Βασικός αναπαραγωγικός αριθμός

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση στην πλοήγηση Πήδηση στην αναζήτηση
Τιμές R0 για πολύ γνωστές μολυσματικές ασθένειες
Ασθένεια Μετάδοση R0
Ιλαρά Αερόλυμα 12–18[1]
Ανεμοβλογιά (ανεμευλογιά) Αερόλυμα 10–12[2]
Παρωτίτιδα Αναπνευστικά σταγονίδια 10–12[3]
Πολιομυελίτιδα Διαδρομή κοπράνων-στόματος 5–7
Ερυθρά Αναπνευστικά σταγονίδια 5–7
Κοκκύτης Αναπνευστικά σταγονίδια 5,5[4]
Ευλογιά Αναπνευστικά σταγονίδια 3,5–6[5]
Ασθένεια κορονοϊού 2019 Αναπνευστικά σταγονίδια 1,4–5,7[6][7][8][9]
HIV / AIDS Σωματικά υγρά 2–5
SARS Αναπνευστικά σταγονίδια 3,1–4,2[10]
Κοινό κρυολόγημα Αναπνευστικά σταγονίδια 2–3[11]
Διφθερίτιδα Σάλιο 1,7–4,3[12]
Γρίπη
(στέλεχος της πανδημίας του 1918)
Αναπνευστικά σταγονίδια 1,4–2,8[13]
Έμπολα
(έξαρση του Έμπολα 2014)
Σωματικά υγρά 1,5–1,9[14]
Γρίπη
(στέλεχος πανδημίας 2009)
Αναπνευστικά σταγονίδια 1,4–1,6[15]
Γρίπη
(εποχιακά στελέχη)
Αναπνευστικά σταγονίδια 0,9–2,1
MERS Αναπνευστικά σταγονίδια 0,3–0,8[16]
Ένα βίντεο που συζητάει τον βασικό αναπαραγωγικό αριθμό (σε περίπου 4 λ.) και την θνητότητα στο πλαίσιο της πανδημίας κορονοϊού 2019.

Στην επιδημιολογία, ο βασικός αναπαραγωγικός αριθμός (μερικές φορές ονομάζεται βασικός αναπαραγωγικός λόγος ή λανθασμένα βασικός αναπαραγωγικός ρυθμός) μιας λοίμωξης υποδηλώνεται με R0[17] και μπορεί να θεωρηθεί ως ο αναμενόμενος αριθμός κρουσμάτων που προκύπτουν άμεσα από ένα κρούσμα σε έναν πληθυσμό όπου όλα τα άτομα είναι επιρρεπή στην μόλυνση.[18] Ο ορισμός περιγράφει την κατάσταση όπου κανένα άλλο άτομο δεν έχει μολυνθεί ή αποκτήσει ανοσία (φυσική ή μέσω εμβολιασμού). Ορισμένοι ορισμοί, όπως αυτός του Αυστραλιανού Υπουργείου Υγείας, προσθέτουν την απουσία «οποιασδήποτε σκόπιμης παρέμβασης στη μετάδοση νόσων».[19] Ο βασικός αναπαραγωγικός αριθμός δεν πρέπει να συγχέεται με τον αποτελεσματικό αναπαραγωγικό αριθμό R, που είναι ο αριθμός των κρουσμάτων που προκύπτουν στην τρέχουσα κατάσταση ενός πληθυσμού, ο οποίος δεν είναι απαραίτητο να μην έχει μολυνθεί. Εξ ορισμού, το R0 δεν μπορεί να τροποποιηθεί μέσω εκστρατειών εμβολιασμού. Επίσης, είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι το R0 είναι ένας αριθμός χωρίς μονάδες μέτρησης και όχι ρυθμός, ο οποίος θα έχει μονάδες χρόνος-1 ή άλλες μονάδες χρόνου όπως διπλασιασμός του χρόνου.[20][21]

Το R0 δεν είναι μια βιολογική σταθερά για ένα παθογόνο καθώς επηρεάζεται επίσης από άλλους παράγοντες, όπως οι περιβαλλοντικές συνθήκες και η συμπεριφορά του μολυσμένου πληθυσμού. Επιπλέον, οι τιμές του R0 εκτιμώνται συνήθως από μαθηματικά μοντέλα και οι εκτιμώμενες τιμές εξαρτώνται από το μοντέλο που χρησιμοποιείται και τις τιμές άλλων παραμέτρων. Έτσι, οι τιμές που δίνονται στη βιβλιογραφία έχουν νόημα μόνο στο δεδομένο πλαίσιο και συνιστάται να μην χρησιμοποιούνται ξεπερασμένες τιμές ή να συγκρίνονται τιμές που βασίστηκαν σε διαφορετικά μοντέλα.[22] Το R0 δεν δίνει από μόνο του εκτίμηση του πόσο γρήγορα εξαπλώνεται μια λοίμωξη στον πληθυσμό.

Οι πιο σημαντικές χρήσεις του R0 είναι ο προσδιορισμός της δυνατότητας μιας αναδυόμενης μολυσματικής ασθένειας να εξαπλωθεί σε έναν πληθυσμό και ο προσδιορισμός του ποσοστού του πληθυσμού που πρέπει να ανοσοποιηθεί μέσω εμβολιασμού για την εξάλειψη μιας ασθένειας. Στα συνηθισμένα μοντέλα λοίμωξης, όταν το R0 > 1 η λοίμωξη θα είναι σε θέση να αρχίσει να εξαπλώνεται σε έναν πληθυσμό, αλλά όχι εάν το R0 <1. Γενικά, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του R0, τόσο πιο δύσκολο είναι να ελέγχεται η επιδημία. Για απλά μοντέλα, το ποσοστό του πληθυσμού που πρέπει να ανοσοποιηθεί (που σημαίνει ότι δεν είναι επιρρεπές σε λοίμωξη) για να αποφευχθεί η παρατεταμένη εξάπλωση της λοιμώδους ασθένειας πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 1 – 1/R0.[23] Από την άλλη, το ποσοστό του πληθυσμού που παραμένει επιρρεπές σε λοίμωξη κατά την ενδημική ισορροπία είναι 1/R0.

Ο βασικός αναπαραγωγικός αριθμός επηρεάζεται από διάφορους παράγοντες, όπως η διάρκεια της μεταδοτικότητας των ασθενών που έχουν προσβληθεί, η μολυσματικότητα του παθογόνου οργανισμού και ο αριθμός των επιρρεπών ατόμων στον πληθυσμό με τους οποίους έρχονται σε επαφή τα κρούσματα.

Ιστορία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η προέλευση της έννοιας της βασικής αναπαραγωγής μπορούν να εντοπιστεί στα έργα των Ronald Ross, Alfred Lotka και άλλων,[24] αλλά η πρώτη σύγχρονη εφαρμογή της στην επιδημιολογία έγινε από τον George MacDonald το 1952,[25] που δημιούργησε πληθυσμιακά μοντέλα για την εξάπλωση της ελονοσίας. Στο έργο του, όρισε τον βασικό αναπαραγωγικό ρυθμό υποδηλώνοντάς το με Z0. Είναι παραπλανητικός ο χαρακτηρισμός του ως «ρυθμού», εφόσον ο «ρυθμός» μπορεί να παρερμηνευθεί ως αριθμός ανά μονάδα χρόνου. Προτιμάται, ο χαρακτηρισμός ως «αριθμός» ή «λόγος».

Ορισμός σε συγκεκριμένες περιπτώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Ρυθμός επαφής και μολυσματική περίοδος[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το R0 είναι ο μέσος αριθμός ατόμων που έχουν μολυνθεί από ένα άλλο άτομο. Για παράδειγμα, η έμπολα έχει R0 ίσο με 2, οπότε κατά μέσο όρο, ένα άτομο που έχει έμπολα θα το μεταβιβάσει σε δύο άλλα άτομα.

Έστω ότι τα μολυσματικά άτομα κάνουν κατά μέσο όρο επαφές ανά μονάδα χρόνου που οδηγούν σε μόλυνση, με μέση μολυσματική περίοδο . Τότε ο βασικός αναπαραγωγικός αριθμός είναι:

Αυτός ο απλός τύπος υποδηλώνει διάφορους τρόπους μείωσης του R0 και τελικά περιορισμό της μετάδοσης της νόσου. Ο αριθμός των επαφών, , που οδηγούν σε μόλυνση ανά μονάδα χρόνου μπορεί να μειωθεί περιορίζοντας τον αριθμό των συνολικών επαφών ανά μονάδα χρόνου (π.χ. μένοντας στο σπίτι εάν η μόλυνση απαιτεί επαφή με άλλους για να μεταδοθεί) ή μειώνοντας το ποσοστό των επαφών που προκαλούν μόλυνση (π.χ. φορώντας κάποιο είδος προστατευτικού εξοπλισμού). Είναι επίσης δυνατό να μειωθεί η μολυσματική περίοδος με την εύρεση και στη συνέχεια την απομόνωση, την θεραπεία ή την εξουδετέρωση (όπως συμβαίνει συχνά με τα ζώα) μολυσματικών ατόμων το συντομότερο δυνατό.

Νόσος με μεταβαλλόμενη λανθάνουσα περίοδο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Η λανθάνουσα περίοδος είναι η μεταβατική περίοδος μεταξύ της μόλυνσης και της έναρξης της μεταδοτικότητας. Σε περιπτώσεις ασθενειών με μεταβαλλόμενη λανθάνουσα περίοδο, ο βασικός αναπαραγωγικός αριθμός μπορεί να υπολογιστεί ως το άθροισμα των αναπαραγωγικών αριθμών για κάθε χρόνο μετάβασης στην ασθένεια. Ένα παράδειγμα είναι η φυματίωση (TB). Ο Blower και οι συνεργάτες του υπολόγισαν μέσα από ένα απλό μοντέλο φυματίωσης τον ακόλουθο αναπαραγωγικό αριθμό:[26]

Στο μοντέλο τους, θεωρείται δεδομένο ότι τα μολυσμένα άτομα μπορούν να αναπτύξουν ενεργό φυματίωση είτε άμεσα (η ασθένεια αναπτύσσεται αμέσως μετά τη μόλυνση), που σημειώνεται πιο πάνω ως ταχεία φυματίωση, είτε με ενδογενή επανενεργοποίηση (η ασθένεια αναπτύσσεται χρόνια μετά την μόλυνση) που σημειώνεται πιο πάνω ως βραδεία φυματίωση.[27]

Ετερογενείς πληθυσμοί[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε πληθυσμούς που δεν είναι ομοιογενείς, ο ορισμός του R0 είναι πιο σχολαστικός, καθώς πρέπει να λαμβάνει υπόψη το γεγονός ότι ένα αντιπροσωπευτικό μολυσμένο άτομο μπορεί να μην είναι αντιπροσωπευτικό του ευρύτερου πληθυσμού. Ως ακραίο παράδειγμα, παίρνουμε ένα πληθυσμό στον οποίο ένα μικρό ποσοστό των ατόμων αναμιγνύεται πλήρως μεταξύ τους, ενώ τα υπόλοιπα άτομα είναι όλα απομονωμένα. Μια ασθένεια μπορεί να είναι ικανή να εξαπλωθεί στο πλήρως αναμεμιγμένο τμήμα του πληθυσμού παρόλο που ένα τυχαία επιλεγμένο άτομο θα οδηγούσε σε λιγότερες από μία δευτερεύουσες περιπτώσεις. Αυτό συμβαίνει επειδή το μολυσμένο άτομο βρίσκεται στο πλήρως αναμεμιγμένο τμήμα και έτσι μπορεί να προκαλέσει επιτυχώς μολύνσεις. Γενικά, εάν τα άτομα που έχουν μολυνθεί νωρίς σε μια επιδημία είναι κατά μέσο όρο πιθανότερο ή λιγότερο πιθανό να μεταδώσουν τη μόλυνση σε σχέση με τα άτομα που έχουν μολυνθεί μεταγενέστερα κατά την επιδημία, τότε ο υπολογισμός του R0 πρέπει να λαμβάνει υπόψη αυτή τη διαφορά. Ένας κατάλληλος ορισμός για το R0 σε αυτήν την περίπτωση είναι «ο αναμενόμενος αριθμός δευτερογενών κρουσμάτων που προκύπτουν από ένα αντιπροσωπευτικό μολυσμένο άτομο νωρίς σε μια επιδημία».[28]

Μέθοδοι εκτίμησης[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Κατά την διάρκεια μιας επιδημίας, συνήθως ο αριθμός των διεγνωσμένων λοιμώξεων στο χρονικό διάστημα είναι γνωστός. Στα πρώτα στάδια μιας επιδημίας, η εξάπλωση είναι εκθετική, με ρυθμό ανάπτυξης   [ <span title="This claim needs references to reliable sources. (February 2020)">απαιτείται αναφορά</span> ]

Για την εκθετική εξάπλωση, το μπορεί να ερμηνευθεί ως ο σωρευτικός αριθμός των διαγνώσεων (συμπεριλαμβανομένων των ατόμων που έχουν αναρρώσει) ή ο τρέχων αριθμός διεγνωσμένων ασθενών. Ο εκθετικός ρυθμός ανάπτυξης είναι ο ίδιος για στις δύο περιπτώσεις. Για να εκτιμήσουμε το , απαιτούνται παραδοχές σχετικά με την χρονική καθυστέρηση μεταξύ μόλυνσης και διάγνωσης και με τον χρόνο μεταξύ μόλυνσης και έναρξης της μολυσματικότητας.

Στην εκθετική εξάπλωση, το σχετίζεται με τον χρόνο διπλασιασμού, , ως εξής

.

Απλό μοντέλο[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Εάν ένα άτομο, αφού μολυνθεί, μολύνει ακριβώς νέα άτομα μετά από χρόνο που ισούται ακριβώς με (το σειραϊκό διάστημα), τότε ο αριθμός των μολυσματικών ατόμων με την πάροδο του χρόνου αυξάνεται σύμφωνα με την εξίσωση:

ή

Σε αυτήν την περίπτωση,

ή .

Για παράδειγμα, με και , τότε .

Αν το εξαρτάται από το χρόνο:

δείχνοντας ότι ίσως είναι σημαντικό να διατηρηθεί το χρονικά-σταθμισμένο κάτω του 0, για να αποφευχθεί η εκθετική εξάπλωση.

Λανθάνουσα μολυσματική περίοδος, απομόνωση μετά τη διάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Σε αυτό το μοντέλο, μια μεμονωμένη λοίμωξη έχει τα ακόλουθα στάδια:

  1. Έκθεση: ένα άτομο έχει μολυνθεί, αλλά δεν έχει συμπτώματα και δεν μολύνει ακόμη άλλους. Η μέση διάρκεια της εκτεθειμένης κατάστασης είναι .
  2. Λανθάνουσα μολυσματικότητα: ένα άτομο έχει μολυνθεί, δεν έχει συμπτώματα, αλλά μολύνει άλλους. Η μέση διάρκεια της λανθάνουσας μολυσματικής κατάστασης είναι . Το άτομο μολύνει άλλα άτομα κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου.
  3. Απομόνωση μετά τη διάγνωση: λαμβάνονται μέτρα για την πρόληψη περαιτέρω λοιμώξεων, για παράδειγμα, με την αποκλεισμό του ασθενούς από επαφές με άλλους.

Ακολουθεί είναι ένα μοντέλο SEIR όπου το R0 μπορεί να υπολογιστεί από την ακόλουθη εξίσωση:[29]

Αυτή η μέθοδος εκτίμησης έχει εφαρμοστεί στην ασθένεια του κορονοϊού 2019 και στον ιό του SARS-1. Προκύπτει από την διαφορική εξίσωση για τον αριθμό των εκτεθειμένων ατόμων και τον αριθμό των λανθανόντως μολυσματικών ατόμων ,

Η μεγαλύτερη ιδιοτιμή του πίνακα είναι ο λογαριθμικός ρυθμός εξάπλωσης , το οποίο μπορεί να λυθεί ως προς το .

Στην ειδική περίπτωση όπου , από αυτό το μοντέλο προκύπτει ότι , το οποίο διαφέρει από το προηγούμενο απλό μοντέλο (). Για παράδειγμα, με τις ίδιες τιμές και , θα βρούμε , αντί για . Αυτό οφείλεται σε μια λεπτή διαφορά στο υποκείμενο μοντέλο εξάπλωσης. Η παραπάνω εξίσωση πίνακα προϋποθέτει ότι οι νέοι μολυσμένοι ασθενείς μπορεί να αρχίσουν να μεταδίδουν την ασθένεια αμέσως μετά τη μόλυνση. Ο χρόνος είναι ο μέσος χρόνος. Αυτή η διαφορά δείχνει ότι η εκτιμώμενη τιμή του αναπαραγωγικού αριθμού εξαρτάται από το υποκείμενο μαθηματικό μοντέλο. Εάν ο αναπαραγωγικός αριθμός εκτιμάται βάσει ενός συγκεκριμένου μοντέλου, αυτή η τιμή μπορεί να συγκριθεί μόνο με μελλοντικές τιμές που προκύπτουν από το ίδιο μοντέλο.

Περιορισμοί του R0[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Όταν το R0 υπολογίζεται από μαθηματικά μοντέλα, ιδιαίτερα από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις, παρόλο που διατυπώνεται ο ισχυρισμός ότι έχει υπολογιστεί το R0, στην πραγματικότητα, έχει υπολογιστεί απλά ένας ουδός, όχι ο μέσος αριθμός δευτερογενών λοιμώξεων. Υπάρχουν πολλές μέθοδοι που χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή ενός τέτοιου ουδού από ένα μαθηματικό μοντέλο, αλλά λίγες από αυτές δίνουν πάντα την πραγματική τιμή του R0. Αυτό είναι ιδιαίτερα προβληματικό εάν υπάρχουν ενδιάμεσοι διαβιβαστές μεταξύ ξενιστών, όπως συμβαίνει στην ελονοσία.[30]

Ο ουδός προσδιορίζει εάν μια ασθένεια θα υποχωρήσει (εάν R0 < 1) ή θα εξελιχθεί σε επιδημία (εάν R0 > 1), αλλά γενικά δεν μπορεί να γίνει σύγκριση διαφόρων ασθενειών. Επομένως, οι τιμές από τον πίνακα που δίνεται στην αρχή του λήμματος πρέπει να χρησιμοποιούνται με προσοχή, ειδικά εάν οι τιμές υπολογίστηκαν από μαθηματικά μοντέλα.

Οι χρησιμοποιούμενες μέθοδοι αξιοποιούν την συνάρτηση επιβίωσης, την αναδιάταξη της μεγαλύτερης ιδιοτιμής του πίνακα Τζακόμπι, την μέθοδο επόμενης γενιάς,[31] τον υπολογισμό τού εγγενούς ρυθμού ανάπτυξης,[32] την ύπαρξη ενδημικής ισορροπίας, τον αριθμό των επιρρεπών ατόμων κατά την ενδημική ισορροπία, την μέση ηλικία μόλυνσης[33] και την εξίσωση τελικού μεγέθους. Λίγες από αυτές τις μεθόδους συμφωνούν μεταξύ τους, ακόμη και όταν ξεκινούν με το ίδιο σύστημα διαφορικών εξισώσεων .   Ακόμη λιγότερες υπολογίζουν στην πραγματικότητα τον μέσο αριθμό δευτερογενών μολύνσεων. Δεδομένου ότι το R0 σπάνια παρατηρείται στον πραγματικό κόσμο και συνήθως υπολογίζεται μέσω μαθηματικού μοντέλου, αυτό περιορίζει σοβαρά τη χρησιμότητά του.[34]

Στη λαϊκή κουλτούρα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην ταινία Contagion του 2011, μια φανταστική ταινία αγωνίας σχετικά με μια ιατρική καταστροφή, παρουσιάζονται οι υπολογισμοί ενός μπλόγκερ για το R0 που αντικατοπτρίζουν την εξέλιξη μιας θανατηφόρας ιογενούς λοίμωξης από μεμονωμένα κρούσματα σε πανδημία. Οι μέθοδοι που απεικονίστηκαν ήταν ελαττωματικές.[35]

Σημειώσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Τα διαμεριστικά επιδημιολογικά μοντέλα περιγράφουν τη δυναμική της νόσου με την πάροδο του χρόνου σε έναν πληθυσμό επιρρεπών (S), μολυσματικών (I) και αναρρωσάντων (R) ατόμων χρησιμοποιώντας το μοντέλο SIR. Σημειώστε ότι στο μοντέλο SIR, τα R(0) και R0 είναι διαφορετικές ποσότητες - το πρώτο περιγράφει τον αριθμό που ανακτήθηκε σε t = 0 ενώ το δεύτερο περιγράφει την αναλογία μεταξύ της συχνότητας των επαφών και της συχνότητας ανάρρωσης.
  • Σύμφωνα με το Επαρχιακό Κέντρο Ελέγχου και Πρόληψης Νοσημάτων του Γκουανγκντόνγκ, «ο αποτελεσματικός αναπαραγωγικός αριθμός (R ή Re[36]) χρησιμοποιείται πιο συχνά για να περιγράψει τη μεταδοτικότητα, ο οποίος ορίζεται ως ο μέσος αριθμός δευτερογενών κρουσμάτων που προκύπτουν ανά μολυσματικό κρούσμα. Απουσία μέτρων ελέγχου, R = R0χ, όπου το χ είναι το ποσοστό του επιρρεπούς πληθυσμού.» Για παράδειγμα, σύμφωνα με μια προκαταρκτική εκτίμηση, ο αποτελεσματικός αναπαραγωγικός αριθμός για τον κορονοϊό της Ουχάν βρέθηκε να είναι 2,9, ενώ για τον ιό του SARS-1 ήταν 1,77.
  • Ο αποτελεσματικός αναπαραγωγικός αριθμός, Re, μπορεί να μειωθεί με μέτρα παρέμβασης όπως η κοινωνική απομάκρυνση, ενώ το R0 παραμένει ανεπηρέαστο, καθώς είναι ένα μέτρο του ρυθμού μόλυνσης όταν δεν υπάρχουν παρεμβάσεις.

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  1. Guerra, Fiona M.; Bolotin, Shelly; Lim, Gillian; Heffernan, Jane; Deeks, Shelley L.; Li, Ye; Crowcroft, Natasha S. (1 December 2017). «The basic reproduction number (R0) of measles: a systematic review» (στα English). The Lancet Infectious Diseases 17 (12): e420–e428. doi:10.1016/S1473-3099(17)30307-9. ISSN 1473-3099. PMID 28757186. https://www.thelancet.com/journals/laninf/article/PIIS1473-3099(17)30307-9/fulltext. Ανακτήθηκε στις 18 March 2020. 
  2. Ireland's Health Services. Health Care Worker Information (PDF). Ανακτήθηκε στις 27 Μαρτίου 2020. 
  3. Australian government Department of Health Mumps Laboratory Case Definition (LCD)
  4. «Incidence and reproduction numbers of pertussis: estimates from serological and social contact data in five European countries.». PLOS Med. 7 (6): e1000291. 2010. doi:10.1371/journal.pmed.1000291. PMID 20585374. 
  5. Gani, Raymond; Leach, Steve (December 2001). «Transmission potential of smallpox in contemporary populations» (στα αγγλικά). Nature 414 (6865): 748–751. doi:10.1038/414748a. ISSN 1476-4687. PMID 11742399. https://www.nature.com/articles/414748a. Ανακτήθηκε στις 18 March 2020. 
  6. «Early Transmission Dynamics in Wuhan, China, of Novel Coronavirus-Infected Pneumonia». The New England Journal of Medicine 382 (13): 1199–1207. January 2020. doi:10.1056/NEJMoa2001316. PMID 31995857. 
  7. Riou, Julien; Althaus, Christian L. (2020). «Pattern of early human-to-human transmission of Wuhan 2019 novel coronavirus (2019-nCoV), December 2019 to January 2020». Eurosurveillance 25 (4). doi:10.2807/1560-7917.ES.2020.25.4.2000058. PMID 32019669. 
  8. Wu, Joseph T.; Leung, Kathy; Bushman, Mary; Kishore, Nishant; Niehus, Rene; de Salazar, Pablo M.; Cowling, Benjamin J.; Lipsitch, Marc και άλλοι. (19 March 2020). «Estimating clinical severity of COVID-19 from the transmission dynamics in Wuhan, China» (στα αγγλικά). Nature Medicine 26 (4): 506–510. doi:10.1038/s41591-020-0822-7. ISSN 1546-170X. PMID 32284616. https://www.nature.com/articles/s41591-020-0822-7. 
  9. Sanche, Steven; Lin, Yen Ting; Xu, Chonggang; Romero-Severson, Ethan; Hengartner, Nick; Ke, Ruian (7 April 2020). «High Contagiousness and Rapid Spread of Severe Acute Respiratory Syndrome Coronavirus 2». Emerging Infectious Diseases 26 (7). doi:10.3201/eid2607.200282. PMID 32255761. https://wwwnc.cdc.gov/eid/article/26/7/20-0282_article. Ανακτήθηκε στις 9 April 2020. 
  10. «Different epidemic curves for severe acute respiratory syndrome reveal similar impacts of control measures». Am. J. Epidemiol. 160 (6): 509–16. 2004. doi:10.1093/aje/kwh255. PMID 15353409. PMC 7110200. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2007-10-06. https://web.archive.org/web/20071006080939/http://171.66.121.65/cgi/content/full/160/6/509. 
  11. Freeman, Colin. «Magic formula that will determine whether Ebola is beaten». The Telegraph. Telegraph.Co.Uk. Ανακτήθηκε στις 30 Μαρτίου 2020. 
  12. Truelove, Shaun A.; Keegan, Lindsay T.; Moss, William J.; Chaisson, Lelia H.; Macher, Emilie; Azman, Andrew S.; Lessler, Justin (2019). «Clinical and Epidemiological Aspects of Diphtheria: A Systematic Review and Pooled Analysis» (στα αγγλικά). Clinical Infectious Diseases. doi:10.1093/cid/ciz808. PMID 31425581. 
  13. Ferguson NM; Cummings DA; Fraser C; Cajka JC; Cooley PC; Burke DS (2006). «Strategies for mitigating an influenza pandemic». Nature 442 (7101): 448–452. doi:10.1038/nature04795. PMID 16642006. Bibcode2006Natur.442..448F. 
  14. Khan, Adnan; Naveed, Mahim; Dur-e-Ahmad, Muhammad; Imran, Mudassar (2015-02-24). «Estimating the basic reproductive ratio for the Ebola outbreak in Liberia and Sierra Leone». Infectious Diseases of Poverty 4: 13. doi:10.1186/s40249-015-0043-3. ISSN 2049-9957. PMID 25737782. 
  15. Coburn BJ; Wagner BG; Blower S (2009). «Modeling influenza epidemics and pandemics: insights into the future of swine flu (H1N1)». BMC Medicine 7: Article 30. doi:10.1186/1741-7015-7-30. PMID 19545404. 
  16. Kucharski, Adam; Althaus, Christian L. (2015). «The role of superspreading in Middle East respiratory syndrome coronavirus (MERS-CoV) transmission». Eurosurveillance 20 (26): 14–8. doi:10.2807/1560-7917.ES2015.20.25.21167. PMID 26132768. 
  17. Milligan, Gregg N.; Barrett, Alan D. T. (2015). Vaccinology : an essential guide. Chichester, West Sussex: Wiley Blackwell. σελ. 310. ISBN 978-1-118-63652-7. 
  18. Christophe Fraser; Christl A. Donnelly; Simon Cauchemez (19 June 2009). «Pandemic Potential of a Strain of Influenza A (H1N1): Early Findings». Science 324 (5934): 1557–1561. doi:10.1126/science.1176062. PMID 19433588. Bibcode2009Sci...324.1557F. Free text
  19. Becker, Niels G.; Glass, Kathryn (Απριλίου 2006). «The reproduction number». Using Mathematical Models to Assess Responses to an Outbreak of an Emerged Viral Respiratory Disease. National Centre for Epidemiology and Population Health. ISBN 1-74186-357-0. Ανακτήθηκε στις 1 Φεβρουαρίου 2020. 
  20. Jones, James. «Notes On R0» (PDF). Stanford University. 
  21. Siegel, Ethan. «Why 'Exponential Growth' Is So Scary For The COVID-19 Coronavirus». Forbes (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 19 Μαρτίου 2020. 
  22. Delamater, Paul L.; Street, Erica J.; Leslie, Timothy F.; Yang, Y. Tony; Jacobsen, Kathryn H. (January 2019). «Complexity of the Basic Reproduction Number (R 0 )». Emerging Infectious Diseases 25 (1): 1–4. doi:10.3201/eid2501.171901. ISSN 1080-6040. PMID 30560777. 
  23. Fine, Paul; Eames, Ken; Heymann, David L. (2011-04-01). «"Herd Immunity": A Rough Guide» (στα αγγλικά). Clinical Infectious Diseases 52 (7): 911–916. doi:10.1093/cid/cir007. ISSN 1058-4838. PMID 21427399. https://academic.oup.com/cid/article/52/7/911/299077. 
  24. Smith, David L.; Battle, Katherine E.; Hay, Simon I.; Barker, Christopher M.; Scott, Thomas W.; McKenzie, F. Ellis (2012-04-05). «Ross, Macdonald, and a Theory for the Dynamics and Control of Mosquito-Transmitted Pathogens». PLOS Pathogens 8 (4): e1002588. doi:10.1371/journal.ppat.1002588. ISSN 1553-7366. PMID 22496640. 
  25. Macdonald, G. (September 1952). «The analysis of equilibrium in malaria». Tropical Diseases Bulletin 49 (9): 813–829. ISSN 0041-3240. PMID 12995455. 
  26. Blower, S. M.; Mclean, A. R.; Porco, T. C.; Small, P. M.; Hopewell, P. C.; Sanchez, M. A. (1995). «The intrinsic transmission dynamics of tuberculosis epidemics». Nature Medicine 1 (8): 815–821. doi:10.1038/nm0895-815. PMID 7585186. 
  27. «Quantifying TB transmission: a systematic review of reproduction number and serial interval estimates for tuberculosis». Epidemiol Infect. 146 (12): 1478–1494. Sep 2018. doi:10.1017/S0950268818001760. PMID 29970199. 
  28. O Diekmann; J.A.P. Heesterbeek; J.A.J. Metz (1990). «On the definition and the computation of the basic reproduction ratio R0 in models for infectious diseases in heterogeneous populations». Journal of Mathematical Biology 28 (4): 356–382. doi:10.1007/BF00178324. PMID 2117040. 
  29. Lipsitch, Marc; Cohen, Ted; Cooper, Ben; Robins, James M.; Ma, Stefan; James, Lyn; Gopalakrishna, Gowri; Chew, Suok Kai και άλλοι. (2003-06-20). «Transmission Dynamics and Control of Severe Acute Respiratory Syndrome». Science 300 (5627): 1966–1970. doi:10.1126/science.1086616. ISSN 0036-8075. PMID 12766207. Bibcode2003Sci...300.1966L. 
  30. «The Failure of R0». Computational and Mathematical Methods in Medicine 2011 (527610): 1–17. 2011. doi:10.1155/2011/527610. PMID 21860658. 
  31. «The Basic Reproduction Ratio». Mathematical Epidemiology of Infectious Diseases : Model Building, Analysis and Interpretation. New York: Wiley. 2000. σελίδες 73–98. ISBN 0-471-49241-8. 
  32. «The basic reproductive number of Ebola and the effects of public health measures: the cases of Congo and Uganda». Journal of Theoretical Biology 229 (1): 119–126. 2004. doi:10.1016/j.jtbi.2004.03.006. PMID 15178190. 
  33. Ajelli M; Iannelli M; Manfredi P; Ciofi degli Atti, ML (2008). «Basic mathematical models for the temporal dynamics of HAV in medium-endemicity Italian areas». Vaccine 26 (13): 1697–1707. doi:10.1016/j.vaccine.2007.12.058. PMID 18314231. 
  34. «Perspectives on the Basic Reproductive Ratio». Journal of the Royal Society Interface 2 (4): 281–93. 2005. doi:10.1098/rsif.2005.0042. PMID 16849186. 
  35. Byrne, Michael (October 6, 2014), «The Misunderstood Number That Predicts Epidemics», vice.com, https://www.vice.com/en_us/article/pgazpv/meet-r-nought-the-magic-number-that-spreads-infectious-diseases, ανακτήθηκε στις 2020-03-23 
  36. Held, Leonhard; Hens, Niel (7 Νοεμβρίου 2019). Handbook of Infectious Disease Data Analysis (στα Αγγλικά). CRC Press. σελ. 347. ISBN 978-1-351-83932-7. 

Περαιτέρω ανάγνωση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]