Δέκατο έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ

Το δέκατο έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ τέθηκε από τον Ντέιβιντ Χίλμπερτ στο συνέδριο του Διεθνούς Συνεδρίου Μαθηματικών στο Παρίσι το 1900, ως μέρος της λίστας με τα 23 προβλήματα των μαθηματικών.

Το αρχικό πρόβλημα τέθηκε ως Πρόβλημα της τοπολογίας των αλγεβρικών καμπυλών και επιφανειών (Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen).

Στην πραγματικότητα το πρόβλημα αποτελείται από δύο παρόμοια προβλήματα σε διαφορετικούς κλάδους των μαθηματικών:

• Μια διερεύνηση των σχετικών θέσεων των κλάδων πραγματικών αλγεβρικών καμπυλών βαθμού n (και ομοίως για αλγεβρικές επιφάνειες).
• Ο προσδιορισμός του ανώτερου ορίου για τον αριθμό των οριακών κύκλων σε δισδιάστατα πολυωνυμικά διανυσματικά σώματα βαθμού n και μια διερεύνηση των σχετικών θέσεών τους.

Το πρώτο πρόβλημα είναι ακόμη άλυτο για n = 8. Επομένως, αυτό το πρόβλημα είναι αυτό που συνήθως εννοούμε όταν μιλάμε για το δέκατο έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ στην πραγματική αλγεβρική γεωμετρία. Το δεύτερο πρόβλημα παραμένει επίσης άλυτο: δεν είναι γνωστό κανένα ανώτερο όριο για τον αριθμό των οριακών κύκλων για οποιοδήποτε n > 1, και αυτό είναι αυτό που συνήθως εννοείται με το δέκατο έκτο πρόβλημα του Χίλμπερτ στο χώρο των δυναμικών συστημάτων.

Η Βασιλική Εταιρεία Μαθηματικών της Ισπανίας δημοσίευσε μια επεξήγηση του δέκατου έκτου προβλήματος του Χίλμπερτ .

Το πρώτο μέρος του 16ου προβλήματος του Χίλμπερτ

Το 1876, ο Χάρνακ ερεύνησε αλγεβρικές καμπύλες στο πραγματικό προβολικό επίπεδο και διαπίστωσε ότι καμπύλες βαθμού n δεν μπορούσαν να έχουν περισσότερες από

${n^{2}-3n+4 \over 2}$

ξεχωριστές συνδεδεμένες συνιστώσες. Επιπλέον, έδειξε πώς να κατασκευάζει καμπύλες που επιτυγχάνουν αυτό το ανώτερο όριο, και συνεπώς ότι ήταν το καλύτερο δυνατό όριο. Οι καμπύλες με αυτόν τον αριθμό συνιστωσών ονομάζονται καμπύλες Μ.

Ο Χίλμπερτ είχε ερευνήσει τις καμπύλες Μ βαθμού 6 και διαπίστωσε ότι οι 11 συνιστώσες ήταν πάντα ομαδοποιημένες με έναν ορισμένο τρόπο. Η πρόκλησή του προς τη μαθηματική κοινότητα ήταν τώρα να διερευνήσει πλήρως τις πιθανές διαμορφώσεις των συνιστωσών των καμπυλών Μ.

Επιπλέον, ζήτησε τη γενίκευση του θεωρήματος των καμπυλών του Χάρνακ σε αλγεβρικές επιφάνειες και μια παρόμοια διερεύνηση των επιφανειών με τον μέγιστο αριθμό συνιστωσών.

Το δεύτερο μέρος του 16ου προβλήματος του Χίλμπερτ

Εδώ θα εξετάσουμε πολυωνυμικά διανυσματικά σώματα στο πραγματικό επίπεδο, δηλαδή ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων της μορφής:

${dx \over dt}=P(x,y),\qquad {dy \over dt}=Q(x,y)$

όπου και τα δύο P και Q είναι πραγματικά πολυώνυμα βαθμού n.

Αυτά τα πολυωνυμικά διανυσματικά σώματα μελετήθηκαν από τον Πουανκαρέ, ο οποίος είχε την ιδέα να εγκαταλείψει την αναζήτηση για την εύρεση ακριβών λύσεων του συστήματος και αντ' αυτού προσπάθησε να μελετήσει τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της συλλογής όλων των πιθανών λύσεων.

Μεταξύ πολλών σημαντικών ανακαλύψεων, διαπίστωσε ότι τα οριακά σύνολα τέτοιων λύσεων δεν χρειάζεται να είναι ένα στάσιμο σημείο, αλλά θα μπορούσε μάλλον να είναι μια περιοδική λύση. Τέτοιες λύσεις ονομάζονται οριακοί κύκλοι.

Το δεύτερο μέρος του 16ου προβλήματος του Χίλμπερτ είναι να αποφασίσει ένα ανώτερο όριο για τον αριθμό των οριακών κύκλων σε πολυωνυμικά διανυσματικά σώματα βαθμού n και, παρόμοια με το πρώτο μέρος, να διερευνήσει τις σχετικές θέσεις τους.

Αποτελέσματα

Αποδείχθηκε το 1991/1992 από τους Γιούλι Ιλιασένκο και Ζαν Εκάλ ότι κάθε πολυωνυμικό διανυσματικό σώμα στο επίπεδο έχει μόνο πεπερασμένους οριακούς κύκλους (ένα άρθρο του Ανρί Ντουλάκ από το 1923 που υποστήριζε την απόδειξη αυτής της δήλωσης είχε αποδειχθεί ότι περιείχε κενό το 1981). Η δήλωση αυτή δεν είναι προφανής, αφού είναι εύκολο να κατασκευαστούν ομαλά (C^∞) διανυσματικά σώματα στο επίπεδο με απείρως πολλούς ομόκεντρους οριακούς κύκλους.

Το ερώτημα αν υπάρχει ένα πεπερασμένο άνω όριο H(n) για τον αριθμό των οριακών κύκλων των επίπεδων πολυωνυμικών διανυσματικών σωμάτων βαθμού n παραμένει άλυτο για οποιοδήποτε n > 1. (H(1) = 0 αφού τα γραμμικά διανυσματικά πεδία δεν έχουν οριακούς κύκλους.) Οι Εβγένι Λάντις και Ιβάν Πετρόφσκι ισχυρίστηκαν ότι βρήκαν λύση στη δεκαετία του 1950, αλλά αποδείχθηκε ότι ήταν λάθος στις αρχές της δεκαετίας του 1960. Είναι γνωστά τετραγωνικά επίπεδα διανυσματικά σώματα με τέσσερις οριακούς κύκλους.. Ένα παράδειγμα αριθμητικής απεικόνισης τεσσάρων οριακών κύκλων σε ένα τετραγωνικό επίπεδο διανυσματικό σώμα μπορεί να βρεθεί στο. Γενικά, οι δυσκολίες στην εκτίμηση του αριθμού των οριακών κύκλων με αριθμητική ολοκλήρωση οφείλονται στους ένθετους οριακούς κύκλους με πολύ στενές περιοχές έλξης, οι οποίοι είναι κρυφοί ελκυστές, και στους ημι-σταθερούς οριακούς κύκλους.

Αρχική διατύπωση των προβλημάτων

Στην ομιλία του, ο Χίλμπερτ παρουσίασε τα προβλήματα ως εξής:

Το ανώτερο όριο των κλειστών και ξεχωριστών κλάδων μιας αλγεβρικής καμπύλης βαθμού n καθορίστηκε από τον Χάρνακ (Mathematische Annalen, 10)- από αυτό προκύπτει το περαιτέρω ερώτημα ως προς τις σχετικές θέσεις των κλάδων στο επίπεδο. Όσον αφορά τις καμπύλες 6ου βαθμού, έχω πείσει τον εαυτό μου - ομολογουμένως με έναν μάλλον περίπλοκο τρόπο - ότι οι 11 κλάδοι που ενδέχεται να έχουν σύμφωνα με τον Χάρνακ δεν μπορούν ποτέ να διαχωριστούν όλοι, αλλά ότι πρέπει να υπάρχει ένας κλάδος που έχει έναν άλλο κλάδο στο εσωτερικό και εννέα κλάδους στο εξωτερικό, ή το αντίθετο. Μου φαίνεται ότι μια ενδελεχής διερεύνηση των σχετικών θέσεων του ανώτατου ορίου για τους ξεχωριστούς κλάδους έχει μεγάλο ενδιαφέρον, και ομοίως η αντίστοιχη διερεύνηση του αριθμού, του σχήματος και της θέσης των φύλλων μιας αλγεβρικής επιφάνειας στο χώρο - δεν είναι ακόμη καν γνωστό, πόσα φύλλα μπορεί να έχει στο μέγιστο μια επιφάνεια 4ου βαθμού στον τρισδιάστατο χώρο. (βλ. Rohn, Flächen vierter Ordnung, Preissschriften der Fürstlich Jablonowskischen Gesellschaft, Leipzig 1886)

Ο Χίλμπερτ συνεχίζει:

Μετά από αυτό το καθαρά αλγεβρικό πρόβλημα, θα ήθελα να θέσω ένα ερώτημα το οποίο, όπως μου φαίνεται, μπορεί να αντιμετωπιστεί με την ίδια μέθοδο της συνεχούς αλλαγής του συντελεστή, και η απάντηση στο οποίο είναι παρόμοιας σημασίας για την τοπολογία των οικογενειών καμπυλών που ορίζονται από διαφορικές εξισώσεις - αυτό είναι το ερώτημα του ανώτερου ορίου και της θέσης των οριακών κύκλων Πουανκαρέ για μια διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης της μορφής :

${dy \over dx}={Y \over X}$

όπου X, Y είναι ακέραιες, ρητές συναρτήσεις n ου βαθμού στο x, y, ή γράφονται ομοιογενώς:

$X\left(y{dz \over dt}-z{dy \over dt}\right)+Y\left(z{dx \over dt}-x{dz \over dt}\right)+Z\left(x{dy \over dt}-y{dx \over dt}\right)=0$

όπου X, Y, Z σημαίνει ολοκληρωτικές, ρητές, ομοιογενείς συναρτήσεις n ου βαθμού στις x, y, z και οι τελευταίες πρέπει να θεωρούνται συνάρτηση της παραμέτρου t.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Proof of Dehn's Theorem at Everything2
• Weisstein, Eric W., "Dehn Invariant" από το MathWorld.
• Dehn Invariant at Everything2
• Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Μαθηματικά προβλήματα, 6ο πρόβλημα, σε αγγλική μετάφραση.

Δείτε επίσης

• Δυναμικό σύστημα
• Διαφορική εξίσωση
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Τετραγωνικό σώμα
• Ελλειπτική συνάρτηση
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Πιερ Ντελίν
• Ανρί Πουανκαρέ
• Χώρος Χίλμπερτ
• Ντάβιντ Χίλμπερτ
• Ευκλείδειος χώρος
• Επιφάνεια Ρίμαν
• Αλγεβρική ποικιλία

Βιβλιογραφία

• Roussarie, Robert (19 Μαΐου 1998). Bifurcations of Planar Vector Fields and Hilbert's Sixteenth Problem. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-5900-3. 
• Braaksma, B. L. J.· Immink, G. K. (6 Μαΐου 1996). The Stokes Phenomenon And Hilbert's 16th Problem. World Scientific. ISBN 978-981-4548-08-3. 
• Yakovenko, S. (1995). Concerning the Hilbert 16th Problem. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-0362-2. 
• Lynch, Stephen (11 Νοεμβρίου 2013). Dynamical Systems with Applications using MAPLE. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4899-2849-8. 
• Ilʹi︠a︡shenko, I︠U︡ S.· Yakovenko, S. (2008). Lectures on Analytic Differential Equations. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3667-5. 
• Wang, Dongming· Zheng, Zhiming (16 Μαρτίου 2006). Differential Equations with Symbolic Computation. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-7429-7. 
• Gray, Jeremy (2000). The Hilbert Challenge. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850651-5. 
• Babbitt, Donald G.· Kister, Jane E. Featured Reviews in "Mathematical Reviews" 1995-1996: Reviews of Outstanding Recent Books and Papers. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-9519-1. 
• Farkas, Miklos (14 Μαρτίου 2013). Periodic Motions. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-4211-4. 

Πηγές

• 16th Hilbert problem: computation of Lyapunov quantities and limit cycles in two-dimensional dynamical systems
• «Hilbert's 16th Problem and Mathematical Chemistry | Mathematical Institute». www.maths.ox.ac.uk. Ανακτήθηκε στις 10 Δεκεμβρίου 2024. 
• «Hilbert's sixteenth problem». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 10 Δεκεμβρίου 2024. 
• Li, Jibin (2003-01). «Hilbert's 16th problem and bifurcations of planar polynomial vector fields». International Journal of Bifurcation and Chaos 13 (01): 47–106. doi:10.1142/S0218127403006352. ISSN 0218-1274. https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218127403006352.