Γεωμετρική σειρά

Στα μαθηματικά γεωμετρική σειρά ονομάζεται η σειρά που αθροίζει τους όρους μιας γεωμετρικής προόδου, στην οποία ο λόγος μεταξύ διαδοχικών όρων είναι σταθερός. Ως παράδειγμα, η σειρά ${\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots$ είναι μια γεωμετρική σειρά με λόγο ⁠${\tfrac {1}{2}}$⁠, η οποία συγκλίνει, έχοντας άθροισμα ⁠$1$⁠. Ο κάθε όρος σε μια γεωμετρική σειρά εκτός από τον πρώτο ισούται με τον γεωμετρικό μέσο του προηγούμενού του και του επόμενού του όρου.

Τα Παράδοξα του Ζήνωνα σχετικώς με την κίνηση (5ος αιώνας π.Χ.) ενέχουν την έννοια της γεωμετρικής σειράς, ωστόσο τέτοιες σειρές μελετήθηκαν και εφαρμόσθηκαν έναν ή δύο αιώνες αργότερα από Έλληνες μαθηματικούς, για παράδειγμα από τον Αρχιμήδη για να υπολογίσει το εμβαδό παραβολικού χωρίου (3ος αι. π.Χ.). Σήμερα γεωμετρικές σειρές βρίσκουν εφαρμογή στα οικονομικά μαθηματικά, σε περιοχές των μορφοκλασμάτων (φράκταλ) και σε διάφορα θέματα της επιστήμης υπολογιστών.

Παρά το ότι συνήθως οι γεωμετρικές σειρές είναι σειρές αριθμών, υπάρχουν σημαντικές εφαρμογές και για γεωμετρικές σειρές πινάκων, συναρτήσεων, και γενικότερα γεωμετρικές σειρές στοιχείων αφηρημένων αλγεβρικών συνόλων: σωμάτων, δακτυλίων και ημιδακτυλίων.

Ορισμός των πεπερασμένων γεωμετρικών σειρών

Οι γεωμετρικές σειρές είναι σειρές που προκύπτουν από μια ειδική κατηγορία ακολουθίας, που ονομάζεται γεωμετρική πρόοδος. Γεωμετρική πρόοδος είναι μια ακολουθία που από έναν αρχικό όρο παράγει τον επόμενο πολλαπλασιάζοντας τον πρώτο με μία σταθερά και τους επόμενους με τον ίδιο τρόπο και την ίδια σταθερά, η οποία ονομάζεται κοινός λόγος. Συμβολίζοντας με $a$ τον αρχικό όρο και με $r$ τον κοινό λόγο, η γεωμετρική πρόοδος μέχρι τον $n$-στό όρο της γράφεται ως ${\textstyle a,ar,ar^{2},ar^{3},\ldots ,ar^{n}}$. Αθροίζοντας όλους αυτούς τους όρους προκύπτει μια πεπερασμένη γεωμετρική σειρά, που εκφράζεται ως $$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.$$

Σε περιπτώσεις που μια περιοχή των εφαρμοσμένων μαθηματικών έχει μια εξειδικευμένη ορολογία για συγκεκριμένα είδη αυξήσεως ή μειώσεως, το ίδιο λεξιλόγιο συχνά χρησιμοποιείται για την ονοματοδότηση των λόγων $r$. Ως παράδειγμα, στα οικονομικά οι ρυθμοί αυξήσεως και μειώσεως των επιπέδων τιμών αποκαλούνται πληθωρισμός και αποπληθωρισμός αντιστοίχως, ενώ οι ρυθμοί αυξήσεως στις αξίες των επενδύσεων περιλαμβάνουν λόγους που αποκαλούνται «απόδοση» και «επιτόκιο».

Για $r\neq 1$ το άθροισμα μιας πεπερασμένης γεωμετρική σειράς $S_{n}$ από τον πρώτο μέχρι τον «νιοστό» όρο δίνεται από τη σχέση:

$$S_{n}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}$$

Άπειρες γεωμετρικές σειρές και σύγκλιση

Η γεωμετρική σειρά $${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+{\frac {1}{256}}+\cdots$$ παριστάνεται ως τα εμβαδά των μοβ τετραγώνων. Το κάθε μοβ τετράγωνο έχει το ${\textstyle {\frac {1}{4}}}$ του εμβαδού του αμέσως μεγαλύτερού του μοβ τετραγώνου ${\textstyle {\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1}{4}}}$, ${\textstyle {\frac {1}{4}}\times {\frac {1}{4}}={\frac {1}{16}}}$, κ.ο.κ.. Το άθροισμα των εμβαδών των μοβ τετραγώνων είναι έτσι το ένα τρίτο του εμβαδού του μεγάλου τετραγώνου. Αυτή η σειρά είναι παράδειγμα μιας συγκλίνουσας γεωμετρικής σειράς.

Στις περιπτώσεις που υπάρχουν άπειροι όροι σε μια γεωμετρική πρόοδο, η αντίστοιχη γεωμετρική σειρά έχει τη μορφή:

$$a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}.$$

Η τιμή μιας άπειρης σειράς μπορεί να είναι ένας αριθμός, οπότε η σειρά είναι συγκλίνουσα, ή να είναι απροσδιόριστη ή άπειρη, οπότε η σειρά είναι αποκλίνουσα. Η σύγκλιση μιας γεωμετρικής σειράς μπορεί να περιγραφεί μέσω της τιμής του κοινού λόγου της. Π.χ. η σειρά του Grandi είναι μια αποκλίνουσα γεωμετρική σειρά που μπορεί να εκφρασθεί ως $1-1+1-1+\cdots$, όπου ο αρχικός όρος είναι $1$ και ο κοινός λόγος ισούται με $-1$. Δεκαδικοί αριθμοί που έχουν επαναλαμβανόμενα επ' άπειρο δεκαδικά ψηφία μπορούν να εκφρασθούν ως γεωμετρικές σειρές, δηλαδή να μετατραπούν σε εκφράσεις του λόγου δύο ακέραιων αριθμών. Π.χ. ο περιοδικός δεκαδικός αριθμός 0,7777... μπορεί να γραφεί ως η γεωμετρική σειρά

$$0,7777\ldots ={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{2}}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)+\cdots ,$$

όπου ο αρχικός όρος είναι $a={\tfrac {7}{10}}$ και ο κοινός λόγος είναι $r={\tfrac {1}{10}}$.

Για τον προσδιορισμό τού εάν η σειρά είναι αποκλίνουσα ή συγκλίνουσα, χρειάζεται μόνο να γνωρίζουμε την τιμή του κοινού λόγου $r$ :

• Αν $\vert r\vert <1$, τότε οι όροι της σειράς πλησιάζουν στο μηδέν (μειούμενοι συνεχώς) και η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων $S_{n}$ συγκλίνει σε μια οριακή τιμή ίση με ${\textstyle {\frac {a}{1-r}}}$.
• Αν $\vert r\vert >1$, τότε οι όροι της σειράς έχουν τιμές που αυξάνονται προοδευτικά, οπότε η σειρά αποκλίνει.
• Αν $\vert r\vert =1$, τότε οι όροι της σειράς έχουν τιμές που δεν αυξάνονται, ούτε μειώνονται και η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων δεν συγκλίνει. Στην περίπτωση που $r=1$, όλοι οι όροι της σειράς είναι ίσοι μεταξύ τους και το $|S_{n}|$ τείνει στο άπειρο, ενώ όταν $r=-1$ οι όροι έχουν μία από δύο τιμές ($a$ και $-a$ εναλλάξ) και συνεπώς η ακολουθία των μερικών αθροισμάτων των όρων ταλαντεύεται, όπως λέγεται, ανάμεσα στις τιμές $a$ και 0. Σχετικό παράδειγμα είναι η σειρά του Grandi. Αν ο κοινός λόγος είναι η φανταστική μονάδα $r=i$ και $a=1$, τότε τα μερικά αθροίσματα ταλαντεύονται περιοδικώς ανάμεσα στους μιγαδικούς αριθμούς ⁠$1$⁠, ⁠$1+i$⁠, ⁠$i$⁠, ⁠$0$⁠, ⁠$1$⁠, ⁠$1+i$⁠, ⁠$i$⁠, ⁠$0$⁠, ..., και δεν συγκλίνουν ποτέ σε κάποιο όριο. Όταν ο κοινός λόγος είναι μια ρίζα της μονάδας $r=e^{2\pi ip/q}$ για έναν ρητό αριθμό $p/q$ (ανάγωγο κλάσμα) και για οποιονδήποτε $a\neq 0$, τότε τα μερικά αθροίσματα της σειράς θα «κυκλοφορούν» ατελείωτα με μια περίοδο $q$ και δεν θα συγκλίνουν ποτέ σε κάποιο όριο.

Ο ρυθμός σύγκλισης δείχνει το πόσο γρήγορα η σειρά προσεγγίζει το όριό της. Στην περίπτωση των γεωμετρικών σειρών — η σχετική ακολουθία είναι $S_{n}$ και το όριό της είναι $S$ — Ο ρυθμός και η τάξη του προσδιορίζονται με τη σχέση $$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|S_{n+1}-S\right|}{\left|S_{n}-S\right|^{q}}},$$ Όπου το $q$ είναι η τάξη της συγκλίσεως. Από τη σχέση ${\textstyle |S_{n}-S|=\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|}$, και επιλέγοντας τάξη $q=1$ έχουμε:

$$\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {ar^{n+2}}{1-r}}\right|}{\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|^{1}}}=|r|.$$

Όταν η σειρά συγκλίνει, ο ρυθμός συγκλίσεως μειώνεται καθώς το $|r|$ προσεγγίζει το $1$. Το είδος της συγκλίσεως εξαρτάται επίσης από το πρόσημο ή το μιγαδικό όρισμα του κοινού λόγου. Εάν $r>0$ και $|r|<1$, τότε όλοι οι όροι έχουν το ίδιο πρόσημο και τα μερικά αθροίσματά τους τείνουν προς το τελικό τους όριο μονότονα. Εάν $r<0$ και $|r|<1$, τότε οι διαδοχικοί όροι της γεωμετρικής σειράς εναλλάσσονται ως προς το πρόσημο και τα μερικά αθροίσματα $S_{n}$ των όρων ταλαντεύονται επάνω και κάτω από το τελικό τους όριο $S$. Για μιγαδικά $r$ με $|r|<1$ τα $S_{n}$ συγκλίνουν με έναν σπειροειδή τρόπο.

Πηγές

• Παντελίδης, Γ.: το ομώνυμο λήμμα στην Εγκυκλοπαίδεια Πάπυρος Larousse Britannica, έκδοση 2006, τόμος 14, σελίδα 122