Γεωστροφική κίνηση

Σχηματική αναπαράσταση ροής γύρω από περιοχή χαμηλής πιέσεως, που αντιστοιχεί στην ατμόσφαιρα στο Βόρειο Ημισφαίριο της Γης. Η φυγόκεντρη δύναμη είναι αμελητέα. Η δύναμη βαθμίδας πιέσεως συμβολίζεται με τα μπλε βέλη, ενώ η επιτάχυνση Coriolis (πάντοτε κάθετη προς την ταχύτητα) με τα κόκκινα βέλη.

Γεωστροφική κίνηση ή γεωστροφική ροή είναι η ροή ενός ρευστού σε διεύθυνση που αποκλίνει από την κάθετη στις ισοβαρείς γραμμές/επιφάνειες, σε ένα περιστρεφόμενο σύστημα, όπως είναι η Γη. Η αποκλίνουσα κίνηση στη ροή αυτή παράγεται ως αποτέλεσμα των δυνάμεων Coriolis, που οφείλονται αποκλειστικά και μόνο στην περιστροφή του συστήματος (όπως της Γης γύρω από τον άξονά της), από όπου και το επίθετο «γεωστροφικός». Η θεωρητική γεωστροφική κίνηση αντιστοιχεί στην ακριβή ισορροπία ανάμεσα στη δύναμη Coriolis και στη δύναμη που προκύπτει από τη διαφορά πιέσεως (βαθμίδα πιέσεως). Η συνθήκη αυτή ονομάζεται γεωστροφική ισορροπία. Παρότι οι παρατηρούμενες πραγματικές κινήσεις των ρευστών δεν είναι ποτέ αυστηρά γεωστροφικές, οι μεγάλης κλίμακας ωκεάνιες και ατμοσφαιρικές κινήσεις προσεγγίζουν αρκετά την παραπάνω εξιδανίκευση, δηλαδή η γεωστροφική ροή αντιστοιχεί συνήθως στα πραγματικά ρεύματα των ωκεανών ή στην πραγματική κίνηση των αέριων μαζών γύρω από μεγάλα βαρομετρικά χαμηλά συστήματα με ένα σφάλμα της τάξεως του 10%, υπό την προϋπόθεση ότι η σύγκριση αφορά μεγάλες εκτάσεις. Η διαφορά οφείλεται στην ύπαρξη και άλλων δυνάμεων, όπως οι τριβές με το έδαφος. Επίσης στις περιοχές κοντά στον ισημερινό της Γης, όπου οι δυνάμεις Coriolis είναι πολύ μικρές, ο άνεμος κινείται προς τις περιοχές χαμηλής πιέσεως: Οι τροπικοί τυφώνες δημιουργούνται από την εκτροπή ανοδικών ρευμάτων, καθώς στην κατακόρυφη κίνηση η Coriolis είναι μέγιστη στις τροπικές περιοχές, μια εκτροπή που δεν συμπεριλαμβάνεται στον ορισμό της γεωστροφικής ροής, η οποία αφορά οριζόντιες κινήσεις. H γεωστροφική κίνηση ισοδυναμεί με ένα αδρανειακό κύμα μηδενικής συχνότητας.

Αν η Γη δεν περιστρεφόταν περί τον άξονά της, η δύναμη εξαιτίας διαφορών πιέσεων θα υποχρέωνε τον άνεμο να κινηθεί κατευθείαν από τις περιοχές υψηλότερων πιέσεων προς εκείνες με χαμηλότερες πιέσεις, διασχίζοντας κάθετα τις ισοβαρείς γραμμές. Επειδή όμως η Γη περιστρέφεται, η επίδραση της δυνάμεως Coriolis συνεπάγεται την εκτροπή της κατευθύνσεως του ανέμου μέχρι του σημείου η ροή να είναι παράλληλη προς τις ισοβαρείς, οπότε επέρχεται η ισορροπία. Η εκτροπή γίνεται πάντοτε προς τα δεξιά (όπως φαίνεται από επάνω) στο Βόρειο Ημισφαίριο της Γης και προς τα αριστερά στο Νότιο Ημισφαίριο της Γης.

Γεωστροφικά ρεύματα

Η ροή των υδάτινων μαζών των ωκεανών είναι σε μεγάλο βαθμό γεωστροφική. Μετρήσεις της πυκνότητας του νερού ως συνάρτηση του βάθους στον ωκεανό χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση των γεωστροφικών θαλάσσιων ρευμάτων. Υψομετρικές μετρήσεις ακριβείας από τεχνητούς δορυφόρους που μετρούν μικρές ανωμαλίες στο ύψος της θαλάσσιας επιφανείας επιτρέπουν επίσης να υπολογισθεί ένα γεωστροφικό ρεύμα στην επιφάνεια.

Μαθηματική περιγραφή

Ο Δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα μπορεί να γραφεί ως εξής για μια στοιχειώδη μάζα αέρα όταν επάνω της δρουν μόνο η βαθμίδα πιέσεως, το βάρος της και η τριβή (τα έντονα γράμματα συμβολίζουν διανύσματα):

${D{\boldsymbol {U}} \over Dt}=-{1 \over \rho }\nabla P-2{\boldsymbol {\Omega }}\times {\boldsymbol {U}}+{\boldsymbol {g}}+{\boldsymbol {F}}_{r}$

όπου U είναι το πεδίο ταχυτήτων του αέρα, Ω η γωνιακή ταχύτητα του πλανήτη, ρ είναι η πυκνότητα του αέρα, P η πίεσή του, F_r η τριβή, g η επιτάχυνση της βαρύτητας και D/Dt η χρονική παράγωγος.

Σε τοπική κλίμακα η έκφραση αυτή μπορεί να αναπτυχθεί σε καρτεσιανές συντεταγμένες, με θετικό u να αντιστοιχεί στην κατεύθυνση προς τα ανατολικά και θετικό v να αντιστοιχεί στην κατεύθυνση προς τα βόρεια. Αγνοώντας τώρα τις τριβές και την κατακόρυφη κίνηση, όπως δικαιολογείται από το θεώρημα Taylor-Proudman, προκύπτει:

${Du \over Dt}=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial x}+fv+0+0$

${Dv \over Dt}=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial y}-fu+0+0$

${Dw \over Dt}=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial z}+0-g+0$

όπου f = 2Ω sin φ είναι η παράμετρος Coriolis (με τιμή περίπου 10⁻⁴ sec⁻¹, μεταβαλλόμενη με το γεωγραφικό πλάτος).

Υποθέτοντας γεωστροφική ισορροπία, το σύστημα είναι στατικό και οι δύο πρώτες εξισώσεις παίρνουν τη μορφή:

$fv={1 \over \rho }{\partial P \over \partial x}$

$fu=-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial y}$

$-g-{1 \over \rho }{\partial P \over \partial z}=0$

Αντικαθιστώντας με την 3η εξίσωση παραπάνω, έχουμε:

${\begin{aligned}fv&={\frac {\;-g\;}{\;{\frac {\partial P}{\partial z}}\;}}{\frac {\partial P}{\partial x}}:={\frac {\;-g\;}{\;c\;}}a\\[5px]fu&=-{\frac {\;-g\;}{\;{\frac {\partial P}{\partial z}}\;}}{\frac {\partial P}{\partial y}}:=+{\frac {\;g\;}{\;c\;}}b\end{aligned}}$

όπου z το ύψος βαρυτικού δυναμικού της επιφάνειας σταθερής πιέσεως, που ικανοποιεί τη σχέση:

${\rm {d}}P={\partial P \over \partial x}{\rm {d}}x+{\partial P \over \partial y}{\rm {d}}y+{\partial P \over \partial z}{\rm {d}}z:=a{\rm {d}}x+b{\rm {d}}y+c{\rm {d}}z=0$

Απλοποιώντας περαιτέρω αυτές τις σχέσεις προκύπτει ότι:

${\begin{aligned}fv&={\frac {\;-g\;}{\;c\;}}a=+g{\biggl (}{\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}x}}{\biggr )}_{{\rm {d}}y=0}\\[5px]fu&=+{\frac {\;g\;}{\;c\;}}b=-g{\biggl (}{\frac {{\rm {d}}z}{{\rm {d}}y}}{\biggr )}_{{\rm {d}}x=0}\end{aligned}}$

Αυτό οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα για τις καρτεσιανές συνιστώσες του γεωστροφικού ανέμου:

$v_{g}={g \over f}{{\rm {d}}z \over {\rm {d}}x}$

$u_{g}=-{g \over f}{{\rm {d}}z \over {\rm {d}}y}$

Η εγκυρότητα αυτής της προσεγγίσεως εξαρτάται από τον τοπικό αριθμό Rossby. Δεν ισχύει στον ισημερινό επειδή εκεί το f ισούται με το μηδέν και συνεπώς δεν είναι χρήσιμη γενικώς στην τροπική ζώνη της Γης.

Σε διανυσματική μορφή, η γεωστροφική ροή μπορεί να εκφρασθεί σε σχέση με τη βαθμίδα του βαρυτικού δυναμικού Φ σε μια ισοβαρή επιφάνεια:

$\mathbf {V} _{\mathrm {g} }={\frac {\hat {\mathbf {k} }}{f}}\times \nabla _{p}\Phi$

Πηγές

• Το ομώνυμο λήμμα στην Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Larousse Britannica, έκδοση 2006, τόμος 14, σελ. 207