Γκαουσιανό ολοκλήρωμα

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης $f(x)=e^{-x^{2}}$ και το εμβαδόν μεταξύ αυτής και του άξονα $x$, (δηλ. ολόκληρη η πραγματική ευθεία) το οποίο είναι ίσο με ${\sqrt {\pi }}$.

Το Γκαουσιανό ολοκλήρωμα, επίσης γνωστό ως ολοκλήρωμα Όιλερ-Πουασόν, είναι το ολοκλήρωμα της γκαουσιανής συνάρτησης $f(x)=e^{-x^{2}}$ σε ολόκληρη την πραγματική γραμμή. Πήρε το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους, το ολοκλήρωμα είναι

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Ο Αβραάμ ντε Μοίβρ χρησιμοποίησε πρώτος τη γκαουσιανή συνάρτηση το 1733 στο πλαίσιο της προσέγγισης της διωνυμικής κατανομής, Ο Λαπλάς υπολόγισε το ολοκλήρωμα πριν από το 1809, ενώ ο Γκάους το χρησιμοποίησε και το διέδωσε στο έργο του του 1809, αναγνωρίζοντας ότι το αποτέλεσμα οφειλόταν στον Λαπλάς. Το ολοκλήρωμα έχει ευρύ φάσμα εφαρμογών. Επί παραδείγματι, με μια μικρή αλλαγή των μεταβλητών χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της σταθεράς κανονικοποίησης της κανονικής κατανομής. Το ίδιο ολοκλήρωμα με πεπερασμένα όρια σχετίζεται στενά τόσο με τη συνάρτηση σφάλματος όσο και με τη συνάρτηση αθροιστικής κατανομής της κανονικής κατανομής. Στη φυσική αυτός ο τύπος ολοκληρώματος εμφανίζεται συχνά, όπως επί παραδείγματι στην κβαντομηχανική, για την εύρεση της πυκνότητας πιθανότητας της βασικής κατάστασης του αρμονικού ταλαντωτή. Το ολοκλήρωμα αυτό χρησιμοποιείται επίσης στη διατύπωση του ολοκληρώματος διαδρομής, για να βρεθεί ο πολλαπλασιαστής του αρμονικού ταλαντωτή, και στη στατιστική μηχανική, στη συνάρτηση κατανομής του.

Αν και δεν υπάρχει στοιχειώδης συνάρτηση για τη συνάρτηση σφάλματος, όπως μπορεί να αποδειχθεί με τον αλγόριθμο Risch, το γκαουσιανό ολοκλήρωμα μπορεί να επιλυθεί αναλυτικά μέσω των μεθόδων του πολυμεταβλητού λογισμού. Δηλαδή, δεν υπάρχει στοιχειώδες αόριστο ολοκλήρωμα για

$\int e^{-x^{2}}\,dx,$

αλλά το ορισμένο ολοκλήρωμα

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$

μπορεί να αξιολογηθεί. Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας αυθαίρετης γκαουσιανής συνάρτησης είναι

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.$

Υπολογισμός

Με πολικές συντεταγμένες

Ένας συνηθισμένος τρόπος υπολογισμού του ολοκληρώματος Γκάους, η ιδέα του οποίου ανάγεται στον Πουασόν, είναι να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα ότι:

$\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dx\,dy.$

Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση $e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}=e^{-r^{2}}$ στο επίπεδο $\mathbb {R} ^{2}$ και υπολογίζουμε το ολοκλήρωμά της με δύο τρόπους:

1. αφενός, με διπλή ολοκλήρωση στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, το ολοκλήρωμά του είναι τετράγωνο:

$\left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};$

1. αφετέρου, με ολοκλήρωση κελύφους (περίπτωση διπλής ολοκλήρωσης σε πολικές συντεταγμένες), το ολοκλήρωμά του υπολογίζεται ως εξής $\pi$

Συγκρίνοντας αυτούς τους δύο υπολογισμούς προκύπτει το ολοκλήρωμα, αν και θα πρέπει να προσέξουμε τα καταχρησικά ολοκληρώματα που εμπλέκονται.

${\begin{aligned}\iint _{\mathbb {R} ^{2}}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\lim _{x\to -\infty }\pi \left(e^{0}-e^{x}\right)\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}$

όπου ο παράγοντας του r είναι η Ιακωβιανή ορίζουσα που εμφανίζεται λόγω του μετασχηματισμού σε πολικές συντεταγμένες (r dr dθ είναι το τυπικό μέτρο στο επίπεδο, εκφρασμένο σε πολικές συντεταγμένες Γενίκευσης), και η αντικατάσταση περιλαμβάνει τη λήψη s = -r², οπότε ds = -2r dr.

Συνδυάζοντας αυτά τα αποτελέσματα $\left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,$

οπότε

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Πλήρης απόδειξη

Για να δικαιολογήσουμε τα καταχρηστικά διπλά ολοκληρώματα και την εξίσωση των δύο εκφράσεων, ξεκινάμε με μια προσεγγιστική συνάρτηση:

$I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx.$

Εάν το ολοκλήρωμα

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$

ήταν απολύτως συγκλίνουσα, θα είχαμε ότι η κύρια τιμή Κωσύ, δηλαδή το όριο

$\lim _{a\to \infty }I(a)$

συμπίπτει με

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.$

Για να διαπιστώσετε ότι αυτό ισχύει, ας θεωρήσουμε ότι

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|e^{-x^{2}}\right|dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx<\infty .$

Οπότε μπορούμε να υπολογίσουμε

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx$

λαμβάνοντας απλώς το όριο

$\lim _{a\to \infty }I(a).$

Παίρνοντας το τετράγωνο του $I(a)$ προκύπτει

${\begin{aligned}I(a)^{2}&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\,dx.\end{aligned}}$

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Φουμπίνι, το παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα μπορεί να θεωρηθεί ως ολοκλήρωμα εμβαδού

$\iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,d(x,y),$

που λαμβάνεται σε ένα τετράγωνο με κορυφές {(−a, a), (a, a), (a, −a), (−a, −a)} στο xy-επίπεδο.

Το Γκαουσιανό ολοκλήρωμα, επίσης γνωστό ως ολοκλήρωμα Όιλερ-Πουασόν, είναι το ολοκλήρωμα της γκαουσιανής συνάρτησης $f(x)=e^{-x^{2}}$ σε ολόκληρη την πραγματική γραμμή. Το ολοκλήρωμα πήρε το όνομά του από τον Γερμανό μαθηματικό Καρλ Φρίντριχ Γκάους και είναι

${\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}$ $\mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}$ $d(x,y)=|J(r,\theta )|d(r,\theta )=r\,d(r,\theta ).$ $\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta .$

( Βλ. σε πολικές συντεταγμένες από καρτεσιανές συντεταγμένες για βοήθεια σχετικά με τον πολικό μετασχηματισμό.)

Ολοκλήρωση,

$\pi \left(1-e^{-a^{2}}\right)<I^{2}(a)<\pi \left(1-e^{-2a^{2}}\right).$

Σύμφωνα με το Κριτήριο παρεμβολής, αυτό δίνει το γκαουσιανό ολοκλήρωμα

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.$

Με καρτεσιανές συντεταγμένες

Μια διαφορετική τεχνική, η οποία ανάγεται στον Λαπλάς (1812) , είναι η ακόλουθη. Έστω

${\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds.\end{aligned}}$

Δεδομένου ότι τα όρια του s ως y → ±∞ εξαρτώνται από το πρόσημο του x, απλοποιείται ο υπολογισμός με τη χρήση του γεγονότος ότι το e^−x2 είναι μια άρτια συνάρτηση και, επομένως, το ολοκλήρωμα σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς είναι απλώς το διπλάσιο του ολοκληρώματος από το μηδέν στο άπειρο. Δηλαδή,

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.$

Έτσι, στο εύρος ολοκλήρωσης, x ≥ 0, και οι μεταβλητές y και s έχουν τα ίδια όρια. Από αυτό προκύπτει:

${\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]\end{aligned}}$

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Φουμπίνι για να αλλάξουμε τη σειρά ολοκλήρωσης:

${\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {e^{-x^{2}\left(1+s^{2}\right)}}{-2\left(1+s^{2}\right)}}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2\arctan(s){\Big |}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}$

Επομένως, $I={\sqrt {\pi }}$, όπως αναμενόταν.

Με τη μέθοδο Λαπλάς

Στην προσέγγιση Λαπλάς, ασχολούμαστε μόνο με όρους μέχρι δεύτερης τάξης στο ανάπτυγμα Τέιλορ, οπότε θεωρούμε $e^{-x^{2}}\approx 1-x^{2}\approx (1+x^{2})^{-1}$.

Στην πραγματικότητα, αφού

$(1+t)e^{-t}\leq 1$ για όλα τα $t$, έχουμε τα ακριβή όρια:$1-x^{2}\leq e^{-x^{2}}\leq (1+x^{2})^{-1}$

Μπορούμε τότε να φέρουμε το όριο στο όριο της προσέγγισης Λαπλάς:

$\int _{[-1,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-1,1]}e^{-nx^{2}}dx\leq \int _{[-1,1]}(1+x^{2})^{-n}dx$

Δηλαδή,

$2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1-x^{2})^{n}dx\leq \int _{[-{\sqrt {n}},{\sqrt {n}}]}e^{-x^{2}}dx\leq 2{\sqrt {n}}\int _{[0,1]}(1+x^{2})^{-n}dx$

Με τριγωνομετρική αντικατάσταση, υπολογίζουμε ακριβώς αυτά τα δύο όρια: $2{\sqrt {n}}(2n)!!/(2n+1)!!$ και $2{\sqrt {n}}(\pi /2)(2n-3)!!/(2n-2)!!$

Λαμβάνοντας την τετραγωνική ρίζα του τύπου του Γουόλις,

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}{\frac {(2n)^{2}}{(2n-1)(2n+1)}}$

έχουμε ${\sqrt {\pi }}=2\lim _{n\to \infty }{\sqrt {n}}{\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!}}$, το επιθυμητό κατώτερο όριο. Ομοίως μπορούμε να πάρουμε το επιθυμητό άνω όριο. Αντίστροφα, αν υπολογίσουμε πρώτα το ολοκλήρωμα με μία από τις άλλες μεθόδους που προαναφέρθηκαν, θα λάβουμε μια απόδειξη του τύπου Γουόλις.

Σχέση με τη συνάρτηση γάμμα

Το ολοκλήρωμα είναι μια άρτια συνάρτηση,

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx$

Έτσι, μετά την αλλαγή της μεταβλητής $x={\sqrt {t}}$, αυτό μετατρέπεται στο ολοκλήρωμα Όιλερ

$2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}$

όπου ${\textstyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}$ είναι η συνάρτηση γάμμα. Αυτό δείχνει γιατί το παραγοντικό ενός μισού ακέραιου αριθμού είναι ένα ρητό πολλαπλάσιο του ${\textstyle {\sqrt {\pi }}}$.

$\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma \left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}},$

η οποία μπορεί να προκύψει αντικαθιστώντας $t=ax^{b}$ στο ολοκλήρωμα της συνάρτησης γάμμα για να πάρουμε ${\textstyle \Gamma (z)=a^{z}b\int _{0}^{\infty }x^{bz-1}e^{-ax^{b}}dx}$.

Γενικεύσεις

Ολοκλήρωμα μιας γκαουσιανής συνάρτησης

Το ολοκλήρωμα μιας αυθαίρετης γκαουσιανής συνάρτησης είναι

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.$

Μια εναλλακτική μορφή είναι

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}-c}.$

Αυτή η μορφή είναι χρήσιμη για τον υπολογισμό των προσδοκιών ορισμένων συνεχών κατανομών πιθανότητας που σχετίζονται με την κανονική κατανομή, όπως επί παραδείγματι η λογαριθμοκανονική κατανομή.

Μιγαδική μορφή

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{{\frac {1}{2}}it^{2}}dt=e^{i\pi /4}{\sqrt {2\pi }}$

και γενικότερα,

$\int _{\mathbb {R} ^{N}}e^{{\frac {1}{2}}ix^{T}Ax}dx=\det(A)^{-{\frac {1}{2}}}(e^{i\pi /4}{\sqrt {2\pi }})^{N}$

για κάθε θετικά ορισμένο συμμετρικό πίνακα $A$.

n-διάστατη και συναρτησιακή γενίκευση

Κύριο άρθρο: πολυμεταβλητή κανονική κατανομή

Ας υποθέσουμε ότι ο Α είναι ένας συμμετρικός θετικά ορισμένος (άρα αντιστρέψιμος) πίνακας ακριβείας n × n ο οποίος είναι ο αντίστροφος πίνακας του πίνακα συνδιακύμανσης. Τότε,

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}$

Ολοκληρώνοντας το τετράγωνο, αυτό γενικεύεται σε

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{\mathsf {T}}Ax+b^{\mathsf {T}}x+c\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}e^{{\frac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}A^{-1}b+c}$

Το γεγονός αυτό εφαρμόζεται στη μελέτη της πολυμεταβλητής κανονικής κατανομής.

Επίσης,

$\int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}$

όπου σ είναι μια μετάθεση του {1, ..., 2N} και ο επιπλέον παράγοντας στη δεξιά πλευρά είναι το άθροισμα πάνω σε όλα τα συνδυαστικά ζεύγη {1, ..., 2N} των N αντιγράφων του A^-1.

Εναλλακτικά,

$\int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum _{i,j=1}^{n}\left(A^{-1}\right)_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}$

για κάποια αναλυτική συνάρτηση f, υπό την προϋπόθεση ότι ικανοποιεί κάποια κατάλληλα όρια για την ανάπτυξή της και κάποια άλλα τεχνικά κριτήρια. (Λειτουργεί για ορισμένες συναρτήσεις και αποτυγχάνει για άλλες. Τα πολυώνυμα είναι μια χαρά.) Το εκθετικό επί ενός διαφορικού τελεστή νοείται ως σειρά δυνάμεων.

Ενώ τα συναρτησιακά ολοκληρώματα δεν έχουν αυστηρό ορισμό (ούτε καν έναν μη αυστηρό υπολογιστικό στις περισσότερες περιπτώσεις), μπορούμε να ορίσουμε ένα γκαουσιανό συναρτησιακό ολοκλήρωμα κατ' αναλογία με την περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων. Ωστόσο, εξακολουθεί να υπάρχει το πρόβλημα ότι $(2\pi )^{\infty }$ είναι άπειρο και επίσης, ο συναρτησιακός προσδιοριστής θα ήταν επίσης άπειρος γενικά. Αυτό μπορεί να τακτοποιηθεί αν εξετάσουμε μόνο τις αναλογίες:

${\begin{aligned}&{\frac {\displaystyle \int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\displaystyle \int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})\,d^{d}x_{2N+1}\,d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}\\[6pt]={}&{\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).\end{aligned}}$

Στον συμβολισμό DeWitt, η εξίσωση μοιάζει πανομοιότυπη με την περίπτωση των πεπερασμένων διαστάσεων.

n'-διάσταση με γραμμικό όρο

Αν ο A είναι πάλι ένας συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας, τότε (υποθέτοντας ότι όλα είναι διανύσματα στήλης)

$\int \exp \left(-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}\right)d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{\mathsf {T}}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{\mathsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.$

Ομοειδή ολοκληρώματα

$\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}$ $\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}$ $\int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{b^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{b}}}$ $\int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {n!}{2b^{n+1}}}$ $\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-bx^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2b^{\frac {n+1}{2}}}}$

όπου $n$ είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός

Ένας εύκολος τρόπος για να τα εξάγουμε αυτά είναι να τα διαφοροποιήσουμε κάτω από το πρόσημο του ολοκληρώματος

${\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\&=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[6pt]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}\\&={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}$

Θα μπορούσε κανείς επίσης να ολοκληρώσει κατά μέρη και να βρει μια αναδρομική σχέση για την επίλυση αυτού του προβλήματος.

Πολυώνυμα ανώτερης τάξης

Η εφαρμογή μιας γραμμικής αλλαγής της βάσης δείχνει ότι το ολοκλήρωμα του εκθετικού ενός ομογενούς πολυωνύμου σε n μεταβλητές μπορεί να εξαρτάται μόνο από τις SL(n)-παραλλαγές του πολυωνύμου. Μια τέτοια αναλλοίωτη είναι η διακριτική ικανότητα, τα μηδενικά της οποίας σηματοδοτούν τις ιδιομορφίες του ολοκληρώματος. Ωστόσο, το ολοκλήρωμα μπορεί επίσης να εξαρτάται από άλλες αναλλοίωτες.

Τα εκθετικά άλλων ζυγών πολυωνύμων μπορούν να επιλυθούν αριθμητικά χρησιμοποιώντας σειρές. Αυτές μπορούν να ερμηνευθούν ως τυπικοί υπολογισμοί όταν δεν υπάρχει σύγκλιση. Επί παραδείγματι, η λύση του ολοκληρώματος του εκθετικού ενός τεταρτοβάθμιου πολυωνύμου είναι

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx={\frac {1}{2}}e^{f}\sum _{\begin{smallmatrix}n,m,p=0\\n+p=0\mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {b^{n}}{n!}}{\frac {c^{m}}{m!}}{\frac {d^{p}}{p!}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}{(-a)^{\frac {3n+2m+p+1}{4}}}}.$

Η απαίτηση n + p = 0 mod 2 οφείλεται στο γεγονός ότι το ολοκλήρωμα από το -∞ έως το 0 συνεισφέρει έναν παράγοντα (-1)^n+p/2 σε κάθε όρο, ενώ το ολοκλήρωμα από το 0 έως το +∞ συνεισφέρει έναν παράγοντα 1/2 σε κάθε όρο. Αυτά τα ολοκληρώματα εμφανίζονται σε θέματα όπως η κβαντική θεωρία πεδίου.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών Αρχειοθετήθηκε 2025-06-01 στο Wayback Machine.
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Πολυώνυμο
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Neretin, Yu A. (2011). Lectures on Gaussian Integral Operators and Classical Groups. European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-080-7. 
• Stoof, Henk T. C.· Dickerscheid, Dennis B. M. (30 Νοεμβρίου 2008). Ultracold Quantum Fields. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4020-8763-9. 
• Path-integral methods and their applications. Allied Publishers. 2002. ISBN 978-81-7764-231-5. <
• Mosel, Ulrich (2004). Path Integrals in Field Theory: An Introduction. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-40382-1. 
• Altland, Alexander· Simons, Ben (2006). Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-84508-3. 
• Haake, Fritz (9 Μαρτίου 2013). Quantum Signatures of Chaos. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-662-04506-0. 
• Cooper, Fred· Khare, Avinash (2001). Supersymmetry in Quantum Mechanics. World Scientific. ISBN 978-981-02-4612-9. 
• Masujima, Michio (21 Νοεμβρίου 2008). Path Integral Quantization and Stochastic Quantization. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-87851-3. 
• Greiner, Walter· Reinhardt, Joachim (1996). Field Quantization. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-59179-5. 
• Teitelboim, Claudio (31 Ιουλίου 1988). Quantum Mechanics of Fundamental Systems 1. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-306-42759-6. 

Παραπομπές

• Moll, Victor Hugo (12 Νοεμβρίου 2014). Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik: the Proofs – Volume I. Series: Monographs and Research Notes in Mathematics. I (1 έκδοση). Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-48225-651-2. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2016. 
• Moll, Victor Hugo (27 Οκτωβρίου 2015). Special Integrals of Gradshteyn and Ryzhik: the Proofs – Volume II. Series: Monographs and Research Notes in Mathematics. II (1 έκδοση). Chapman and Hall/CRC Press. ISBN 978-1-48225-653-6. Ανακτήθηκε στις 12 Φεβρουαρίου 2016. 
• Toyesh Prakash Sharma, https://www.isroset.org/pdf_paper_view.php?paper_id=2214&7-ISROSET-IJSRMSS-05130.pdf
• Segal, I. E.· Kunze, R. A. (6 Δεκεμβρίου 2012). Integrals and Operators. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-66693-3. 
• «Integrals of Particular Functions: Proofs with Solved Examples». allen.in. Ανακτήθηκε στις 8 Μαρτίου 2025. 
• Meyer Hirsch [de], Integral Tables Or A Collection of Integral Formulae (Baynes and son, London, 1823) [English translation of Integraltafeln]
• Benjamin O. Pierce A short table of integrals - revised edition (Ginn & co., Boston, 1899)