Μετάβαση στο περιεχόμενο

Γεωμετρική κατανομή

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Παραδείγματα γεωμετρικής κατανομής με .
Παραδείγματα αθροιστικής κατανομής με .
Γεωμετρική Κατανομή
Συμβολισμός
Παράμετροι
Φορέας
Συνάρτηση Μάζας
Πιθανότητας
Μέσος
Διάμεσος
Διακύμανση
Λοξότητα
Κύρτωση
Εντροπία
Ροπή
Πιθανογεννήτρια
για
Χαρακτηριστική
για

Στην θεωρία πιθανοτήτων, η γεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος πειραμάτων με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας , έως ότου να υπάρξει η πρώτη επιτυχία.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το πλήθος των πειραμάτων. Η πιθανότητα να χρειαστούμε πειράματα έως ότου να έχουμε μια επιτυχία με πιθανότητα επιτυχίας κάθε φορά είναι:[1][2][3][4][5]

.

Οι πιθανότητες αυτές ορίζουν μία γεωμετρική πρόοδο με λόγο , γεγονός το οποίο εξηγεί και το όνομα της κατανομής.

  • Το πλήθος των φορών που πρέπει να ρίξουμε ένα νόμισμα μέχρι να έρθει κορώνα ακολουθεί την κατανομή .
  • Το πλήθος των φορών που πρέπει να πάρει κανείς το λαχείο μέχρι να κερδίσει ακολουθεί την κατανομή , αν υποθέσουμε ότι συμμετέχουν άτομα κάθε φορά.
  • Αν ένας αλγόριθμος έχει πιθανότητα σφάλματος , τότε το πλήθος των φορών που πρέπει να τον τρέξουμε έως ότου δώσει την σωστή απάντηση, ακολουθεί την κατανομή .

Η μέση τιμή της είναι ίση με

.
Απόδειξη  

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής φόρμουλα για τον υπολογισμό της μέσης τιμής μίας τυχαίας μεταβλητής που παίρνει τιμές στους φυσικούς αριθμούς:

Η πιθανότητα να έρθει η πρώτη επιτυχία μετά το -οστό πείραμα είναι ίση με την πιθανότητα τα πρώτα πειράματα να είναι αποτυχίες, δηλαδή

επιστρέφοντας στον τύπο της μέσης τιμής, έχουμε ότι:

όπου στην προτελευταία γραμμή χρησιμοποιήσαμε τον τύπο για το άθροισμα απείρων όρων γεωμετρικής προόδου.

Η διακύμανση της είναι ίση με

.
Απόδειξη  

Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για την διακύμανση

Ξεκινάμε υπολογίζοντας την τιμή:

Χρησιμοποιώντας ότι η μέση τιμή , καταλήγουμε ότι η διακύμανση είναι ίση

Η διάμεσος της είναι ίση με

Απόδειξη  

Θέλουμε να βρούμε την μικρότερη τιμή του ώστε:

Ισοδύναμα,

Δηλαδή,

Η εντροπία της είναι ίση με

.
Απόδειξη  

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση της για είναι ίση με

.
Απόδειξη  

Από τον ορισμό της πιθανογεννήτριας συνάρτησης, έχουμε ότι:

χρησιμοποιώντας ότι .

Χαρακτηριστική συνάρτηση

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η χαρακτηριστική συνάρτηση της για με είναι ίση με

.
Απόδειξη  

Από τον ορισμό της χαρακτηριστικής συνάρτησης, έχουμε ότι:

χρησιμοποιώντας ότι .

  • (Έλλειψη μνήμης) Έστω , τότε για κάθε , ισχύει ότι:
  • Το ελάχιστο δύο ανεξάρτητων γεωμετρικών κατανομών και , ακολουθεί επίσης γεωμετρική κατανομή .
  1. Μάρας, Ανδρέας. «Βασικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023. 
  2. Μπούτσικας, Μιχαήλ. «Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. 
  3. Δημητράκος, Θεοδόσης. «Τυχαίες Μεταβλητές» (PDF). Σχολή θετικών επιστημών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023. 
  4. Κούτρας, Μάρκος. «Πιθανότητες Ι» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023. 
  5. Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές ειδικές διακριτές κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023.