Γκαουσιανή επιφάνεια

Μια κυλινδρική γκαουσιανή επιφάνεια χρησιμοποιείται συνήθως για τον υπολογισμό του ηλεκτρικού φορτίου ενός απείρως μακρού, ευθύγραμμου, «ιδανικού» σύρματος.

Μια γκαουσιανή επιφάνεια είναι μια κλειστή επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο μέσω της οποίας υπολογίζεται η ροή ενός διανυσματικού πεδίου, συνήθως του βαρυτικού, του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου. Είναι μια αυθαίρετη κλειστή επιφάνεια S = ∂V (το όριο μιας τρισδιάστατης περιοχής V)) που χρησιμοποιείται σε συνδυασμό με το νόμο του Γκάους για το αντίστοιχο πεδίο (νόμος του Γκάους, νόμος του Γκάους για το μαγνητισμό ή νόμος του Γκάους για τη βαρύτητα) εκτελώντας ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα, προκειμένου να υπολογιστεί η συνολική ποσότητα της πηγής που περικλείεται- π.χ., ποσότητα της βαρυτικής μάζας ως πηγή του βαρυτικού πεδίου ή ποσότητα του ηλεκτρικού φορτίου ως πηγή του ηλεκτροστατικού πεδίου, ή αντίστροφα: υπολογίστε τα πεδία για την κατανομή της πηγής.

Για λόγους συγκεκριμενοποίησης, στο παρόν λήμμα εξετάζεται το ηλεκτρικό πεδίο, καθώς αυτό είναι το πιο συχνό είδος πεδίου για το οποίο χρησιμοποιείται η έννοια της επιφάνειας.

Οι γκαουσιανές επιφάνειες επιλέγονται συνήθως προσεκτικά για να εκμεταλλευτούν τις συμμετρίες μιας κατάστασης ώστε να απλοποιηθεί ο υπολογισμός του επιφανειακού ολοκληρώματος. Εάν η γκαουσιανή επιφάνεια επιλεγεί έτσι ώστε για κάθε σημείο της επιφάνειας η συνιστώσα του ηλεκτρικού πεδίου κατά μήκος του κάθετου διανύσματος να είναι σταθερή, τότε ο υπολογισμός δεν θα απαιτεί δύσκολη ολοκλήρωση, καθώς οι σταθερές που προκύπτουν μπορούν να αφαιρεθούν από το ολοκλήρωμα. Ορίζεται ως η κλειστή επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο μέσω της οποίας υπολογίζεται η ροή του διανυσματικού πεδίου.

Κοινές Γκαουσιανές επιφάνειες

Παραδείγματα έγκυρων (αριστερά) και άκυρων (δεξιά) γκαουσιανών επιφανειών. Αριστερά: Ορισμένες έγκυρες γκαουσιανές επιφάνειες περιλαμβάνουν την επιφάνεια μιας σφαίρας, την επιφάνεια ενός τόρου και την επιφάνεια ενός κύβου. Πρόκειται για κλειστές επιφάνειες που περικλείουν πλήρως έναν τρισδιάστατο όγκο. Δεξιά: Μερικές επιφάνειες που ΔΕΝ μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως Γκαουσιανές επιφάνειες, όπως η επιφάνεια του δίσκου, η επιφάνεια του τετραγώνου ή η επιφάνεια του ημισφαιρίου. Δεν περικλείουν πλήρως έναν τρισδιάστατο όγκο και έχουν όρια (κόκκινο χρώμα). Ας σημειωθεί ότι τα άπειρα επίπεδα μπορούν να προσεγγίσουν τις γκαουσιανές επιφάνειες.

Οι περισσότεροι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν γκαουσιανές επιφάνειες ξεκινούν με την εφαρμογή του νόμου του Γκάους (για τον ηλεκτρισμό):

$\Phi _{E}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{S}$ $\mathbf {E} \;\cdot \mathrm {d} \mathbf {A} ={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}.$

Ως εκ τούτου Q_enc είναι το ηλεκτρικό φορτίο που περικλείεται από την γκαουσιανή επιφάνεια.

Αυτός είναι ο νόμος του Γκάους, που συνδυάζει το θεώρημα της απόκλισης και το νόμο του Κουλόμπ.

Σφαιρική επιφάνεια

Μια σφαιρική γκαουσιανή επιφάνεια χρησιμοποιείται κατά την εύρεση του ηλεκτρικού πεδίου ή της ροής που παράγεται από οποιοδήποτε από τα ακόλουθα::

• ένα σημειακό φορτίο
• ένα ομοιόμορφα κατανεμημένο σφαιρικό κέλυφος φορτίου
• οποιαδήποτε άλλη κατανομή φορτίου με σφαιρική συμμετρία

Η σφαιρική γκαουσιανή επιφάνεια επιλέγεται έτσι ώστε να είναι ομόκεντρη με την κατανομή φορτίου.

Ως παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα φορτισμένο σφαιρικό κέλυφος S αμελητέου πάχους, με ομοιόμορφα κατανεμημένο φορτίο Q και ακτίνα R. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το νόμο του Γκάους για να βρούμε το μέγεθος του προκύπτοντος ηλεκτρικού πεδίου E σε απόσταση r από το κέντρο του φορτισμένου κελύφους. Είναι αμέσως προφανές ότι για μια σφαιρική επιφάνεια Γκάους ακτίνας r < R το περιβαλλόμενο φορτίο είναι μηδέν: επομένως η καθαρή ροή είναι μηδέν και το μέγεθος του ηλεκτρικού πεδίου στην επιφάνεια Γκάους είναι επίσης 0 (αφήνοντας Q_A = 0 στο νόμο του Γκάους, όπου Q_A είναι το φορτίο που περικλείεται από την επιφάνεια Γκάους).

Με το ίδιο παράδειγμα, χρησιμοποιώντας μια μεγαλύτερη γκαουσιανή επιφάνεια έξω από το κέλυφος, όπου r > R ο νόμος του Γκάους θα παράγει ένα μη μηδενικό ηλεκτρικό πεδίο. Αυτό προσδιορίζεται ως εξής.

Η ροή έξω από τη σφαιρική επιφάνεια S είναι:

$\Phi _{E}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\partial S}$ $\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }=E\iint _{S}dA$

Η επιφάνεια της σφαίρας ακτίνας r είναι

$\iint _{S}dA=4\pi r^{2}$

που συνεπάγεται

$\Phi _{E}=E4\pi r^{2}$

Σύμφωνα με το νόμο του Γκάους η ροή είναι επίσης

$\Phi _{E}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}$

τέλος, εξισώνοντας την έκφραση για το Φ_E προκύπτει το μέγεθος του πεδίου E στη θέση r:

$E4\pi r^{2}={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {Q_{A}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}.$

Αυτό το μη τετριμμένο αποτέλεσμα δείχνει ότι οποιαδήποτε σφαιρική κατανομή φορτίου «συμπεριφέρεται ως σημειακό φορτίο» όταν παρατηρείται από το εξωτερικό της κατανομής φορτίου- αυτό είναι στην πραγματικότητα μια επαλήθευση του νόμου του Κουλόμπ. Και, όπως αναφέρθηκε, τυχόν εξωτερικά φορτία δεν μετράνε.

Κυλινδρική επιφάνεια

Μια κυλινδρική επιφάνεια Γκαουσιανής χρησιμοποιείται όταν βρίσκουμε το ηλεκτρικό πεδίο ή τη ροή που παράγεται από κάποιο από τα ακόλουθα:

• μια απείρως μακριά γραμμή ομοιόμορφου φορτίου
• ένα άπειρο επίπεδο ομοιόμορφου φορτίου
• ένας απείρως μακρύς κύλινδρος ομοιόμορφου φορτίου

Ως παράδειγμα «πεδίο κοντά σε άπειρη γραμμή φορτίου» δίνεται παρακάτω,

Ας θεωρήσουμε ένα σημείο P σε απόσταση r από ένα άπειρο γραμμικό φορτίο με πυκνότητα φορτίου (φορτίο ανά μονάδα μήκους) λ. Φανταστείτε μια κλειστή επιφάνεια με τη μορφή κυλίνδρου, του οποίου ο άξονας περιστροφής είναι το γραμμικό φορτίο. Αν h είναι το μήκος του κυλίνδρου, τότε το φορτίο που περικλείεται στον κύλινδρο είναι

$q=\lambda h,$

όπου q είναι το φορτίο που περικλείεται στην επιφάνεια Γκάους. Υπάρχουν τρεις επιφάνειες a, b και c όπως φαίνεται στο σχήμα. Η περιοχή του διαφορικού διανύσματος είναι dA, σε κάθε επιφάνεια a, b και c.

Κλειστή επιφάνεια με τη μορφή κυλίνδρου που έχει γραμμική φόρτιση στο κέντρο και παρουσιάζει διαφορικά εμβαδά dA και των τριών επιφανειών.

Το πέρασμα της ροής αποτελείται από τις τρεις συνεισφορές:

$\Phi _{E}=\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{A}$ $\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} =\iint _{a}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{b}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} +\iint _{c}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A}$

Για τις επιφάνειες a και b, οι E και dA θα είναι κάθετες. Για την επιφάνεια c, E και dA θα είναι παράλληλες, όπως φαίνεται στο σχήμα.

${\begin{aligned}\Phi _{E}&=\iint _{a}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{b}EdA\cos 90^{\circ }+\iint _{c}EdA\cos 0^{\circ }\\&=E\iint _{c}dA\end{aligned}}$

Η επιφάνεια του κυλίνδρου είναι

$\iint _{c}dA=2\pi rh$

που συνεπάγεται

$\Phi _{E}=E2\pi rh.$

Σύμφωνα με το νόμο του Γκάους

$\Phi _{E}={\frac {q}{\varepsilon _{0}}}$

Εξισώνοντας για Φ_E προκύπτει

$E2\pi rh={\frac {\lambda h}{\varepsilon _{0}}}\quad \Rightarrow \quad E={\frac {\lambda }{2\pi \varepsilon _{0}r}}$

Γκαουσιανό κουτί (pillbox)

Η επιφάνεια αυτή χρησιμοποιείται συχνότερα για τον προσδιορισμό του ηλεκτρικού πεδίου που οφείλεται σε ένα άπειρο φύλλο φορτίου με ομοιόμορφη πυκνότητα φορτίου ή σε μια πλάκα φορτίου με κάποιο πεπερασμένο πάχος. Το κουτί με τα χάπια (pillbox) έχει κυλινδρικό σχήμα και μπορεί να θεωρηθεί ότι αποτελείται από τρία στοιχεία: τον δίσκο στο ένα άκρο του κυλίνδρου με εμβαδόν πR² ο δίσκος στο άλλο άκρο με ίσο εμβαδόν και η πλευρά του κυλίνδρου. Το άθροισμα της ηλεκτρικής ροής μέσω κάθε συνιστώσας της επιφάνειας είναι ανάλογο του κλειστού φορτίου του pillbox, όπως υπαγορεύει ο νόμος του Γκάους. Επειδή το πεδίο κοντά στο φύλλο μπορεί να προσεγγιστεί ως σταθερό, το pillbox προσανατολίζεται με τέτοιο τρόπο ώστε οι γραμμές του πεδίου να διαπερνούν τους δίσκους στα άκρα του πεδίου υπό κάθετη γωνία και η πλευρά του κυλίνδρου να είναι παράλληλη με τις γραμμές του πεδίου.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Τριγωνομετρική συνάρτηση
• Συνάρτηση γάμμα
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ρητή συνάρτηση
• Κατάλογοι ολοκληρωμάτων
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των Γκαουσιανών συναρτήσεων
• Κατάλογος ολοκληρωμάτων των υπερβολικών συναρτήσεων
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Chen, Wai Kai (16 Νοεμβρίου 2004). The Electrical Engineering Handbook. Elsevier. ISBN 978-0-08-047748-0. 
• Mehta, V. K. Mehta & Rohit. S. Chands Principle Of Physics -XII. S. Chand Publishing. ISBN 978-81-219-1769-8. 
• Βιβλία Google. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-80127-6. 
• Lerner, Lawrence S. (1997). Physics for Scientists and Engineers. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-0460-5. 
• Halliday, David· Resnick, Robert (13 Αυγούστου 2013). Fundamentals of Physics, Extended. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-23072-5. 
• Halliday, David· Resnick, Robert (20 Απριλίου 2010). Physics, Volume 2. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-40194-0. 
• Yadav, P. (2006). Engineering Physics. Discovery Publishing House. ISBN 978-81-8356-074-0. 
• Halliday, David· Resnick, Robert (5 Οκτωβρίου 2021). Fundamentals of Physics, Volume 2. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-80126-9. 
• Halliday, David· Resnick, Robert (2023). Principles of Physics. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-82061-1. 
• Yu, Wenjian· Mascagni, Michael (2 Σεπτεμβρίου 2022). Monte Carlo Methods for Partial Differential Equations With Applications to Electronic Design Automation. Springer Nature. ISBN 978-981-19-3250-2. 

Παραπομπές

• Purcell, Edward M. (1985). Electricity and Magnetism. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004908-4. 
• Jackson, John D. (1998). Classical Electrodynamics (3rd ed.). Wiley. ISBN 0-471-30932-X. 
• Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I, Springer-Verlag, ISBN 3-540-41129-1 . In particular chapters III and IV.
• Burton, David M. (2011), The History of Mathematics: An Introduction (7th έκδοση), McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-338315-6 
• Cajori, Florian (1929), A History Of Mathematical Notations Volume II, Open Court Publishing, ISBN 978-0-486-67766-8, https://archive.org/details/historyofmathema00cajo_0/page/247 
• Dahlquist, Germund; Björck, Åke (2008), «Chapter 5: Numerical Integration», Numerical Methods in Scientific Computing, Volume I, Philadelphia: SIAM, http://www.mai.liu.se/~akbjo/NMbook.html 
• Feller, William (1966), An introduction to probability theory and its applications, John Wiley & Sons, https://archive.org/details/introductiontopr02fell_0 
• Sharma, R. R.; Zohuri, Bahman (1977). «A general method for an accurate evaluation of exponential integrals E₁(x), x>0». J. Comput. Phys. 25 (2): 199–204. doi:10.1016/0021-9991(77)90022-5. Bibcode: 1977JCoPh..25..199S. 
• Kölbig, K. S. (1983). «On the integral exp(−μt)t^ν−1log^mt dt». Math. Comput. 41 (163): 171–182. doi:10.1090/S0025-5718-1983-0701632-1. 
• Milgram, M. S. (1985). «The generalized integro-exponential function». Mathematics of Computation 44 (170): 443–458. doi:10.1090/S0025-5718-1985-0777276-4. . 
• Misra, Rama Dhar; Born, M. (1940). «On the Stability of Crystal Lattices. II». Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 36 (2): 173. doi:10.1017/S030500410001714X. Bibcode: 1940PCPS...36..173M. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1988). «On the evaluation of generalized exponential integrals E_ν(x)». J. Comput. Phys. 78 (2): 278–287. doi:10.1016/0021-9991(88)90050-2. Bibcode: 1988JCoPh..78..278C. 
• Chiccoli, C.; Lorenzutta, S.; Maino, G. (1990). «Recent results for generalized exponential integrals». Computer Math. Applic. 19 (5): 21–29. doi:10.1016/0898-1221(90)90098-5. https://www.openaccessrepository.it/record/135675. 
• MacLeod, Allan J. (2002). «The efficient computation of some generalised exponential integrals». J. Comput. Appl. Math. 148 (2): 363–374. doi:10.1016/S0377-0427(02)00556-3. Bibcode: 2002JCoAM.148..363M. 
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0