luigi; Dal Maso, Gianni; Forti, Marco και άλλοι, επιμ., Selected papers, Springer Collected Works in Mathematics, Berlin–New York: Springer-Verlag, σελ. x+889, doi:10.1007/978-3-642-41496-1, ISBN 978-3-540-26169-8, , https://www.springer.com/mathematics/analysis/book/978-3-540-26169-8 
• Giaquinta, Mariano (1983), Multiple integrals in the calculus of variations and nonlinear elliptic systems, Annals of Mathematics Studies, 105, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, σελ. vii+297, ISBN 978-0-691-08330-8, , https://books.google.com/books?id=JwSAewaYsdMC 
• Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. (2001), Elliptic partial differential equations of second order, Classics in Mathematics (Revised 3rd printing of 2nd έκδοση), Berlin – Heidelberg – New York: Springer Verlag, σελ. xiv+517, ISBN 978-3-540-41160-4, , https://books.google.com/books?id=eoiGTf4cmhwC 
• Giusti, Enrico (1994), Metodi diretti nel calcolo delle variazioni, Monografie Matematiche, Bologna: Unione Matematica Italiana, σελ. VI+422,  , translated in English as Giusti, Enrico (2003), Direct Methods in the Calculus of Variations, River Edge, New Jersey – London – Singapore: World Scientific Publishing, σελ. viii+403, doi:10.1142/9789812795557, ISBN 978-981-238-043-2, , https://books.google.com/books?id=FofhcvUZo9YC 
• Giusti, Enrico; Miranda, Mario (1968), «Un esempio di soluzioni discontinue per un problema di minimo relativo ad un integrale regolare del calcolo delle variazioni», Bollettino dell'Unione Matematica Italiana, Serie IV 2: 1–8,  
• Gohberg, Israel (1999), «Vladimir Maz'ya: Friend and Mathematician. Recollections», στο: Rossman, Jürgen; Takáč, Peter; Wildenhain, Günther, επιμ., The Maz'ya anniversary collection. Vol. 1: On Maz'ya's work in functional analysis, partial differential equations and applications. Based on talks given at the conference, Rostock, Germany, August 31 – September 4, 1998, Operator Theory. Advances and Applications, 109, Basel: Birkhäuser Verlag, σελ. 1–5, ISBN 978-3-7643-6201-0, , https://books.google.com/books?id=9xPz9Mg2c_EC 
• Hedberg, Lars Inge (1999), «On Maz'ya's work in potential theory and the theory of function spaces», στο: Rossmann, Jürgen; Takáč, Peter; Wildenhain, Günther, επιμ., The Maz'ya Anniversary Collection, Operator Theory: Advances and Applications, 109, BaselBasel: Birkhäuser Verlag, σελ. 7–16, doi:10.1007/978-3-0348-8675-8_2, ISBN 978-3-0348-9726-6,  
• Hilbert, David (1900), «Mathematische Probleme», Nachrichten von der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (3): 253–297, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN252457811_1900&DMDID=DMDLOG_0037 
  – Reprinted as «Mathematische Probleme», Archiv der Mathematik und Physik, dritte reihe 1: 44–63 and 253–297, 1900, https://archive.org/stream/archivdermathem02unkngoog#page/n61/mode/1up 
  – Translated to English by Mary Frances Winston Newson as Hilbert, David (1902), «Mathematical Problems», Bulletin of the American Mathematical Society 8 (10): 437–479, doi:10.1090/S0002-9904-1902-00923-3 
  – Reprinted as Hilbert, David (2000), «Mathematical Problems», Bulletin of the American Mathematical Society, New Series 37 (4): 407–436, doi:10.1090/S0273-0979-00-00881-8,  
  – Translated to French by M. L. Laugel (with additions of Hilbert himself) as Hilbert, David (1902), «Sur les problèmes futurs des Mathématiques», στο: Duporcq, E., επιμ., Compte Rendu du Deuxième Congrès International des Mathématiciens, tenu à Paris du 6 au 12 août 1900. Procès-Verbaux et Communications, ICM Proceedings, Paris: Gauthier-Villars, σελ. 58–114, http://www.mathunion.org/ICM/ICM1900/Main/icm1900.0058.0114.ocr.pdf, ανακτήθηκε στις 2013-12-28 
  – There exists also an earlier (and shorter) resume of Hilbert's original talk, translated in French and published as Hilbert, D. (1900), «Problèmes mathématiques», L'Enseignement Mathématique 2: 349–355, doi:10.5169/seals-3575 .
• Kristensen, Jan; Mingione, Giuseppe (October 2011). Sketches of Regularity Theory from The 20th Century and the Work of Jindřich Nečas (Report). Oxford: Oxford Centre for Nonlinear PDE, pp. 1–30. OxPDE-11/17. http://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/OxPDE_11-17.pdf. 
• Maz'ya, V. G. (1968), Funktsional'nyĭ Analiz I Ego Prilozheniya 2 (3): 53–57, http://mi.mathnet.ru/eng/faa/v2/i3/p53 
  – Translated in English as Maz'ya, V. G. (1968), «Examples of nonregular solutions of quasilinear elliptic equations with analytic coefficients», Functional Analysis and Its Applications 2 (3): 230–234, doi:10.1007/BF01076124,  
• Mingione, Giuseppe (2006), «Regularity of minima: an invitation to the Dark Side of the Calculus of Variations.», Applications of Mathematics 51 (4): 355–426, doi:10.1007/s10778-006-0110-3, , http://dml.cz/dmlcz/134645 
• Morrey, Charles B. (1966), Multiple integrals in the calculus of variations, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 130, Berlin–Heidelberg–New York: Springer-Verlag, σελ. xii+506, ISBN 978-3-540-69915-6, , https://books.google.com/books?id=-QNKm1PBohsC 
• Nash, John (1957), «Parabolic equations», Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America 43 (8): 754–758, doi:10.1073/pnas.43.8.754, ISSN 0027-8424, PMID 16590082,  
• Nash, John (1958), «Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations», American Journal of Mathematics 80 (4): 931–954, doi:10.2307/2372841, ISSN 0002-9327, , http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/101876/CzechMathJ_33-1983-2_7.pdf 
• Nečas, Jindřich (1977), «Example of an irregular solution to a nonlinear elliptic system with analytic coefficients and conditions for regularity», στο: Kluge, Reinhard; Müller, Wolfdietrich, επιμ., Theory of nonlinear operators: constructive aspects. Proceedings of the fourth international summer school, held at Berlin, GDR, from September 22 to 26, 1975, Abhandlungen der Akademie der Wissenschaften der DDR, 1, Berlin: Akademie-Verlag, σελ. 197–206,  
• Petrowsky, I. G. (1939), «Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles», Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) 5 (47): 3–70, , http://mi.mathnet.ru/eng/msb5769 

Πηγές

• Tomi, F.; Tromba, A. (2019-09-20). «Morse theory and Hilbert’s 19th problem» (στα αγγλικά). Calculus of Variations and Partial Differential Equations 58 (5): 172. doi:10.1007/s00526-019-1614-0. ISSN 1432-0835. https://link.springer.com/article/10.1007/s00526-019-1614-0. 
• «Hilbert problems - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 11 Δεκεμβρίου 2024. 
• Weisstein, Eric W. «Hilbert's Problems». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 11 Δεκεμβρίου 2024. 
• «Analytic version of Hilbert's XIX problem». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 11 Δεκεμβρίου 2024.