Εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
Μετάβαση σε: πλοήγηση, αναζήτηση

Το εξηνταδικό σύστημα αρίθμησης αποτελεί μέθοδο η οποία χρησιμοποιεί το 60 ως την αριθμητική βάση των αριθμών. Χρησιμοποιήθηκε για πρώτη φορά από τους Σουμέριους την 3η χιλιετία π.Χ. εκφρασμένο στην σφηνοειδή γραφή, και μετέπειτα αναπτύχθηκε από τους Βαβυλώνιους με την μετατροπή του σε θεσιακό σύστημα. Εξακολουθεί να χρησιμοποιείται υπό τροποποιημένη μορφή στην σύγχρονη εποχή σε τομείς όπως την ώρα και τις υποδιαιρέσεις της κατά την μέτρηση του χρόνου, τριγωνομετρία, και γεωγραφικές συντεταγμένες.

Προέλευση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Οι φάλαγγες (οριζόντιες αρθρώσεις) των δαχτύλων χρησιμοποιούνται σε κάποιους πολιτισμούς για την μέτρηση έως το 12 με την χρήση του ενός χεριού

Ιστορικά, οι πολιτισμοί των Σουμέριων και των Ακκάδιων κατά την 3η χιλιετία π.Χ. ήταν οι πρώτοι που χρησιμοποίησαν το εξηνταδικό σύστημα σε βασική μορφή για την αναπαράσταση ποσοτήτων. Όμως η μετατροπή του συστήματος σε πραγματικό θεσιακό σύστημα (τάξεις μεγέθους, υποστήριξη κλασμάτων) έγινε μετέπειτα από τους Βαβυλώνιους (2η χιλιετία π.Χ.) οι οποίοι το χρησιμοποίησαν κατά την ανάπτυξη των βαβυλωνιακών μαθηματικών και των αστρονομικών παρατηρήσεων τους.[1]

Σε κάποιες περιοχές της Ασίας χρησιμοποιείται η μέτρηση αριθμών με τα δάκτυλα του ενός χεριού έως τον αριθμό 12, με τον αντίχειρα να χρησιμοποιείται για να καταμετρήσει τις φάλαγγες των δαχτύλων (3 φάλαγγες/οριζόντιες αρθρώσεις ανά δάκτυλο εκτός του αντίχειρα, 3 * 4 = 12). Κάτι τέτοιο ενδεχομένως εξηγεί το πως προέκυψαν τα συστήματα αρίθμησης με βάση το 12 και το πολλαπλάσιο του, 60, πέρα από τα πιο συνήθη με βάση το 5, 10 ή 20. Στο εξηνταδικό σύστημα το ένα χέρι μετρά επανειλημμένα έως το 12, ενώ τα δάχτυλα του άλλου χεριού κρατούν τον αριθμό των επαναλήψεων (12 * 5 = 60).[2][3]

Χρήση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Γενικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το κύριο πλεονέκτημα του εξηνταδικού συστήματος βρίσκεται στον υπολογισμό κλασμάτων, καθώς ο αριθμός 60 αποτελεί εξαιρετικά υψηλά σύνθετο αριθμό, διαθέτοντας δώδεκα παράγοντες (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, και 60) εκ των οποίων οι τρεις (2, 3, 5) είναι πρώτοι αριθμοί. Λόγω της διαθεσιμότητας πολλών παραγόντων είναι εύκολη η κατάτμηση του αριθμού σε μικρότερες υποομάδες. Το 60 επίσης αποτελεί το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των πρώτων έξι αριθμών (1 έως 6). Στα αρχαία βαβυλωνιακά κείμενα χρησιμοποιείται πολύ συχνά για την παράθεση κλασμάτων αριθμών σε μαθηματικούς πίνακες.[4]

Στην πράξη αυτό χρησιμοποιήθηκε από τους εμπόρους και τους αγοραστές για τον υπολογισμό ποσοτήτων αγαθών και δοσοληψιών σε διάφορες υποδιαιρέσεις κατά τις αγοραπωλησίες, και νομισματικές μονάδες όπως το αρχαίο σέκελ βασίζονταν στο εξηνταδικό σύστημα (1 σέκελ = 1/60 μανά).[5] Η μονάδα αυτή αργότερα υιοθετήθηκε και από τους Έλληνες ως μνα, σε τροποποιημένη μορφή καθώς ως βάση ορίστηκε το 50 ώστε η μονάδα να είναι συμβατή με το δεκαδικό σύστημα (10 * 5 = 50).

Οι αναπαραστάσεις των αριθμών διέφεραν ανάλογα με την χρήση και υπήρχαν διάφορες παραλλαγές τους καθώς και συνδυασμοί των ψηφίων τους,[6] ενώ μερικές δεν χρησιμοποιούνταν το μηδέν.[7]

Βαβυλωνιακά μαθηματικά[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Το εξηνταδικό σύστημα των Βαβυλωνίων δεν ήταν καθαρό εξηνταδικό σύστημα καθώς δεν διέθετε ξεχωριστό σύμβολο για το κάθε ένα από τα εξήντα ψηφία του, αλλά συνδυασμούς ψηφίων για την κάθε καταχώριση αριθμού στο θεσιακό σύστημα. Για τις πρώτες εννέα καταχωρήσεις χρησιμοποιούνταν τα βαβυλωνιακά ψηφία στην σφηνοειδή γραφή, ενώ για τις δεκάδες έως το πενήντα επίσης ξεχωριστά σύμβολα. Όλα τα υπόλοιπα ψηφία του αριθμητικού συστήματος αποτελούσαν συνδυασμούς των ψηφίων αυτών. Για τους μεγαλύτερους αριθμούς χρησιμοποιούνταν η ίδια λογική επανάληψης των ψηφίων, χωρίς να υπάρχουν πλέον νέα ψηφία.

Babylonian numerals.svg

Πριν την χρήση του μηδενός, η ερμηνεία των αριθμών εξαρτώταν ανά περίπτωση όπου εμφανίζονταν ο αριθμός, για παράδειγμα ο αριθμός 1 και ο αριθμός 60 (61ος αριθμός) αναγραφόταν με το ίδιο σύμβολο.[8][9] Όταν αργότερα οι Βαβυλώνιοι άρχισαν να χρησιμοποιούν το μηδέν (ωςBabylonian digit 0.svg), η ανάγνωση των αριθμών διευκολύνθηκε, ωστόσο το έκαναν ως πρόθεμα (υποδηλώνοντας ότι ακολουθεί δεκάδα, εκατοντάδα κτλ), και όχι ως τμήμα του ίδιου του αριθμού (στα δεξιά του αριθμού όπως 10, 2000 κτλ).[9]

Ελληνικά κείμενα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στην Πολιτεία του Πλάτωνα (4ος αιώνας π.Χ.) υπάρχει σχετική αλληγορία σχετικά με τον γάμο και τον αριθμό 604 = 12.960.000 και τους διαιρέτες του. Καθώς ο αριθμός αυτός αναπαριστάται με πολύ απλή μορφή στο εξηνταδικό σύστημα ως 1,0,0,0,0 (τριγωνομετρική μορφή) υπήρξε προσπάθεια από διάφορους μελετητές των βαβυλωνιακών μαθηματικών και της μουσικής θεωρίας έτσι ώστε να εξηγηθεί η σχέση της αναφοράς αυτής με το εξηνταδικό σύστημα.[10]

Ο υπολογισμός του τροπικού έτους ως 365,25 ημέρες από τον Κάλλιπο (4ος αιώνας π.Χ.)[11] και οι μετέπειτα βελτιώσεις του Ίππαρχου (2ος αιώνας π.Χ.),[12] ίσως είχαν βαβυλωνιακή προέλευση. Ο αριθμός των ημερών εκφράζεται ως 6,5;14,44,51 (6 × 60 + 5 + 14/60 + 44/602 + 51/603) ημέρες.

Στο έργο Μαθηματική σύνταξις του Κλαύδιου Πτολεμαίου (2ος αιώνας μ.Χ.), το εξηνταδικό σύστημα χρησιμοποιείται για την αναπαράσταση των δεκαδικών σημείων των αριθμών, και συγκεκριμένα στον πίνακα των χορδών της πραγματείας, ο οποίος υπήρξε ο μοναδικός αναλυτικός εξηνταδικός τριγωνομετρικός πίνακας για πάνω από μια χιλιετία. Τα ψηφία γράφτηκαν με χρήση του ελληνικού συστήματος αρίθμησης, με το κάθε εξηνταδικό ψηφίο να λογίζεται ως ξεχωριστός αριθμός, ενώ για την χρήση του μηδενός ακολουθήθηκε η ίδια με τους Βαβυλωνίους λογική του προθέματος. Σε ότι αφορά τον υπολογισμό της τιμής του π από τον Πτολεμαίο αυτός έγινε ως 3;8,30 = 3 + 8/60 + 30/602 = 377/1203.141666....[13]

Άλλες ιστορικές χρήσεις[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Αριθμητικά συστήματα με βάση το 60 χρησιμοποιήθηκαν και από άλλους πολιτισμούς, απομακρυσμένους από την περιοχή της Μέσης Ανατολής, όπως τον λαό των Εκάρι στην δυτική Νέα Γουινέα.[14][15]

Στο κινεζικό ημερολόγιο, χρησιμοποιείται συχνά το σύστημα του εξηνταδικού κύκλου, όπου οι ημέρες ή τα έτη ονομάζονται ανάλογα με την θέση τους σε ακολουθίες των 10 ομάδων και σε άλλη ακολουθία 12 κλάδων. Η ομάδα και ο κλάδος επαναλαμβάνονται με την ολοκλήρωση κάθε 60 εναλλαγών στον κύκλο αυτό.

Σύγχρονη χρήση[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο πλαίσιο της τριγωνομετρίας και της μελέτης των αρχαίων μαθηματικών, οι εξηνταδικοί αριθμοί γράφονται με χρήση των δεκαδικών ψηφίων, και το κάθε ψηφίο να χωρίζεται από κόμμα.[16] Για παράδειγμα η τετραγωνική ρίζα του 2 στο δεκαδικό σύστημα είναι 1,41421 και στο εξηνταδικό 1;24,51,10.[17]

Στα συστήματα μέτρησης χρόνου, μια ώρα αποτελείται από 60 λεπτά, και το κάθε λεπτό απαρτίζεται από 60 δευτερόλεπτα. Έτσι η ποσότητα χρόνου όπως 3:23:17 (τρεις ώρες, είκοσι τρία λεπτά, δεκαεπτά δευτερόλεπτα) ερμηνεύεται ως εξηνταδικός αριθμός ως 3 × 602 + 23 × 601 + 17 × 600 δευτερόλεπτα. Με παρόμοιο τρόπο γίνεται και η μέτρηση των γωνιών, όπου π.χ. ο κύκλος αποτελείται από 360 μοίρες (60 * 6 = 360). Η υιοθέτηση του συστήματος αυτού εδραιώθηκε κατά την περίοδο της Αναγέννησης στην δυτική Ευρώπη.[18][19]

Σε ότι αφορά την απλή μετατροπή αριθμού από μια αριθμητική βάση στην βάση 60, για την παράσταση των ψηφίων πάνω από το 9 και έως το 60 χρησιμοποιούνται τα γράμματα του λατινικού αλφαβήτου σε πεζή και σε κεφαλαία μορφή.

Κλάσματα[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Στο εξηνταδικό σύστημα το κάθε κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής διαθέτει μόνο το 2, 3, και 5 στην παραγοντοποίηση πρώτων του μπορεί να εκφραστεί με ακρίβεια.[20] Για παράδειγμα το 1/9 της ώρας είναι 6 λεπτά και 40 δευτερόλεπτα.

Κλάσμα 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/8 1/9 1/10
Εξηνταδικός 30 20 15 12 10 7,30 6,40 6
Κλάσμα 1/12 1/15 1/16 1/18 1/20 1/24 1/25 1/27
Εξηνταδικός 5 4 3,45 3,20 3 2,30 2,24 2,13,20
Κλάσμα 1/30 1/32 1/36 1/40 1/45 1/48 1/50 1/54
Εξηνταδικός 2 1,52,30 1,40 1,30 1,20 1,15 1,12 1,6,40

Για τα κλάσματα τα οποία δεν διαθέτουν παρονομαστές με την παραπάνω ιδιότητα η απόδοση τους είναι πιο περίπλοκη και επιστρέφει περιοδικούς αριθμούς.

1/7 = 0;8,34,17,8,34,17 ...= 0;8,34,17
1/11 = 0;5,27,16,21,49
1/13 = 0;4,36,55,23
1/14 = 0;4,17,8,34
1/17 = 0;3,31,45,52,56,28,14,7
1/19 = 0;3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41
Βαβυλωνιακή πλάκα με αναγραφή του εξηνταδικού αριθμού 1;24,51,10 ο οποίος προσεγγίζει την τετραγωνική ρίζα του 2.

Η τετραγωνική ρίζα του 2, η οποία αντιστοιχεί στην διαγώνιο ενός τετραγώνου, υπολογίστηκε από τους Βαβυλώνιους ως:

[21]

Παραπομπές[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Commons logo
Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα
  1. «Babylonian numerals». www-history.mcs.st-and.ac.uk. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Babylonian_numerals.html. Ανακτήθηκε στις 2017-09-26. 
  2. Ifrah, Georges (2000), The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer., John Wiley and Sons, ISBN 0-471-39340-1 . Translated from the French by David Bellos, E.F. Harding, Sophie Wood and Ian Monk.
  3. Macey, Samuel L. (1989). The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure. Atlanta, Georgia: University of Georgia Press, σελ. 92. ISBN 978-0-8203-3796-8. https://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92&lpg=PA92. 
  4. Neugebauer, O. (1969). The Exact Sciences in Antiquity. Dover, σελ. 17, para. 3 (middle). ISBN 0-486-22332-9. «In other words: it is only in strictly mathematical or astronomical contexts that the sexagesimal system is consistently applied. In all other matters (dates, measures of weight, areas, etc.), use was made of mixed systems which have their exact parallel in the chaos of 60-division, 24-division, 12-division, 10-division, 2-division which characterizes the units of our own civilization.» 
  5. Neugebauer, O. (1969). The Exact Sciences in Antiquity. Dover, σελ. 19, para. 3. ISBN 0-486-22332-9. «Combined with this, another process was taking place. In economic texts units of weight, measuring silver, were of primary importance. These units seem to have been arranged from early times in a ratio 60 to 1 for the main units “mana” (the Greek μνα ̃ “mina”) and shekel. Though the details of this process cannot be described accurately, it is not surprising to see this same ratio applied to other units and then to numbers in general. In other words, any sixtieth could have been called a shekel because of the familiar meaning of this concept in all financial transactions. Thus the “sexagesimal” order eventually became the main numerical system and with it the place value writing derived from the use of bigger and smaller signs. The decimal substratum, however, always remained visible for all numbers up to 60.» 
  6. Neugebauer, O. (1969). The Exact Sciences in Antiquity. Dover, σελ. 19, para. 2. ISBN 0-486-22332-9. «Beside these basic elements, many modifications of number symbols were in use for different classes of objects, such as capacity measures, weights, areas, etc. Among these a clear decimal system has been recognized with signs for 1, 10, and 100. The numbers 1 and 10 we have already described. The 100 was written as a circular impression which looks like 10, but is made much bigger. Thus 100 is simply “big 10”. Another system proceeds sexagesimally, at least partially. Distinct units are 1 and 10 as before. A big 1 represents 60. Two big units written in opposing directions are combined into one sign to form 120. A 10-sign added in the middle gives 1200. A very big 10 sign stands for 3600. Variations of these systems, both decimal and more or less sexagesimal, can be established at different localities. The main facts, however, are common to all of them, namely, the existence of a decimal substratum and the use of bigger symbols to represent higher units.» 
  7. Neugebauer, O. (1969). The Exact Sciences in Antiquity. Dover, σελ. 17, para. 1. ISBN 0-486-22332-9. «The other inconsistency of the modern astronomical notation, namely, to continue beyond the seconds with decimal fractions, is a recent innovation. It is interesting to see that it took about 2000 years of migration of astronomical knowledge from Mesopotamia via Greeks, Hindus, and Arabs to arrive at a truly absurd numerical system.» 
  8. Bello, Ignacio; Britton, Jack R.; Kaul, Anton (2009), Topics in Contemporary Mathematics (9th έκδοση), Cengage Learning, σελ. 182, ISBN 9780538737791, https://books.google.com/books?id=Aji2yzbopxgC&pg=PA182 .
  9. 9,0 9,1 Lamb, Evelyn (August 31, 2014), «Look, Ma, No Zero!», Scientific American, Roots of Unity, http://blogs.scientificamerican.com/roots-of-unity/2014/08/31/look-ma-no-zero/ 
  10. Barton, George A. (1908), «On the Babylonian origin of Plato's nuptial number», Journal of the American Oriental Society 29: 210–219, doi:10.2307/592627 . McClain, Ernest G.; Plato, (1974), «Musical "Marriages" in Plato's "Republic"», Journal of Music Theory 18 (2): 242–272, doi:10.2307/843638 
  11. Leverington, David (2003), Babylon to Voyager and Beyond: A History of Planetary Astronomy, Cambridge University Press, σελ. 30, ISBN 9780521808408, https://books.google.com/books?id=6Hpi202ybn8C&pg=PA30 .
  12. DIO, volume 1, number 1, pages 49–66; A.Jones, 2001; Thurston, op. cit., page 62
  13. Toomer, G. J., επιμ.. (1984), Ptolemy's Almagest, New York: Springer Verlag, σελ. 302, ISBN 0-387-91220-7 
  14. Bowers, Nancy (1977), «Kapauku numeration: Reckoning, racism, scholarship, and Melanesian counting systems», Journal of the Polynesian Society 86 (1): 105–116., http://www.ethnomath.org/resources/bowers1977.pdf 
  15. Lean, Glendon Angove (1992), Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania, Ph.D. thesis, Papua New Guinea University of Technology, http://www.uog.ac.pg/glec/thesis/thesis.htm . See especially chapter 4.
  16. Neugebauer, Otto; Sachs, Abraham Joseph; Götze, Albrecht (1945), Mathematical Cuneiform Texts, American Oriental Series, 29, New Haven: American Oriental Society and the American Schools of Oriental Research, σελ. 2, https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=i-juAAAAMAAJ&oi=fnd&pg=PA1&dq=%22sexagesimal+notation%22&ots=nkmW8KTnQ_&sig=U_K4iOoKy5Xf70UrbjoTyS3hN2A#v=onepage&q=%22sexagesimal%20notation%22&f=false 
  17. Aaboe (1964), pp. 15–16, 25
  18. Cajori, Florian (2007) [1928]. A History of Mathematical Notations. 1. New York: Cosimo, Inc., σελ. 216. ISBN 9781602066854. https://books.google.com/books?id=OQZxHpG2y3UC&printsec=frontcover#v=onepage&q&f=false. 
  19. Newton, Isaac (1671). The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines.. London: Henry Woodfall (δημοσιεύθηκε 1736), σελ. 146. https://books.google.com/books?id=WyQOAAAAQAAJ&pg=PA146&lpg=PA146&dq=%22Sexagesimal+Scale+of+Arithmetick,+of+frequent+use+among+Astronomers%22&source=bl&ots=RDkOg7a6Up&sig=_WFaXnugJ6HvQ_fkzuJDGmFFcKU&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwj9i_znotHKAhUT7GMKHVOCCkUQ6AEIHDAA#v=onepage&q=%22Sexagesimal%20Scale%20of%20Arithmetick%2C%20of%20frequent%20use%20among%20Astronomers%22&f=false. 
  20. Neugebauer, Otto E. (1955), Astronomical Cuneiform Texts, London: Lund Humphries 
  21. YBC 7289 clay tablet

Σχετική βιβλιογραφία[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

  • Ifrah, Georges (1999), The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer, Wiley, ISBN 0-471-37568-3 .
  • Nissen, Hans J.; Damerow, P.; Englund, R. (1993), Archaic Bookkeeping, University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6 
  • "Facts on the Calculation of Degrees and Minutes" is an Arabic language book by Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (b. 1423). This work offers a very detailed treatment of sexagesimal mathematics and includes what appears to be the first mention of the periodicity of sexagesimal fractions.