Ασύμπτωτη συνάρτησης

Η συνάρτηση $1+(x-2)/(x-3)(x+4)$ έχει δύο κάθετες ασύμπτωτες στα $x=-4$ και $x=3$, και μία οριζόντια στην $y=1$.

Στα μαθηματικά, ασύμπτωτη μιας συνάρτησης ονομάζεται η ευθεία η οποία τείνει να συμπέσει η γραφική παράσταση της συνάρτησης χωρίς όμως (κατά ανάγκη) να συμπέσει. Συνήθως αναφέρεται σε ευθεία γραμμή, αλλά ο όρος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για οποιαδήποτε καμπύλη. Υπάρχουν τρία είδη ασύμπτωτης ευθείας:

• κατακόρυφη ασύμπτωτη
• οριζόντια ασύμπτωτη
• πλάγια ασύμπτωτη

Επειδή οι οριζόντιες και οι πλάγιες ασύμπτωτες μελετώνται με τον ίδιο τρόπο, υπάρχει και ο όρος πλαγιοοριζόντιες ασύμπτωτες που περιλαμβάνει τόσο τις οριζόντιες όσο και τις πλάγιες ασύμπτωτες.

Ορισμοί

Μία σύναρτηση $f$ έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία $y=\ell$ στο $+\infty$ αν

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\ell$.

Τρεις περιπτώσεις οριζόντιας ασυμπτωτης για $x\to +\infty$

Η συνάρτηση προσεγγίζει από πάνω.

Η συνάρτηση προσεγγίζει από κάτω.

Η συνάρτηση προσεγγίζει ταλαντευτικά.

Αντίστοιχα, έχει οριζόντια ασύμπτωτη την ευθεία $y=\ell$ στο $-\infty$ αν

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\ell$.

Τρεις περιπτώσεις οριζόντιας ασυμπτωτης για $x\to -\infty$

Η συνάρτηση προσεγγίζει από πάνω.

Η συνάρτηση προσεγγίζει από κάτω.

Η συνάρτηση προσεγγίζει ταλαντευτικά.

Πιο γενικά, η $f$ έχει ασύμπτωτη την καμπύλη $g(x)=y$ στο $+\infty$ (ή στο $-\infty$) αν

$\lim _{x\rightarrow +\infty }(f(x)-g(x))=0$ (ή αντίστοιχα $\lim _{x\rightarrow -\infty }(f(x)-g(x))=0$).

Όταν η $g(x)=\alpha x+\beta$ είναι ευθεία λέγεται πλάγια ασύμπτωτη και οι οριζόντιες είναι η ειδική περίπτωση όπου $\alpha =0$.

Παραδείγματα ασύμπτωτης καμπύλης

Η συνάρτηση προσεγγίζει την πλάγια $2x$.

Η συνάρτηση προσεγγίζει την $e^{-x}$ (όταν $x\to -\infty$) και $e^{x}$ (όταν $x\to \infty$).

Μία ευθεία $x=x_{0}$ είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της συνάρτησης $f(x)$ αν

$\lim _{x\rightarrow x_{0}^{+}}f(x)=\pm \infty \quad$ ή $\quad \lim _{x\rightarrow x_{0}^{-}}f(x)=\pm \infty$.

Παραδείγματα ασύμπτωτης καμπύλης

$\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to x_{0}^{-}}f(x)=-\infty$

$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=+\infty$

$\lim _{x\to x_{0}^{+}}f(x)=-\infty$

Σημείωση 1η: Η τιμή στο $x_{0}$ ενδέχεται να ορίζεται ή να μην ορίζεται.

Σημείωση 2η: Με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω μία συνάρτηση έχει άπειρες ασύμπτωτες καμπύλες, π.χ. όλες τις συναρτήσεις $g(x)=f(x)+c/x$ για κάθε σταθερά $c\in \mathbb {R}$.

Παραδείγματα

• Η συνάρτηση

$f(x)={\frac {4}{2x+3}}$,

έχει οριζόντια ασύμπτωτη ευθεία $y=0$ στο $\pm \infty$ και κατακόρυφη την $x=-3/2$.

Καμπύλη που τείνει στο $y=0$ καθώς $x\to \pm \infty$ και έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο $x=-3/2$.

• Πιο γενικά η συνάρτηση για $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta \in \mathbb {R}$ με $\gamma \neq 0$ με

$f(x)={\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}$

έχει οριζόντια ασύμπτωτη ευθεία με ${\textstyle y={\frac {\alpha }{\gamma }}}$ και κατακόρυφη ${\textstyle x=-{\frac {\delta }{\gamma }}}$.

Απόδειξη  

Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του ορίου για την διαίρεση

$\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {\alpha x+\beta }{\gamma x+\delta }}={\frac {\alpha +{\frac {\beta }{x}}}{\gamma +{\frac {\delta }{x}}}}={\frac {\alpha +\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {\beta }{x}}}{\gamma +\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {\delta }{x}}}}={\frac {\alpha }{\gamma }}$.

• Η συνάρτηση

$1+{\frac {x-2}{(x-3)(x+4)}}$

έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες τις $x=3$ και $x=-4$, και οριζόντια την $y=1$.

Η συνάρτηση $1+(x-2)/(x-3)(x+4)$ έχει δύο κάθετες ασύμπτωτες στα $x=-4$ και $x=3$, και μία οριζόντια στην $y=1$.

• Σημείωση: Η συνάρτηση

$f(x)={\frac {(x-2)\cdot (x-3)}{(x-2)\cdot (x-4)}}$,

δεν έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη στο $x=2$, απλά δεν ορίζεται για $x=2$.

• Η ασύμπτωτη της $f(x)=2-e^{-x}$ είναι η οριζόντια ευθεία $y=2$.
• Η συνάρτηση $f(x)=x^{2}+3x-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {1}{x+2}}$ έχει ασύμπτωτη την ευθεία $g(x)=x^{2}+3x$.

Ασύμπτωτη καμπύλη που είναι τριώνυμο.

• Η ασύμπτωτη καμπύλη της $e^{x}+e^{-x}$ είναι η $g_{1}(x)=e^{x}$ καθώς $x\to +\infty$ και $g_{2}(x)=e^{-x}$ καθώς $x\to -\infty$.

Δύο ασύμπτωτες της $e^{x}+e^{-x}$.

• Η συνάρτηση $f(x)=2+e^{-x}\sin(4x)$ έχει οριζόντια ασύμπτωτη την $y=2$ καθώς $x\to +\infty$.

Σημείωση: Αυτό είναι ένα παράδειγμα ασύμπτωτης που τέμνει την καμπύλη άπειρες φορές.

Οριζόντια ασύμπτωτη με ταλάντωση στο $y=2$ καθώς $x\to \infty$.

Απόδειξη  

Αυτό προκύπτει καθώς $\lim _{x\to +\infty }e^{-x}=0$ ενώ $|\sin x|\leq 1$ για κάθε $x\in \mathbb {R}$.

• Η συνάρτηση $f(x)=x+e^{-x}\sin x$ έχει ασύμπτωτη την $g(x)=x$ καθώς $x\to +\infty$.
• Μία ρητή συνάρτηση με

$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}$

έχει ασύμπτωτη την καμπύλη $g(x)=d(x)$ όπου $p(x)=q(x)\cdot d(x)+r(x)$ είναι η Ευκλείδεια διαίρεση του $p$ με το $q$.

Απόδειξη  

$f(x)={\frac {p(x)}{q(x)}}={\frac {q(x)\cdot d(x)+r(x)}{q(x)}}=d(x)+{\frac {r(x)}{q(x)}}$.

Από την Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων έχουμε ότι $\operatorname {deg} (r)<\operatorname {deg} (q)$ επομένως,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {r(x)}{q(x)}}=0\quad$ και $\quad \lim _{x\to +\infty }{\frac {r(x)}{q(x)}}=0$.

Άρα

$\lim _{x\pm \infty }(f(x)-d(x))=0$.

Εφαρμογές

Οι ασύμπτωτες δείχνουν με ποιο τρόπο οι συναρτήσεις τείνουν στο άπειρο. Επιπλέον, οι ασύμπτωτες μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις της συνάρτησης σε ορισμένες περιοχές του πεδίου ορισμού.

Δείτε επίσης

• Όριο (μαθηματικά)