Γινόμενο Κωσύ

Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στη μαθηματική ανάλυση, το γινόμενο Κωσύ είναι η διακριτή συνέλιξη δύο άπειρων σειρών. Πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ.

Ορισμοί

Το γινόμενο Κωσύ μπορεί να εφαρμοστεί σε άπειρες σειρές ή δυναμοσειρές.Όταν εφαρμόζεται σε πεπερασμένες ακολουθίες ή πεπερασμένες σειρές, αυτό μπορεί να θεωρηθεί απλώς ως μια ειδική περίπτωση ενός γινομένου σειρών με πεπερασμένο αριθμό μη μηδενικών συντελεστών (βλ. διακριτή συνέλιξη).

Τα ζητήματα σύγκλισης εξετάζονται στην επόμενη ενότητα.

Γινόμενο Κωσύ δύο άπειρων σειρών

Έστω ${\textstyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ και ${\textstyle \sum _{j=0}^{\infty }b_{j}}$ δύο άπειρες σειρές με σύνθετους όρους. Το γινόμενο Κωσύ αυτών των δύο άπειρων σειρών ορίζεται από μια διακριτή συνέλιξη ως εξής:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}$     όπου     $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

Γινόμενο Κωσύ δύο δυναμοσειρών

Θεωρήστε τις ακόλουθες δύο δυναμοσειρές

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}$     και     $\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}$

με μιγαδικούς συντελεστές $\{a_{i}\}$ και $\{b_{j}\}$. Το γινόμενο Κωσύ αυτών των δύο δυναμοσειρών ορίζεται από μια διακριτή συνέλιξη ως εξής:

$\left(\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}x^{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}x^{j}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }c_{k}x^{k}$     όπου     $c_{k}=\sum _{l=0}^{k}a_{l}b_{k-l}$.

Σύγκλιση και θεώρημα Μέρτενς

Έστω (a_n)_n≥0 και (b_n)_n≥0 πραγματικές ή μιγαδικές ακολουθίες. αποδείχθηκε από τον Φραντς Μέρτενς ότι, αν οι σειρές ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ συγκλίνουν στο A και ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}}$ συγκλίνουν στο B, και τουλάχιστον μία από αυτές συγκλίνει απόλυτα, τότε το γινόμενο Κωσύ τους συγκλίνει στο AB. Το θεώρημα εξακολουθεί να ισχύει σε μια άλγεβρα Μπάναχ (βλέπε πρώτη γραμμή της ακόλουθης απόδειξης).

Δεν αρκεί και οι δύο σειρές να είναι συγκλίνουσες- αν και οι δύο σειρές είναι υπό συνθήκη συγκλίνουσες, το γινόμενο Κωσύ δεν χρειάζεται να συγκλίνει προς το γινόμενο των δύο σειρών, όπως δείχνει το ακόλουθο παράδειγμα:

Παράδειγμα

Εξετάστε τις δύο εναλλασσόμενες σειρές με

$a_{n}=b_{n}={\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n+1}}}\,,$

οι οποίες συγκλίνουν μόνο υπό όρους (η απόκλιση της σειράς των απόλυτων τιμών προκύπτει από το τεστ άμεσης σύγκρισης και την απόκλιση της αρμονικής σειράς). Οι όροι του γινομένου Κωσύ τους δίνονται ως εξής

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{\sqrt {k+1}}}\cdot {\frac {(-1)^{n-k}}{\sqrt {n-k+1}}}=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{\sqrt {(k+1)(n-k+1)}}}$

για κάθε ακέραιο n ≥ 0. Αφού για κάθε k ∈ {0, 1, ... , n} έχουμε τις ανισότητες k + 1 ≤ n + 1 και n - k + 1 ≤ n + 1, προκύπτει για την τετραγωνική ρίζα στον παρονομαστή ότι √(k + 1)(n - k + 1)} ≤ n +1, επομένως, επειδή υπάρχουν n + 1 αθροίσματα,

$|c_{n}|\geq \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{n+1}}=1$

για κάθε ακέραιο n ≥ 0. Επομένως, το c_n δεν συγκλίνει στο μηδέν καθώς n → ∞ επομένως η σειρά του (c_n)_n≥0 αποκλίνει με τον όρο test.

Απόδειξη του θεωρήματος Μέρτενς

Για απλοποίηση, θα το αποδείξουμε για μιγαδικούς αριθμούς. Ωστόσο, η απόδειξη που πρόκειται να δώσουμε είναι τυπικά πανομοιότυπη για μια αυθαίρετη άλγεβρα Μπάναχ (δεν απαιτείται καν αντιμεταθετικότητα ή συσχετιστικότητα).

Υποθέστε χωρίς απώλεια γενικότητας ότι η σειρά ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ συγκλίνει απόλυτα. Ορίζουμε τα μερικά αθροίσματα

$A_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i},\quad B_{n}=\sum _{i=0}^{n}b_{i}\quad {\text{and}}\quad C_{n}=\sum _{i=0}^{n}c_{i}$

με $c_{i}=\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\,.$

τότε

$C_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}B_{i}$

με αναδιάταξη, επομένως

$C_{n}=A_{n}B+\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B)\,.$

(1)

Δεδομένου ε > 0. ότι το ${\textstyle \sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|<\infty }$ συγκλίνει απόλυτα και ότι το B_n συγκλίνει στο B καθώς το n → ∞ υπάρχει ένας ακέραιος N τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους n ≥ N,

$|B_{n}-B|\leq {\frac {\varepsilon /3}{\sum _{k\in \mathbb {N} }|a_{k}|+1}}$

(2)

(αυτό είναι το μόνο σημείο όπου χρησιμοποιείται η απόλυτη σύγκλιση). Εφόσον η σειρά του (a_n)_n≥0 συγκλίνει, το μεμονωμένο a_n πρέπει να συγκλίνει στο 0 με τον έλεγχο του όρου. Συνεπώς, υπάρχει ένας ακέραιος M τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους n ≥ M,

$|a_{n}|\leq {\frac {\varepsilon }{3N(\max _{i\in \{0,\dots ,N-1\}}|B_{i}-B|+1)}}\,.$

(3)

Επίσης, δεδομένου ότι η A_n συγκλίνει στην A καθώς n → ∞, υπάρχει ένας ακέραιος L τέτοιος ώστε, για όλους τους ακέραιους n ≥ L,

$|A_{n}-A|\leq {\frac {\varepsilon /3}{|B|+1}}\,.$

(4)

Στη συνέχεια, για όλους τους ακέραιους n ≥ max{L, M + N}, χρησιμοποιήστε την αναπαράσταση (1) για C_n, χωρίστε το άθροισμα σε δύο μέρη, χρησιμοποιήστε την τριγωνική ανισότητα για την απόλυτη τιμή, και τέλος χρησιμοποιήστε τις τρεις εκτιμήσεις (2), (3) και (4) για να δείξετε ότι

${\begin{aligned}|C_{n}-AB|&={\biggl |}(A_{n}-A)B+\sum _{i=0}^{n}a_{n-i}(B_{i}-B){\biggr |}\\&\leq {}\underbrace {|A_{n}-A|\,|B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (4)}}}+\sum _{i=0}^{N-1}\underbrace {|a_{\underbrace {\scriptstyle n-i} _{\scriptscriptstyle \geq M}}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (3)}}}+{}\underbrace {\sum _{i=N}^{n}|a_{n-i}|\,|B_{i}-B|} _{\leq \,\varepsilon /3{\text{ by (2)}}}\leq \varepsilon \,.\end{aligned}}$

Σύμφωνα με τον ορισμό της συγκλίνουσας σειράς, C_n → AB όπως απαιτείται.

Θεώρημα του Σεζάρο

Σε περιπτώσεις όπου οι δύο ακολουθίες είναι συγκλίνουσες αλλά όχι απόλυτα συγκλίνουσες, το γινόμενο Κωσύ εξακολουθεί να είναι αθροιστικό του Σεζάρο: Ειδικότερα:

Αν ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$, ${\textstyle (b_{n})_{n\geq 0}}$ είναι πραγματικές ακολουθίες με ${\textstyle \sum a_{n}\to A}$ and ${\textstyle \sum b_{n}\to B}$ τότε

${\frac {1}{N}}\left(\sum _{n=1}^{N}\sum _{i=1}^{n}\sum _{k=0}^{i}a_{k}b_{i-k}\right)\to AB.$

Αυτό μπορεί να γενικευτεί στην περίπτωση που οι δύο ακολουθίες δεν είναι συγκλίνουσες αλλά απλώς αθροιστικές του Σεζάρο:

Θεώρημα

Για ${\textstyle r>-1}$ και ${\textstyle s>-1}$, ας υποθέσουμε ότι η ακολουθία $(a_{n})_{n\geq 0}$ είναι $(C,\,r)$ αθροιζόμενη με άθροισμα A και ${\textstyle (a_{n})_{n\geq 0}}$ είναι ${\textstyle (C,\;s)}$ αθροιζόμενη με άθροισμα B. Τότε το γινόμενό τους Κωσύ είναι ${\textstyle (C,\;r+s+1)}$ αθροιζόμενο με άθροισμα AB.

Παραδείγματα

• Για ορισμένα ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$, let ${\textstyle a_{n}=x^{n}/n!}$ και ${\textstyle b_{n}=y^{n}/n!}$. Τότε

$c_{n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {y^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {1}{n!}}\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}x^{i}y^{n-i}={\frac {(x+y)^{n}}{n!}}$από τον ορισμό και τον διωνυμικό τύπο. Δεδομένου ότι, τυπικά ${\textstyle \exp(x)=\sum a_{n}}$ και ${\textstyle \exp(y)=\sum b_{n}}$ δείξαμε ότι ${\textstyle \exp(x+y)=\sum c_{n}}$. Δεδομένου ότι το όριο του γινομένου Κωσύ δύο απολύτως συγκλίνουσας σειράς είναι ίσο με το γινόμενο των ορίων αυτών των σειρών, έχουμε αποδείξει τον τύπο ${\textstyle \exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)}$ for all ${\textstyle x,y\in \mathbb {R} }$.

• Ως δεύτερο παράδειγμα, έστω ${\textstyle a_{n}=b_{n}=1}$ για όλα τα ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$. Τότε ${\textstyle c_{n}=n+1}$ για όλα τα $n\in \mathbb {N}$ οπότε το γινόμενο Κωσύ $\sum c_{n}=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$ δεν συγκλίνει.

Γενικεύσεις

Όλα τα παραπάνω ισχύουν για ακολουθίες στο ${\textstyle \mathbb {C} }$ (μιγαδικοί αριθμοί). Το γινόμενο Κωσύ μπορεί να οριστεί για σειρές στους χώρους ${\textstyle \mathbb {R} ^{n}}$ (Ευκλείδειοι χώροι) όπου ο πολλαπλασιασμός είναι το εσωτερικό γινόμενο. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε το αποτέλεσμα ότι αν δύο σειρές συγκλίνουν απόλυτα, τότε το γινόμενο Κωσύ τους συγκλίνει απόλυτα στο εσωτερικό γινόμενο των ορίων.

Γινόµενο πεπερασµένου αριθµού άπειρων σειρών

Έστω $n\in \mathbb {N}$ τέτοιο ώστε $n\geq 2$ (στην πραγματικότητα τα παρακάτω ισχύουν και για $n=1$ αλλά η δήλωση γίνεται τετριμμένη σε αυτή την περίπτωση) και έστω ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }a_{n,k_{n}}}$ άπειρες σειρές με μιγαδικούς συντελεστές, από τις οποίες όλες εκτός από την $n$th συγκλίνουν απόλυτα, και η $n$th συγκλίνει. Τότε το όριο

$\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}$

υπάρχει και έχουμε:

$\prod _{j=1}^{n}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)=\lim _{N\to \infty }\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}$

Απόδειξη

Επειδή

$\forall N\in \mathbb {N} :\sum _{k_{1}+\ldots +k_{n}\leq N}a_{1,k_{1}}\cdots a_{n,k_{n}}=\sum _{k_{1}=0}^{N}\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}$

η δήλωση μπορεί να αποδειχθεί με επαγωγή επί του $n$: Η περίπτωση για $n=2$ είναι πανομοιότυπη με τον ισχυρισμό για το γινόμενο Κωσύ. Αυτή είναι η επαγωγική μας βάση.

Το βήμα επαγωγής έχει ως εξής: Έστω ότι ο ισχυρισμός είναι αληθής για ένα $n\in \mathbb {N}$ τέτοιο ώστε$n\geq 2$, και έστω ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{1,k_{1}},\ldots ,\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }a_{n+1,k_{n+1}}}$ να είναι άπειρες σειρές με μιγαδικούς συντελεστές, από τις οποίες όλες εκτός από την $n+1$-th συγκλίνουν απόλυτα και η $n+1$-οστή συγκλίνει. Εφαρμόζουμε πρώτα την υπόθεση επαγωγής στη σειρά ${\textstyle \sum _{k_{1}=0}^{\infty }|a_{1,k_{1}}|,\ldots ,\sum _{k_{n}=0}^{\infty }|a_{n,k_{n}}|}$. Λαμβάνουμε ότι η σειρά

$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}|a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}|$

συγκλίνει, και επομένως, σύμφωνα με την τριγωνική ανισότητα και το κριτήριο του σάντουιτς, η σειρά

$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\left|\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}\right|$

συγκλίνει, και ως εκ τούτου η σειρά

$\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}$

συγκλίνει απόλυτα. Επομένως, με την υπόθεση της επαγωγής, με αυτό που απέδειξε ο Mertens και με τη μετονομασία των μεταβλητών, έχουμε:

${\begin{aligned}\prod _{j=1}^{n+1}\left(\sum _{k_{j}=0}^{\infty }a_{j,k_{j}}\right)&=\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:a_{k_{n+1}}}\right)\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}=0}^{k_{n-1}}a_{1,k_{n}}a_{2,k_{n-1}-k_{n}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{2}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{n+1}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{n+1}}} ^{=:b_{k_{n+1}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{1}}\sum _{k_{4}=0}^{k_{3}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{1}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{1}}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }\overbrace {a_{n+1,k_{2}}} ^{=:b_{n+1,k_{2}}=:b_{k_{2}}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }a_{k_{1}}\right)\left(\sum _{k_{2}=0}^{\infty }b_{k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{k_{2}}b_{k_{1}-k_{2}}\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\left(\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\right)\left(\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\right)\\&=\left(\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}\overbrace {\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n}+1=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}} ^{=:a_{k_{2}}}\overbrace {a_{n+1,k_{1}-k_{2}}} ^{=:b_{k_{1}-k_{2}}}\right)\\&=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\sum _{k_{2}=0}^{k_{1}}a_{n+1,k_{1}-k_{2}}\sum _{k_{3}=0}^{k_{2}}\cdots \sum _{k_{n+1}=0}^{k_{n}}a_{1,k_{n+1}}a_{2,k_{n}-k_{n+1}}\cdots a_{n,k_{2}-k_{3}}\end{aligned}}$

Επομένως, ο τύπος ισχύει και για το $n+1$.

Σχέση με τη συνέλιξη συναρτήσεων

Μια πεπερασμένη ακολουθία μπορεί να θεωρηθεί ως μια άπειρη ακολουθία με μόνο πεπερασμένους μη μηδενικούς όρους, ή με άλλα λόγια ως μια συνάρτηση $f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$ με πεπερασμένη υποστήριξη. Για οποιεσδήποτε μιγαδικής αξίας συναρτήσεις f, g στο $\mathbb {N}$ με πεπερασμένη υποστήριξη, μπορούμε να πάρουμε τη συνέλιξή τους:

$(f*g)(n)=\sum _{i+j=n}f(i)g(j).$

Τότε ${\textstyle \sum (f*g)(n)}$ είναι το ίδιο πράγμα με το γινόμενο Κωσύ του ${\textstyle \sum f(n)}$ και ${\textstyle \sum g(n)}$.

Γενικότερα, δεδομένου ενός μονοειδούς S, μπορεί κανείς να σχηματίσει την άλγεβρα ημι-ομάδων $\mathbb {C} [S]$ του S, με τον πολλαπλασιασμό να δίνεται από τη συνέλιξη. Αν πάρουμε, επί παραδείγματι, $S=\mathbb {N} ^{d}$, τότε ο πολλαπλασιασμός στο $\mathbb {C} [S]$ είναι μια γενίκευση του γινομένου Κωσύ σε υψηλότερη διάσταση.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Συγκλίνουσα σειρά
• Κανονική κατανομή
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Διαφορική γεωμετρία
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Θεωρία αναπαραστάσεων
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Ένα προς ένα
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Προβολικός χώρος
• Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Μιγαδικός αριθμός
• Τυχαία μεταβλητή
• Ακέραιος αριθμός

Βιβλιογραφία

• Sohrab, Houshang H. (15 Νοεμβρίου 2014). Basic Real Analysis. Springer. ISBN 978-1-4939-1841-6. 
• Hijab, O. (1997). Introduction to Calculus and Classical Analysis. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-94926-0. 
• Lewin, Jonathan (13 Ιανουαρίου 2003). An Interactive Introduction to Mathematical Analysis Hardback with CD-ROM. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-81589-5. 
• Burn, R. P. (28 Αυγούστου 2000). Numbers and Functions: Steps Into Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78836-6. 
• Denlinger, Charles (28 Ιανουαρίου 2011). Elements of Real Analysis. Jones & Bartlett Learning. ISBN 978-0-7637-7947-4. 
• Goyal, P. Prakash; Manish (2006). Solutions to Analysis. Laxmi Publications. ISBN 978-81-7008-874-5. 
• Denlinger, Charles G. (8 Μαΐου 2010). Elements of Real Analysis. Jones & Bartlett Publishers. ISBN 978-1-4496-5993-6. 
• Dence, Thomas P.· Dence, Joseph B. (2 Δεκεμβρίου 2009). Advanced Calculus: A Transition to Analysis. Academic Press. ISBN 978-0-08-095932-0. 
• Krantz, Steven G. (20 Οκτωβρίου 2014). Foundations of Analysis. CRC Press. ISBN 978-1-4822-2074-2. 
• Krantz, Steven (9 Νοεμβρίου 2017). Transition to Analysis with Proof. CRC Press. ISBN 978-1-351-66294-9. 
• Curtiss, J. H. (29 Ιουλίου 2021). Introduction to Functions of a Complex Variable. CRC Press. ISBN 978-1-000-44768-2. 
• Andrews, Larry C. (1998). Special Functions of Mathematics for Engineers. SPIE Press. ISBN 978-0-8194-2616-1. 

Παραπομπές

• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Addison Wesley, σελ. 204, ISBN 978-0-201-00288-1 .

• Bloch, Ethan D. (2011), The Real Numbers and Real Analysis, Springer, ISBN 9780387721767, https://books.google.com/books?id=r0qcU9U2_I4C&q=%22Cauchy+product%22 .

• Canuto, Claudio; Tabacco, Anita (2015), Mathematical Analysis II (2nd έκδοση), Springer .

• Friedman, Menahem; Kandel, Abraham (2011), Calculus Light, Springer, ISBN 9783642178481, https://books.google.com/books?id=xGg52Cv9RsgC&q=%22Cauchy+product%22 .

• Ghorpade, Sudhir R.; Limaye, Balmohan V. (2006), A Course in Calculus and Real Analysis, Springer .

• Hardy, G. H. (1949), Divergent Series, Oxford University Press, σελ. 227–229 .

• Hijab, Omar (2011), Introduction to Calculus and Classical Analysis (3rd έκδοση), Springer .

• Montesinos, Vicente; Zizler, Peter; Zizler, Václav (2015), An Introduction to Modern Analysis, Springer .

• Oberguggenberger, Michael; Ostermann, Alexander (2011), Analysis for Computer Scientists, Springer .

• Pedersen, Steen (2015), From Calculus to Analysis, Springer, doi:10.1007/978-3-319-13641-7, ISBN 978-3-319-13640-0 .

• Ponnusamy, S. (2012), Foundations of Mathematical Analysis, Birkhäuser, ISBN 9780817682927, https://books.google.com/books?id=flwN3psxt_kC&q=%22Cauchy+product%22 .

• Pugh, Charles C. (2015), Real Mathematical Analysis (2nd έκδοση), Springer .

• Sohrab, Houshang H. (2014), Basic Real Analysis (2nd έκδοση), Birkhäuser .
• Rozeboom, W. W. (1966). «Scaling theory and the nature of measurement». Synthese 16 (2): 170–233. doi:10.1007/bf00485356. 
• Stevens, S. S. (June 7, 1946). «On the Theory of Scales of Measurement». Science 103 (2684): 677–680. doi:10.1126/science.103.2684.677. PMID 17750512. Bibcode: 1946Sci...103..677S. http://www.academic.cmru.ac.th/phraisin/au/prasit/stevens/Stevens_Measurement.pdf. Ανακτήθηκε στις 16 September 2010. 
• Stevens, S. S. (1951). Mathematics, measurement and psychophysics. In S. S. Stevens (Ed.), Handbook of experimental psychology (pp. 1–49). New York: Wiley.
• Erdélyi, T. (2009). «The Remez inequality for linear combinations of shifted Gaussians». Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 146: 523–530. doi:10.1017/S0305004108001849. 
• Trefethen, L.N. (2020). Approximation theory and approximation practice. SIAM. ISBN 978-1-61197-594-9.  Ch. 1–6 of 2013 edition

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0