Αυτομορφισμός

Ένας αυτομορφισμός της τετραδική Ομάδα Κλάιν που παρουσιάζεται ως απεικόνιση μεταξύ δύο γραφημάτων Κέιλυ, μια αντιμετάθεση σε συμβολισμό κύκλων και μια απεικόνιση μεταξύ δύο πινάκων Κέιλυ..

Στα μαθηματικά, ένας αυτομορφισμός είναι ένας ισομορφισμός ενός μαθηματικού αντικειμένου προς τον εαυτό του. Είναι, κατά κάποιο τρόπο, μια συμμετρία του αντικειμένου και ένας τρόπος απεικόνισης του αντικειμένου στον εαυτό του, διατηρώντας όλη τη δομή του. Το σύνολο όλων των αυτομορφισμών ενός αντικειμένου σχηματίζει μια ομάδα που ονομάζεται ομάδα αυτομορφισμού. Είναι, σε ελεύθερη έκφραση, η ομάδα συμμετρίας του αντικειμένου.

Ορισμός

Σε μια αλγεβρική δομή, όπως μια ομάδα, ένας δακτύλιος ή ένας διανυσματικός χώρος, ένας αυτομορφισμός είναι απλά ένας διμερής ομομορφισμός ενός αντικειμένου στον εαυτό του. (Ο ορισμός ενός ομομορφισμού εξαρτάται από τον τύπο της αλγεβρικής δομής- δείτε, λόγου χάριν, ομομορφισμό ομάδας, ομομορφισμό δακτυλίου και γραμμικό τελεστή).

Γενικότερα, για ένα αντικείμενο σε κάποια κατηγορία, ένας αυτομορφισμός είναι ένας μορφισμός του αντικειμένου προς τον εαυτό του που έχει έναν αντίστροφο μορφισμό, δηλαδή ένας μορφισμός $f:X\to X$ είναι αυτομορφισμός αν υπάρχει μορφισμός $g:X\to X$ τέτοιος ώστε $g\circ f=f\circ g=\operatorname {id} _{X},$ όπου $\operatorname {id} _{X}$ είναι ο μορφισμός ταυτότητας του X}. Για αλγεβρικές δομές, οι δύο ορισμοί είναι ισοδύναμοι- σε αυτή την περίπτωση, ο μορφισμός ταυτότητας είναι απλά η συνάρτηση ταυτότητας και συχνά ονομάζεται τετριμμένος αυτομορφισμός.

Ομάδα αυτομορφισμού

Οι αυτομορφισμοί ενός αντικειμένου X σχηματίζουν μια ομάδα υπό σύνθεση μορφισμών, η οποία ονομάζεται ομάδα αυτομορφισμών του X. Αυτό προκύπτει ευθέως από τον ορισμό μιας κατηγορίας.

Η ομάδα αυτομορφισμού ενός αντικειμένου X σε μια κατηγορία C συχνά συμβολίζεται Aut_C(X), ή απλά Aut(X) αν η κατηγορία είναι σαφής από τα συμφραζόμενα.

Παραδείγματα

• Στη θεωρία συνόλων, μια αυθαίρετη μεταβολή των στοιχείων ενός συνόλου X είναι ένας αυτομορφισμός. Η ομάδα αυτομορφισμών του X ονομάζεται επίσης συμμετρική ομάδα στο X.
• Στη στοιχειώδη αριθμητική, το σύνολο των ακεραίων, ⁠$\mathbb {Z}$⁠, θεωρούμενο ως ομάδα υπό πρόσθεση, έχει έναν μοναδικό μη τετριμμένο αυτομορφισμό: την άρνηση. Θεωρούμενο ως δακτύλιος, ωστόσο, έχει μόνο τον τετριμμένο αυτομορφισμό. Γενικά, η άρνηση είναι αυτομορφισμός οποιασδήποτε αβελιανής ομάδας, αλλά όχι ενός δακτυλίου ή σώματος.
• Ένας αυτομορφισμός ομάδας είναι ένας ισομορφισμός ομάδας από μια ομάδα προς τον εαυτό της. Ανεπίσημα, είναι μια μετάθεση των στοιχείων της ομάδας έτσι ώστε η δομή της να παραμένει αμετάβλητη. Για κάθε ομάδα G υπάρχει ένας φυσικός ομομορφισμός ομάδας G → Aut(G) του οποίου η εικόνα είναι η ομάδα Inn(G) των εσωτερικών αυτομορφισμών και του οποίου ο πυρήνας είναι το κέντρο της G. Έτσι, αν η G έχει τετριμμένο κέντρο μπορεί να ενσωματωθεί στη δική της ομάδα αυτομορφισμών.
• Στη γραμμική άλγεβρα, ένας ενδομορφισμός ενός διανυσματικού χώρου V είναι ένας γραμμικός τελεστής V → V. Ένας αυτομορφισμός είναι ένας αντιστρέψιμος γραμμικός τελεστής στον V. Όταν ο διανυσματικός χώρος είναι πεπερασμένης διάστασης, η ομάδα αυτομορφισμού του V είναι η ίδια με τη γενική γραμμική ομάδα, GL(V). (Η αλγεβρική δομή όλων των ενδομορφισμών του V είναι η ίδια μια άλγεβρα πάνω από το ίδιο πεδίο βάσης με το V, της οποίας τα αντιστρέψιμα στοιχεία αποτελούνται ακριβώς από την GL(V).)
• Ένας αυτομορφισμός σώματος είναι μια αμφιρριπτική ομομορφία δακτυλίου από ένα σώμα προς τον εαυτό του.
  • Το σώμα $\mathbb {Q}$ των ρητών αριθμών δεν έχει άλλο αυτομορφισμό εκτός από την ταυτότητα, αφού ένας αυτομορφισμός πρέπει να καθορίζει την προσθετική ταυτότητα 0 και την πολλαπλασιαστική ταυτότητα 1, το άθροισμα ενός πεπερασμένου αριθμού 1 πρέπει να είναι σταθερό, καθώς και τα προσθετικά αντίστροφα αυτών των αθροισμάτων (δηλαδή, ο αυτομορφισμός σταθεροποιεί όλους τους ακέραιους- τέλος, δεδομένου ότι κάθε ρητός αριθμός είναι το πηλίκο δύο ακεραίων, όλοι οι ρητοί αριθμοί πρέπει να είναι σταθεροί από οποιονδήποτε αυτομορφισμό.
  • Το σώμα $\mathbb {R}$ των πραγματικών αριθμών δεν έχει άλλους αυτομορφισμούς εκτός από την ταυτότητα. Πράγματι, οι ρητοί αριθμοί πρέπει να είναι σταθεροί από κάθε αυτομορφισμό, σύμφωνα με τα παραπάνω- ένας αυτομορφισμός πρέπει να διατηρεί τις ανισότητες αφού $x<y$ είναι ισοδύναμο με $\exists z\mid y-x=z^{2},$ και η τελευταία ιδιότητα διατηρείται από κάθε αυτομορφισμό- τέλος, κάθε πραγματικός αριθμός πρέπει να είναι σταθερός αφού είναι το μικρότερο άνω όριο μιας ακολουθίας ρητών αριθμών.
  • Το σώμα $\mathbb {C}$ των μιγαδικών αριθμών έχει έναν μοναδικό μη τετριμμένο αυτομορφισμό που καθορίζει τους πραγματικούς αριθμούς. Είναι η μιγαδική συζυγία, η οποία απεικονίζει το $i$ στο $-i.$ Το αξίωμα της επιλογής συνεπάγεται την ύπαρξη αμέτρητων αυτομορφισμών που δεν καθορίζουν τους πραγματικούς αριθμούς.
  • Η μελέτη των αυτομορφισμών στις επεκτάσεις αλγεβρικών σωμάτων είναι η αφετηρία και το κύριο αντικείμενο της Θεωρίας Γκαλουά.
• Η ομάδα αυτομορφισμών των τετραδονίων (⁠$\mathbb {H}$⁠) ως δακτύλιος είναι οι εσωτερικοί αυτομορφισμοί, σύμφωνα με το θεώρημα Σκόλεμ - Νέτερ: απεικονίσεις της μορφής a ↦ bab⁻¹. Αυτή η ομάδα είναι ισόμορφη με την SO(3), την ομάδα των περιστροφών στον τρισδιάστατο χώρο.
• Η ομάδα αυτομορφισμού των οκτονίων (⁠$\mathbb {O}$⁠) είναι η εξαιρετική ομάδα Λί G₂.
• Στη θεωρία γράφων ένας αυτομορφισμός ενός γράφου είναι μια μετάθεση των κόμβων που διατηρεί τις ακμές και τις μη ακμές. Συγκεκριμένα, αν δύο κόμβοι ενώνονται με μια ακμή, το ίδιο ισχύει και για τις εικόνες τους κάτω από την αντιμετάθεση.
• Στη γεωμετρία, ένας αυτομορφισμός μπορεί να ονομαστεί κίνηση του χώρου. Χρησιμοποιείται επίσης εξειδικευμένη ορολογία:
  • Στη μετρική γεωμετρία ένας αυτομορφισμός είναι μια αυτο-ισομετρία. Η ομάδα αυτομορφισμού ονομάζεται επίσης ομάδα ισομετρίας.
  • Στην κατηγορία των επιφανειών Ρίμαν, ένας αυτομορφισμός είναι μια διολομορφική απεικόνιση (που ονομάζεται επίσης σύμμορφη απεικόνιση), από μια επιφάνεια στον εαυτό της. Επί παραδείγματι, οι αυτομορφισμοί της σφαίρας Ρίμαν είναι μετασχηματισμοί Μόμπιους.
  • Ένας αυτομορφισμός μιας διαφορίσιμης πολλαπλότητας M είναι ένας διαφορικός μορφισμός από την M προς τον εαυτό της. Η ομάδα αυτομορφισμών μερικές φορές συμβολίζεται ως Diff(M).
  • Στην τοπολογία, οι μορφισμοί μεταξύ τοπολογικών χώρων ονομάζονται συνεχείς απεικονίσεις, και ένας αυτομορφισμός ενός τοπολογικού χώρου είναι ένας ομοιομορφισμός του χώρου προς τον εαυτό του, ή αυτο-ομοιομορφισμός (βλέπε ομάδα ομοιομορφισμού). Σε αυτό το παράδειγμα δεν αρκεί ένας μορφισμός να είναι αμφιρριπτικός για να είναι ισομορφισμός.

Ιστορία

Ένας από τους πρώτους ομαδικούς αυτομορφισμούς (αυτομορφισμός μιας ομάδας, όχι απλώς μια ομάδα αυτομορφισμών σημείων) δόθηκε από τον Ιρλανδό μαθηματικό Γουίλιαμ Ρόουαν Χάμιλτον το 1856, στον ικοσιανό λογισμό του, όπου ανακάλυψε έναν αυτομορφισμό τάξης δύο,Γράφει:

έτσι ώστε η $\mu$ να είναι μια νέα πέμπτη ρίζα της ενότητας, που συνδέεται με την προηγούμενη πέμπτη ρίζα $\lambda$ με σχέσεις τέλειας αμοιβαιότητας.

Εσωτερικοί και εξωτερικοί αυτομορφισμοί

Σε ορισμένες κατηγορίες - κυρίως σε ομάδες, δακτυλίους και άλγεβρες Λι - είναι εφικτό να διαχωρίσουμε τους αυτομορφισμούς σε δύο τύπους, που ονομάζονται "εσωτερικοί" και "εξωτερικοί" αυτομορφισμοί.

Στην περίπτωση των ομάδων, οι εσωτερικοί αυτομορφισμοί είναι οι συζυγίες με τα στοιχεία της ίδιας της ομάδας. Για κάθε στοιχείο a μιας ομάδας G, η σύζευξη με το a είναι η πράξη φ_a : G → G που δίνεται από τη σχέση φ_a(g) = aga⁻¹ (ή a⁻¹ga; η χρήση ποικίλλει). Μπορεί κανείς εύκολα να ελέγξει ότι η σύζευξη με a είναι αυτομορφισμός ομάδας. Οι εσωτερικοί αυτομορφισμοί σχηματίζουν μια κανονική υποομάδα της Aut(G), που συμβολίζεται με Inn(G); αυτό ονομάζεται λήμμα του Γκουρσάτ.

Οι άλλοι αυτομορφισμοί ονομάζονται εξωτερικοί αυτομορφισμοί. Η ομάδα πηλίκο Aut(G) / Inn(G) συμβολίζεται συνήθως με Out(G) τα μη τετριμμένα στοιχεία είναι τα σύνολα που περιέχουν τους εξωτερικούς αυτομορφισμούς.

Ο ίδιος ορισμός ισχύει σε κάθε μονοσήμαντο δακτύλιο ή άλγεβρα όπου a είναι οποιοδήποτε αντιστρέψιμο στοιχείο. Για τις άλγεβρες Λι ο ορισμός είναι ελαφρώς διαφορετικός.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
• Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου
• ΑΓΓΛΟΕΛΛΗΝΙΚΟ. ΛΕΞΙΚΟ. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. ΟΡΩΝ Αριάδνη Καλογερόπουλου. Μίλτος Γκίκας — Δ. Καραπαννακης — Μ. Λάμπρου.
• Θεωρία Ομάδων-Πανεπιστήμιο Κρήτης
• Ευκλείδεια Γεωμετρία - Πανελλήνιο Σχολικό Δίκτυο
• Θεωρία ομάδων και Λι αλγεβρών -Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Θεωρία Αριθμών και Εφαρμογές
• Υπολογιστική Θεωρία Αριθμών
• Καμπυλότητες και γεωμετρία του Riemann σε διαφορίσιμες πολλαπλότητες Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Μέθοδοι μηχανικής μάθησης βασισμένες σε έλεγχο μονοτροπικότητας Εθνικό Αρχείο Διδακτορικών Διατριβών
• Παράμετροι και Στατιστικά. Διωνυμική και Κανονική Κατανομή
• Wolfram Mathematica Online Integrator
• A Table of Integrals of the Error Functions

Δείτε επίσης

• Απαγορευτική αρχή του Πάουλι
• Μορφοκλασματική διάσταση
• Ομοπαραλληλική γεωμετρία
• Αλγεβρική θεωρία αριθμών
• Άρθουρ Στάνλεϋ Έντινγκτον
• Μοναδιαία βηματική συνάρτηση
• Σουμπραμανιάν Τσαντρασεκάρ
• Ευκλείδειος χώρος
• Αρχιμήδεια ιδιότητα
• Βαθμός (γραμμική άλγεβρα)
• Εφαρμοσμένα μαθηματικά
• Υπολογιστική ρευστοδυναμική
• Αβελιανή ομάδα
• Σύνθεση συνάρτησης
• Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων
• Θεμελιώδες θεώρημα αριθμητικής
• Αλγεβρική γεωμετρία
• Ένα προς ένα
• Συνήθης διαφορική εξίσωση
• Γραμμική απεικόνιση
• Αβελιανή ομάδα

Βιβλιογραφία

• Walters, Peter (6 Οκτωβρίου 2000). An Introduction to Ergodic Theory. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-95152-2. 
• Essen, Arno van den (2000). Polynomial Automorphisms: And the Jacobian Conjecture. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-7643-6350-5. 
• Khukhro, Evgenii I. (20 Απριλίου 2011). Nilpotent Groups and their Automorphisms. Walter de Gruyter. ISBN 978-3-11-084621-8. 
• Srivastava, Ashish K.· Tuganbaev, Askar (18 Μαρτίου 2021). Invariance of Modules under Automorphisms of their Envelopes and Covers. Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-94953-8. 
• Wilson, Robert (14 Δεκεμβρίου 2009). The Finite Simple Groups. Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-84800-987-5. 
• Mirman, R. (1995). Group Theory: An Intuitive Approach. World Scientific. ISBN 978-981-02-3365-5. 
• Chartrand, Gary· Lesniak, Linda (19 Οκτωβρίου 2010). Graphs & Digraphs, Fifth Edition. CRC Press. ISBN 978-1-4398-2627-0. 
• Dieudonné, Jean· Hua, Luogeng (1951). On the Automorphisms of the Classical Groups: On the automorphisms of the classical groups ; J. Dieudonné Supplement by L.K. Hua. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1202-0. 
• Cheltsov, Ivan· Ciliberto, Ciro (11 Ιουνίου 2014). Automorphisms in Birational and Affine Geometry: Levico Terme, Italy, October 2012. Springer. ISBN 978-3-319-05681-4. 
• Lauri, Josef· Scapellato, Raffaele (2 Ιουνίου 2016). Topics in Graph Automorphisms and Reconstruction. Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-61044-2. 

Παραπομπές

• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd έκδοση), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
• Hungerford, Thomas (1974), Algebra (1st έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181 .
• Artin, Michael (2011), Algebra (2nd έκδοση), Prentice Hall, ISBN 9780132413770 .
• Dummit, David S.· Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd έκδοση). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264. 
• Gallian, Joseph A. (2013). Contemporary abstract algebra (8th έκδοση). Boston, MA: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720. 
• Kurzweil, Hans· Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi:10.1007/978-3-642-58816-7. ISBN 978-3-540-60331-3. 
• Ash, Robert B. (2002). Abstract Algebra: The Basic Graduate Year (στα Αγγλικά). Department of Mathematics University of Illinois. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Σεπτεμβρίου 2021. Ανακτήθηκε στις 15 Ιουλίου 2025. 
• Jacobson, Nathan (8 Ιουνίου 2012). Basic Algebra II: Second Edition. Courier Corporation. ISBN 978-0-486-13521-2. 
• Kantor, I.L.; Solodovnikov, A.S. (1989), «Normed algebras with an identity. Hurwitz's theorem.», Hypercomplex numbers. An elementary introduction to algebras (2nd έκδοση), Springer-Verlag, σελ. 121, ISBN 978-0-387-96980-0, , https://archive.org/details/hypercomplexnumb0000kant/page/121 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. en:Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. Zbl 1068.11023. 
• Lind, D. A. (1968). «The quadratic field Q(√5) and a certain Diophantine equation». The Fibonacci Quarterly 6 (3): 86–93. doi:10.1080/00150517.1968.12431231. https://fq.math.ca/Scanned/6-3/lind.pdf. 
• Pleasants, Peter A. B. (2002). «Lines and Planes in 2- and 3-Dimensional Quasicrystals». Coverings of Discrete Quasiperiodic Sets. Springer Tracts in Modern Physics. 180. Springer. σελίδες 185–225. doi:10.1007/3-540-45805-0_6. ISBN 978-3-540-43241-8. 
• Polo-Blanco, I.; Top, J. (2009). «A remark on parameterizing nonsingular cubic surfaces». Computer Aided Geometric Design 26 (8): 842–849. doi:10.1016/j.cagd.2009.06.001. 
• Sloane, N. J. A. (επιμ.). «Sequence A003172 (Q(sqrt n) is a unique factorization domain (or simple quadratic field))». The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. 
• Sporn, Howard (2021). «A group structure on the golden triples». The Mathematical Gazette 105 (562): 87–97. doi:10.1017/mag.2021.11. 
• Rosen, Michael (1981), «An elementary proof of the local Kronecker-Weber theorem», Transactions of the American Mathematical Society 265 (2): 599–605, doi:10.2307/1999753, ISSN 0002-9947 

Πηγές

• Subaiei, Bana Al· Nuwairan, Muneerah Al (31 Μαΐου 2023). A Gentle Introduction to Group Theory. Springer Nature. ISBN 978-981-99-0147-0. 
• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics. 131 (2 έκδοση). Springer. ISBN 0-387-95183-0. 
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022. 
• Efrat, Ido (2006), Valuations, orderings, and Milnor K-theory, Mathematical Surveys and Monographs, 124, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-4041-X,  
• DeBonis, Mark J. (11 Απριλίου 2024). Fundamentals of Abstract Algebra. CRC Press. ISBN 978-1-040-00930-7. 
• Greenberg, Marvin J. (2010), «Old and new results in the foundations of elementary plane Euclidean and non-Euclidean geometries», Am. Math. Mon. 117 (3): 198–219, doi:10.4169/000298910x480063, ISSN 0002-9890,  
• Iyanaga, Shôkichi; Kawada, Yukiyosi, επιμ.. (1980), Encyclopedic dictionary of mathematics, Volumes I, II, Translated from the 2nd Japanese edition, paperback version of the 1977 edition (1st έκδοση), MIT Press, ISBN 978-0-262-59010-5, https://archive.org/details/encyclopedicdict0000niho 
• Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 52, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1, , https://archive.org/details/orderingsvaluati0000lamt 
• Wendelin Degen, Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie. Teubner, Stuttgart 1976, ISBN 3-519-02751-8.
• Hans Freudenthal: Mathematik als pädagogische Aufgabe. Band 1. Klett, Stuttgart 1973, ISBN 3-12-983220-3.
• Thomas W. Hungerford: Algebra (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 73). 5th printing. Springer, New York NY u. a. 1989, ISBN 0-387-90518-9.