Βαθμωτό δυναμικό

Στη μαθηματική φυσική, το βαθμωτό δυναμικό περιγράφει την κατάσταση κατά την οποία η διαφορά στις δυναμικές ενέργειες ενός αντικειμένου σε δύο διαφορετικές θέσεις εξαρτάται μόνο από τις θέσεις και όχι από τη διαδρομή που ακολουθεί το αντικείμενο κατά τη μετακίνησή του από τη μία θέση στην άλλη. Πρόκειται για ένα βαθμωτό πεδίο στον τρισδιάστατο χώρο: μια τιμή χωρίς κατεύθυνση (βαθμωτό) που εξαρτάται μόνο από τη θέση της. Ένα γνωστό παράδειγμα είναι η δυνητική ενέργεια που οφείλεται στη βαρύτητα.

Διανυσματικό πεδίο (δεξιά) και αντίστοιχο βαθμωτό δυναμικό (αριστερά).

Το βαθμωτό δυναμικό είναι μια θεμελιώδης έννοια στη διανυσματική ανάλυση και τη φυσική (το επίθετο βαθμωτό συχνά παραλείπεται αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης με το διανυσματικό δυναμικό). Το βαθμωτό δυναμικό είναι ένα παράδειγμα βαθμωτού πεδίου. Δεδομένου ενός διανυσματικού πεδίου F, το βαθμωτό δυναμικό P ορίζεται έτσι ώστε:

$\mathbf {F} =-\nabla P=-\left({\frac {\partial P}{\partial x}},{\frac {\partial P}{\partial y}},{\frac {\partial P}{\partial z}}\right),$

όπου ∇P είναι η κλίση του P και το δεύτερο μέρος της εξίσωσης είναι μείον η κλίση για μια συνάρτηση των καρτεσιανών συντεταγμένωνx, y, z. Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι μαθηματικοί μπορούν να χρησιμοποιήσουν ένα θετικό πρόσημο μπροστά από την κλίση για να ορίσουν το δυναμικό Εξαιτίας αυτού του ορισμού του P ως προς την κλίση, η κατεύθυνση του F σε οποιοδήποτε σημείο είναι η κατεύθυνση της πιο απότομης μείωσης του P σε αυτό το σημείο, ενώ το μέγεθός του είναι ο ρυθμός αυτής της μείωσης ανά μονάδα μήκους.

Προκειμένου η F να περιγραφεί μόνο με όρους βαθμωτού δυναμικού, οποιαδήποτε από τις ακόλουθες ισοδύναμες προτάσεις πρέπει να είναι αληθής:

1. $-\int _{a}^{b}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =P(\mathbf {b} )-P(\mathbf {a} ),$ όπου η ολοκλήρωση γίνεται σε ένα τόξο του Ζορντάν που διέρχεται από τη θέση a στη θέση a στη b και P(b) είναι το P που αξιολογείται στη θέση b.
2. $\oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0,$ όπου το ολοκλήρωμα αναφέρεται σε οποιοδήποτε απλό κλειστό μονοπάτι, γνωστό και ως καμπύλη Ζορντάν..
3. ${\nabla }\times {\mathbf {F} }=0.$

Η πρώτη από αυτές τις συνθήκες αντιπροσωπεύει το θεμελιώδες θεώρημα της κλίσης και ισχύει για κάθε διανυσματικό πεδίο που είναι κλίση ενός διαφορίσιμου μονοσήμαντου βαθμωτού πεδίου P. Η δεύτερη συνθήκη είναι μια απαίτηση του F ώστε να μπορεί να εκφραστεί ως κλίση μιας βαθμωτής συνάρτησης. Η τρίτη συνθήκη επανεκφράζει τη δεύτερη συνθήκη ως προς την κύρτωση της F χρησιμοποιώντας το θεμελιώδες θεώρημα της κυρτότητας. Ένα διανυσματικό πεδίο F που ικανοποιεί αυτές τις συνθήκες λέγεται αστρόβιλο (συντηρητικό).

Πηγάδι βαρυτικού δυναμικού αυξανόμενης μάζας όπου F = –∇P

Τα βαθμωτά δυναμικά διαδραματίζουν εξέχοντα ρόλο σε πολλούς τομείς της φυσικής και της μηχανικής. Το δυναμικό βαρύτητας είναι το βαθμωτό δυναμικό που σχετίζεται με τη δύναμη της βαρύτητας ανά μονάδα μάζας, ή ισοδύναμα, την επιτάχυνση λόγω του πεδίου, ως συνάρτηση της θέσης. Το δυναμικό βαρύτητας είναι η δυναμική ενέργεια βαρύτητας ανά μονάδα μάζας. Στην ηλεκτροστατική το ηλεκτρικό δυναμικό είναι το βαθμωτό δυναμικό που σχετίζεται με το ηλεκτρικό πεδίο, δηλαδή με την ηλεκτροστατική δύναμη ανά μονάδα φορτίου. Το ηλεκτρικό δυναμικό είναι στην περίπτωση αυτή η ηλεκτροστατική δυναμική ενέργεια ανά μονάδα φορτίου. Στη ρευστοδυναμική, τα αστρόβιλα ελασματικά πεδία έχουν ένα βαθμωτό δυναμικό μόνο στην ειδική περίπτωση που πρόκειται για λαπλασιανό πεδίο. Ορισμένες πτυχές της πυρηνικής δύναμης μπορούν να περιγραφούν από ένα δυναμικό Γιουκάβα. Το δυναμικό παίζει εξέχοντα ρόλο στις διατυπώσεις Λαγκρανζιανής και Χαμιλτονιανής της κλασικής μηχανικής. Περαιτέρω, το βαθμωτό δυναμικό είναι η θεμελιώδης ποσότητα στην κβαντομηχανική.

Δεν έχει κάθε διανυσματικό πεδίο ένα βαθμωτό δυναμικό. Αυτά που έχουν ονομάζονται συντηρητικά, που αντιστοιχούν στην έννοια της συντηρητικής δύναμης στη φυσική. Παραδείγματα μη συντηρητικών δυνάμεων είναι οι δυνάμεις τριβής, οι μαγνητικές δυνάμεις και στη μηχανική των ρευστών ένα σωληνοειδές πεδίο ταχύτητας. Ωστόσο, σύμφωνα με το θεώρημα του Χέλμχολτς, όλα τα διανυσματικά πεδία μπορούν να περιγραφούν με όρους ενός βαθμωτού δυναμικού και ενός αντίστοιχου διανυσματικού δυναμικού. Στην ηλεκτροδυναμική, τα ηλεκτρομαγνητικά βαθμωτά και διανυσματικά δυναμικά είναι γνωστά μαζί ως ηλεκτρομαγνητικό τετραδυναμικό.

Συνθήκες ολοκληρωσιμότητας

Αν F είναι ένα συντηρητικό διανυσματικό πεδίο (που ονομάζεται επίσης “'αστρόβιλο”', “'χωρίς καμπύλη”' ή “'δυναμικό”') και οι συνιστώσες του έχουν συνεχείς μερικές παραγώγους, το “”'δυναμικό'“” του F ως προς ένα σημείο αναφοράς r₀ ορίζεται ως προς το ευθύγραμμο ολοκλήρωμα:

$V(\mathbf {r} )=-\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =-\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt,$

όπου C είναι μια παραμετροποιημένη διαδρομή από r₀ to r,

$\mathbf {r} (t),a\leq t\leq b,\mathbf {r} (a)=\mathbf {r_{0}} ,\mathbf {r} (b)=\mathbf {r} .$

Το γεγονός ότι το γραμμικό ολοκλήρωμα εξαρτάται από τη διαδρομή C μόνο μέσω των τερματικών του σημείων r₀ και r είναι, στην ουσία, η ιδιότητα ανεξαρτησίας διαδρομής ενός συντηρητικού διανυσματικού πεδίου. Το θεμελιώδες θεώρημα των γραμμικών ολοκληρωμάτων συνεπάγεται ότι αν V ορίζεται με αυτόν τον τρόπο, τότε F = –∇V, οπότε V είναι ένα βαθμωτό δυναμικό του συντηρητικού διανυσματικού πεδίου F. Το βαθμωτό δυναμικό δεν καθορίζεται μόνο από το διανυσματικό πεδίο: πράγματι, η κλίση μιας συνάρτησης δεν επηρεάζεται αν προστεθεί σε αυτήν μια σταθερά. Αν το V ορίζεται ως προς το γραμμικό ολοκλήρωμα, η ασάφεια του V αντανακλά την ελευθερία στην επιλογή του σημείου αναφοράς r₀.

Το υψόμετρο ως βαρυτική δυναμική ενέργεια

ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο κοντά στην επιφάνεια της Γης

Διάγραμμα μιας δισδιάστατης τομής του βαρυτικού δυναμικού μέσα και γύρω από ένα ομοιόμορφο σφαιρικό σώμα. Τα σημεία καμπής της τομής βρίσκονται στην επιφάνεια του σώματος.

Ένα παράδειγμα είναι το (σχεδόν) ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο κοντά στην επιφάνεια της Γης. Έχει μια δυναμική ενέργεια

$U=mgh$

όπου U είναι η βαρυτική δυναμική ενέργεια και h είναι το ύψος πάνω από την επιφάνεια. Αυτό σημαίνει ότι η βαρυτική δυναμική ενέργεια σε μια απεικόνιση περιγράμματος είναι ανάλογη του ύψους. Σε μια απεικόνιση του περιγράμματος, η δισδιάστατη αρνητική κλίση του υψομέτρου είναι ένα δισδιάστατο διανυσματικό πεδίο, του οποίου τα διανύσματα είναι πάντα κάθετα στα περιγράμματα και επίσης κάθετα στη διεύθυνση της βαρύτητας. Αλλά στην λοφώδη περιοχή που αντιπροσωπεύεται από την απεικόνιση περιγραμμάτων, η τρισδιάστατη αρνητική κλίση του U δείχνει πάντα ευθεία προς τα κάτω προς την κατεύθυνση της βαρύτητας- F. Ωστόσο, μια σφαίρα που κυλάει σε έναν λόφο δεν μπορεί να κινηθεί απευθείας προς τα κάτω λόγω της ορθής δύναμης της επιφάνειας του λόφου, η οποία ακυρώνει τη συνιστώσα της βαρύτητας κάθετα στην επιφάνεια του λόφου. Η συνιστώσα της βαρύτητας που απομένει για την κίνηση της σφαίρας είναι παράλληλη προς την επιφάνεια:

$\mathbf {F} _{\mathrm {S} }=-mg\ \sin \theta$

όπου θ είναι η γωνία κλίσης και η συνιστώσα του F_S κάθετα στη βαρύτητα είναι

$\mathbf {F} _{\mathrm {P} }=-mg\ \sin \theta \ \cos \theta =-{1 \over 2}mg\sin 2\theta .$

Αυτή η δύναμη F_P, παράλληλη προς το έδαφος, είναι μεγαλύτερη όταν θ είναι 45 μοίρες.

Έστω Δh το ομοιόμορφο υψομετρικό διάστημα μεταξύ των περιγραμμάτων στην απεικόνιση περιγραμμάτων και Δx η απόσταση μεταξύ δύο περιγραμμάτων. Τότε

$\theta =\tan ^{-1}{\frac {\Delta h}{\Delta x}}$

έτσι ώστε

$F_{P}=-mg{\Delta x\,\Delta h \over \Delta x^{2}+\Delta h^{2}}.$

Ωστόσο, σε μια απεικόνιση του περιγράμματος, η κλίση είναι αντιστρόφως ανάλογη του Δx, το οποίο δεν είναι παρόμοιο με τη δύναμη F_P: το υψόμετρο σε μια απεικόνιση του περιγράμματος δεν είναι ακριβώς ένα δισδιάστατο δυναμικό πεδίο. Τα μεγέθη των δυνάμεων είναι διαφορετικά, αλλά οι κατευθύνσεις των δυνάμεων είναι οι ίδιες τόσο σε μια απεικόνιση περιγράμματος όσο και στην λοφώδη περιοχή της γήινης επιφάνειας που αναπαριστά η απεικόνιση περιγράμματος.

Πίεση ως δυναμικό άνωσης

Στη μηχανική των ρευστών, ένα ρευστό που βρίσκεται σε ισορροπία, αλλά παρουσία ομοιόμορφου βαρυτικού πεδίου, διαπερνάται από μια ομοιόμορφη δύναμη άνωσης που εξουδετερώνει τη βαρυτική δύναμη: με αυτόν τον τρόπο το ρευστό διατηρεί την ισορροπία του. Αυτή η πλευστική δύναμη είναι η αρνητική κλίση της πίεσης:

$\mathbf {f_{B}} =-\nabla p.$

Δεδομένου ότι η δύναμη άνωσης δείχνει προς τα πάνω, προς την αντίθετη κατεύθυνση από τη βαρύτητα, τότε η πίεση στο ρευστό αυξάνεται προς τα κάτω. Η πίεση σε ένα στατικό σώμα νερού αυξάνεται αναλογικά με το βάθος κάτω από την επιφάνεια του νερού. Οι επιφάνειες σταθερής πίεσης είναι επίπεδα παράλληλα προς την επιφάνεια, τα οποία μπορούν να χαρακτηριστούν ως το επίπεδο μηδενικής πίεσης.

Εάν το υγρό έχει μια κατακόρυφη δίνη (της οποίας ο άξονας περιστροφής είναι κάθετος στην επιφάνεια), τότε η δίνη προκαλεί μια ύφεση στο πεδίο πίεσης. Η επιφάνεια του υγρού μέσα στη δίνη έλκεται προς τα κάτω, όπως και κάθε επιφάνεια ίσης πίεσης, η οποία εξακολουθεί να παραμένει παράλληλη προς την επιφάνεια του υγρού. Το φαινόμενο είναι ισχυρότερο στο εσωτερικό της δίνης και μειώνεται ραγδαία με την απόσταση από τον άξονα της δίνης.

Η δύναμη άνωσης που οφείλεται σε ένα υγρό σε ένα στερεό αντικείμενο που είναι βυθισμένο και περιβάλλεται από το υγρό αυτό μπορεί να ληφθεί με την ολοκλήρωση της αρνητικής βαθμίδας πίεσης κατά μήκος της επιφάνειας του αντικειμένου:

$F_{B}=-\oint _{S}\nabla p\cdot \,d\mathbf {S} .$

Βαθμωτό δυναμικό στον Ευκλείδειο χώρο

Στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο χώρο ⁠$\mathbb {R} ^{3}$⁠, το βαθμωτό δυναμικό ενός αστρόβιλου διανυσματικού πεδίου E δίνεται ως εξής

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')$

όπου dV(r') είναι ένα απειροελάχιστο στοιχείο όγκου ως προς r'. Τότε

$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\mathbf {\nabla } \int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\operatorname {div} \mathbf {E} (\mathbf {r} ')}{\left\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right\|}}\,dV(\mathbf {r} ')$

Αυτό ισχύει υπό την προϋπόθεση ότι η E είναι συνεχής και εξαφανίζεται ασυμπτωτικά στο μηδέν προς το άπειρο, μειούμενη ταχύτερα από 1/r και αν η απόκλιση της E εξαφανίζεται επίσης προς το άπειρο, μειούμενη ταχύτερα από 1/r².

Με άλλο τρόπο, έστω

$\Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}{\frac {1}{\|\mathbf {r} \|}}$

είναι το Νευτώνειο δυναμικό. Αυτή είναι η θεμελιώδης λύση της εξίσωσης Λαπλάς, που σημαίνει ότι η Λαπλασιανή της Γ είναι ίση με το αρνητικό της συνάρτησης δέλτα Ντιράκ:

$\nabla ^{2}\Gamma (\mathbf {r} )+\delta (\mathbf {r} )=0.$

Τότε το βαθμωτό δυναμικό είναι η απόκλιση της συνέλιξης της E με την Γ:

$\Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma ).$

Πράγματι, η συνέλιξη ενός αστρόβιλου διανυσματικού πεδίου με ένα περιστροφικά αμετάβλητο δυναμικό είναι επίσης αστρόβιλο. Για ένα αστρόβιλο διανυσματικό πεδίο G, μπορεί να δειχθεί ότι

$\nabla ^{2}\mathbf {G} =\mathbf {\nabla } (\mathbf {\nabla } \cdot {}\mathbf {G} ).$

Ως εκ τούτου

$\nabla \operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )=\nabla ^{2}(\mathbf {E} *\Gamma )=\mathbf {E} *\nabla ^{2}\Gamma =-\mathbf {E} *\delta =-\mathbf {E}$ όπως απαιτείται.

Γενικότερα, ο τύπος

$\Phi =\operatorname {div} (\mathbf {E} *\Gamma )$

ισχύει στον n-διάστατο Ευκλείδειο χώρο (n > 2) με το Νευτώνειο δυναμικό να δίνεται τότε ως εξής

$\Gamma (\mathbf {r} )={\frac {1}{n(n-2)\omega _{n}\|\mathbf {r} \|^{n-2}}}$

όπου ω_n είναι ο όγκος της μοναδιαίας n-σφαίρας. Η απόδειξη είναι πανομοιότυπη. Εναλλακτικά, η ολοκλήρωση κατά μέρη (ή, πιο αυστηρά, οι ιδιότητες της συνέλιξης) δίνει

$\Phi (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{n\omega _{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {\mathbf {E} (\mathbf {r} ')\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}{\|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\|^{n}}}\,dV(\mathbf {r} ').$

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Διδιάστατος χώρος
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Υπερβολική γεωμετρία
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Καμπυλότητα Γκάους
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Διάσταση Κρουλ
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση

Βιβλιογραφία

• Ida, Nathan (1 Αυγούστου 2007). Engineering Electromagnetics. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-20156-6. 
• Kalyan, Lakshman (20 Φεβρουαρίου 2025). Engineering Electromagnetics Explained. Educohack Press. ISBN 978-93-6152-104-1. 
• Krawczyk, Andrzej· Wiak, S. (2002). Electromagnetic Fields in Electrical Engineering. IOS Press. ISBN 978-1-58603-232-6. 
• Ergul, Ozgur (14 Σεπτεμβρίου 2021). Introduction to Electromagnetic Waves with Maxwell's Equations. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-62674-9. 
• Li, Tatsien· Qin, Tiehu (14 Αυγούστου 2013). Physics and Partial Differential Equations: Volume I. SIAM. ISBN 978-1-61197-227-6. 
• Kulkarni, S. V.· Khaparde, S. A. (19 Δεκεμβρίου 2017). Transformer Engineering: Design, Technology, and Diagnostics, Second Edition. CRC Press. ISBN 978-1-351-83322-6. 
• RAO, R. S. (17 Ιανουαρίου 2012). ELECTROMAGNETIC WAVES AND TRANSMISSION LINES. PHI Learning Pvt. Ltd. ISBN 978-81-203-4515-7. 
• Campos, Luis Manuel Braga da Costa· Vilela, Luís António Raio (30 Νοεμβρίου 2022). Vector Fields with Applications to Thermodynamics and Irreversibility. CRC Press. ISBN 978-1-000-41603-9. 
• Evans, Myron W. (4 Αυγούστου 2004). Modern Nonlinear Optics, Volume 119, Part 2. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-46612-3. 
• Vasetsky, Yuriy· Zaporozhets, Artur (11 Αυγούστου 2023). Electromagnetic Field Near Conducting Half-Space: Theory and Application Potentials. Springer Nature. ISBN 978-3-031-38423-3. 

Παραπομπές

• Hubbard, J. H.· Hubbard, B. B. (1999). Vector calculus, linear algebra, and differential forms. A unified approach. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. ISBN 0-13-657446-7. 
• Warner, Frank (1983) [1971]. Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. New York-Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90894-3. 
• Boothby, William (1986). An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure and Applied Mathematics, volume 120 (second έκδοση). Orlando, FL: Academic Press. ISBN 0-12-116053-X. 
• Watson, G. N. (1966). A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2nd ed. Cambridge, England: Cambridge University Press. MR 1349110. 
• Fewell, M. P. (2006). «Area of common overlap of three circles». Defence Science and Technology Organisation. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 3 Μαρτίου 2022. 
• Librion, Federico; Levorato, Marco; Zorzi, Michele (2012). «An algorithmic solution for computing circle intersection areas and its application to wireless communications». Wirel. Commun. Mobile Comput. 14 (18): 1672–1690. doi:10.1002/wcm.2305. 
• Schwarz, Michael; Stamminger, Marc (2006), «Pixel-shader-based curved triangles», SIGGRAPH '06: ACM SIGGRAPH 2006 Research posters, ACM Press, doi:10.1145/1179622.1179680, http://www.mpi-inf.mpg.de/~mschwarz/papers/pscurvedtris-sig06.pdf 
• Barrera, Tony; Hast, Anders; Bengtsson, Ewert, «Surface Construction with Near Least Square Acceleration based on Vertex Normals on Triangular Meshes», στο: Ollila, Mark, επιμ., SIGRAD 2002, σελ. 43–48, https://www.diva-portal.org/smash/get/diva2:968852/FULLTEXT01.pdf#page=49 
• Martin, Ralph R. (6 Αυγούστου 2009). Mathematics of Surfaces XIII: 13th IMA International Conference York, UK, September 7-9, 2009 Proceedings. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-03595-1. 
• Iskovskikh, V.A. (2001), «Ruled surface», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ., Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=R/r082790 
• Sharp, John (2008), D-Forms: surprising new 3-D forms from flat curved shapes, Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3 . Review: Séquin, Carlo H. (2009), Journal of Mathematics and the Arts 3: 229–230,
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), «Section 6.3. Exponential Integrals», Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd έκδοση), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=266, ανακτήθηκε στις 2011-08-09 
• Temme, N. M. (2010), "Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals", in Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

Πηγές

• Humanitarian Data Exchange(HDX) – The Humanitarian Data Exchange (HDX) is an open humanitarian data sharing platform managed by the United Nations Office for the Coordination of Humanitarian Affairs.
• NYC Open Data – free public data published by New York City agencies and other partners.
• Relational data set repository Αρχειοθετήθηκε 2018-03-07 στο Wayback Machine.
• Research Pipeline – a wiki/website with links to data sets on many different topics
• StatLib–JASA Data Archive
• UCI – a machine learning repository
• UK Government Public Data
• World Bank Open Data – Free and open access to global development data by World Bank
• Apostol, Tom M. (29 Ιουνίου 2013). Introduction to Analytic Number Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4757-5579-4. 
• Miller, P. D. (2006), Applied Asymptotic Analysis, American Mathematical Society, ISBN 9780821840788, https://books.google.com/books?id=KQvqBwAAQBAJ 
• Apostol, Thomas M. (1976), Introduction to Analytic Number Theory, New York: Springer, ISBN 0-387-90163-9, https://archive.org/details/introductiontoan00apos_0