Μετάβαση στο περιεχόμενο

Αρχικά και τελικά αντικείμενα

Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια
 Αυτό το λήμμα χρειάζεται επιμέλεια ώστε να ανταποκρίνεται σε υψηλότερες προδιαγραφές ορθογραφικής και συντακτικής ποιότητας ή μορφοποίησης.
Αίτιο: Οι κατηγορίες, οι εξωτερικοί σύνδεσμοι και τα δείτε επίσης δεν είναι άμεσα σχετικά με το θέμα του λήμματος
Για περαιτέρω βοήθεια, δείτε τα λήμματα πώς να επεξεργαστείτε μια σελίδα και τον οδηγό μορφοποίησης λημμάτων.
Για το μηδενικό αντικείμενο σε μια αλγεβρική δομή, δείτε μηδενικό αντικείμενο (άλγεβρα).

Στην θεωρία κατηγοριών, έναν κλάδο των μαθηματικών, ένα αρχικό αντικείμενο[1] μιας κατηγορία C είναι ένα αντικείμενο I στο C έτσι ώστε για κάθε αντικείμενο X στο C, να υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός I → X.

Η διπλή έννοια είναι αυτή του τελικού αντικειμένου[2] (ονομάζεται επίσης τελικό στοιχείο): Το T είναι τελικό αν για κάθε αντικείμενο X στο C υπάρχει ακριβώς ένας μορφισμός X → T. Τα αρχικά αντικείμενα ονομάζονται επίσης συντερματικά ή καθολικά, ενώ τα τελικά αντικείμενα ονομάζονται επίσης τελικά.[3]

Εάν ένα αντικείμενο είναι τόσο αρχικό όσο και τελικό, ονομάζεται αντικείμενο μηδέν ή μηδενικό αντικείμενο. Μια σημειακή κατηγορία είναι μια κατηγορία με αντικείμενο μηδέν.[4]

Ένα αυστηρό αρχικό αντικείμενο I είναι ένα αντικείμενο για το οποίο κάθε μορφισμός στο I είναι ένας ισομορφισμός.

  • Το κενό σύνολο είναι το μοναδικό αρχικό αντικείμενο στο Set, της κατηγορίας των συνόλων. Κάθε σύνολο ενός στοιχείου (μονοσύνολο) είναι ένα τελικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία. Δεν υπάρχουν μηδενικά αντικείμενα. Ομοίως, ο κενός χώρος είναι το μοναδικό αρχικό αντικείμενο στο Top, της κατηγορίας των τοπολογικών χώρων και κάθε χώρος ενός σημείου είναι ένα τελικό αντικείμενο σε αυτή την κατηγορία.
  • Στην κατηγορία Rel των συνόλων και των σχέσεων, το κενό σύνολο είναι το μοναδικό αρχικό αντικείμενο, το μοναδικό τελικό και, ως εκ τούτου, το μοναδικό μηδενικό αντικείμενο.
Μορφισμοί σημειακών συνόλων. Η εικόνα ισχύει επίσης για αλγεβρικά μηδενικά αντικείμενα.
  • Στην κατηγορία των σημειακών συνόλων (τα αντικείμενα των οποίων είναι μη κενά σύνολα μαζί με ένα διακριτό στοιχείο, όπου ένας μορφισμός από (A, a) σε (B, b) είναι μια συνάρτηση f : A → B με f(a) = b), κάθε μονoσύνολο είναι ένα μηδενικό αντικείμενο. Ομοίως, στην κατηγορία των σημειακών τοπολογικών χώρων, κάθε μονoσύνολο είναι ένα μηδενικό αντικείμενο.
  • Στην Grp, την κατηγορία των ομάδων, κάθε τετριμμένη ομάδα είναι ένα μηδενικό αντικείμενο. Το τετριμμένο αντικείμενο είναι επίσης ένα μηδενικό αντικείμενο στην Ab, την κατηγορία των αβελιανών ομάδων, στην Rng την κατηγορία των ψευδοδακτυλίων, στην R-Mod, την κατηγορία των προτύπων πάνω σε ένα δακτύλιο, και στην K-Vect, την κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω σε ένα σώμα. Βλ..Μηδενικό αντικείμενο (άλγεβρα) για λεπτομέρειες. Αυτή είναι η προέλευση του όρου "μηδενικό αντικείμενο".
  • Στον Ring, την κατηγορία των δακτυλίων με ενότητα και μορφισμούς που διατηρούν την ενότητα, ο δακτύλιος των ακεραίων Z είναι ένα αρχικό αντικείμενο. Ο δακτύλιος μηδέν που αποτελείται μόνο από ένα στοιχείο 0 = 1 είναι ένα τελικό αντικείμενο.
  • Στον Rig, την κατηγορία των rigs (ημιδακτυλίων) με μορφισμούς ενότητας και διατήρησης ενότητας, το rig των φυσικών αριθμών N είναι ένα αρχικό αντικείμενο. Το μηδενικό rig, που είναι ο μηδενικός ημιδακτύλιος, αποτελούμενο μόνο από ένα στοιχείο 0 = 1 είναι ένα τελικό αντικείμενο.
  • Στο Field, την κατηγορία των σωμάτων, δεν υπάρχουν αρχικά ή τελικά αντικείμενα. Ωστόσο, στην υποκατηγορία των σωμάτων σταθερού χαρακτηριστικού, το πρωταρχικό σώμα είναι ένα αρχικό αντικείμενο.
  • Κάθε μερικώς διαταγμένο σύνολο (P, ≤) μπορεί να ερμηνευθεί ως κατηγορία: τα αντικείμενα είναι τα στοιχεία του P, και υπάρχει ένας μοναδικός μορφισμός από το x στο y αν και μόνο αν x ≤ y. Αυτή η κατηγορία έχει ένα αρχικό αντικείμενο αν και μόνο αν το P έχει ένα ελάχιστο στοιχείο. Έχει ένα τελικό αντικείμενο αν και μόνο αν το P έχει ένα μέγιστο στοιχείο.
  • Η Cat, η κατηγορία των μικρών κατηγοριών[5] με συναρτήσεις ως μορφισμούς, έχει ως αρχικό αντικείμενο[1] την κενή κατηγορία 0 (χωρίς αντικείμενα και χωρίς μορφισμούς) και ως τελικό αντικείμενο[2] την τελική κατηγορία 1 (με ένα μόνο αντικείμενο με έναν μόνο ταυτοτικό μορφισμό) ως τελικό αντικείμενο.
  • Στην κατηγορία των σχημάτων[6], το Spec(Z), το πρωτεύον φάσμα του δακτυλίου των ακεραίων, είναι ένα τελικό αντικείμενο. Το κενό σχήμα (ίσο με το πρωτεύον φάσμα του δακτυλίου[7] του μηδενός) είναι ένα αρχικό αντικείμενο.
  • Ένα όριο ενός διαγράμματος F μπορεί να χαρακτηριστεί ως τελικό αντικείμενο στην κατηγορία των κώνων προς το F. Ομοίως, ένα συν-όριο του F μπορεί να χαρακτηριστεί ως αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των συν-κώνων από το F.
  • Στην κατηγορία ChR των μιγαδικών αλυσίδων[8]  πάνω σε ένα αντιμεταθετικό δακτύλιο R, το μιγαδικό μηδέν[9] είναι ένα μηδενικό αντικείμενο.
  • Σε μια σύντομη ακριβή ακολουθία[10] της μορφής 0 → a → b → c → 0, τα αρχικά και τελικά αντικείμενα είναι το ανώνυμο μηδενικό αντικείμενο. Αυτό χρησιμοποιείται συχνά στις συνομολογικές θεωρίες.

Ύπαρξη και μοναδικότητα

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα αρχικά και τελικά αντικείμενα[1][2] δεν είναι υποχρεωτικό να υπάρχουν σε μια δεδομένη κατηγορία. Ωστόσο, αν υπάρχουν, είναι ουσιαστικά μοναδικά. Συγκεκριμένα, αν I1 και I2 είναι δύο διαφορετικά αρχικά αντικείμενα, τότε υπάρχει ένας μοναδικός ισομορφισμός μεταξύ τους. Επιπλέον, αν I είναι ένα αρχικό αντικείμενο, τότε οποιοδήποτε αντικείμενο ισομορφικό με I είναι επίσης ένα αρχικό αντικείμενο. Το ίδιο ισχύει και για τα τελικά αντικείμενα.

Για τις πλήρεις κατηγορίες υπάρχει ένα θεώρημα ύπαρξης για τα αρχικά αντικείμενα. Συγκεκριμένα, μια (τοπικά μικρή) πλήρης κατηγορία C έχει ένα αρχικό αντικείμενο αν και μόνο αν υπάρχει ένα σύνολο I (όχι μια γνήσια κλάση) και μια οικογένεια με δείκτηI (Ki) των αντικειμένων του C έτσι ώστε για κάθε αντικείμενο X της C, να υπάρχει τουλάχιστον ένας μορφισμός Ki → X για κάποιο i ∈ I.

Ισοδύναμες διατυπώσεις

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Τα τελικά αντικείμενα σε μια κατηγορία C μπορούν επίσης να οριστούν ως όρια του μοναδικού κενού διαγράμματος 0 → C. Δεδομένου ότι η κενή κατηγορία είναι μια διακριτή κατηγορία, ένα τελικό αντικείμενο μπορεί να θεωρηθεί ως ένα κενό γινόμενο (ένα γινόμενο είναι πράγματι το όριο του διακριτού διαγράμματος {Xi}, γενικά). Αντίστοιχα, ένα αρχικό αντικείμενο είναι ένα οριακό του κενού διαγράμματος 0 → C και μπορεί να θεωρηθεί ως ένα κενό συμπαράγωγο ή κατηγορηματικό άθροισμα.

Από αυτό προκύπτει ότι κάθε συναρτητής που διατηρεί όρια θα μεταφέρει τελικά αντικείμενα σε τελικά αντικείμενα, και κάθε συναρτητής που διατηρεί οριακά όρια θα μεταφέρει αρχικά αντικείμενα σε αρχικά αντικείμενα. Παραδείγματος χάριν, το αρχικό αντικείμενο σε οποιαδήποτε συγκεκριμένη κατηγορία με ελεύθερα αντικείμενα θα είναι το ελεύθερο αντικείμενο που δημιουργείται από το κενό σύνολο (δεδομένου ότι ο ελεύθερος συναρτητής, ως αριστερός συναρτητής του συναρτητή που ξεχνάει το Set, διατηρεί τα συν-όρια (colimits).

Τα αρχικά και τελικά αντικείμενα μπορούν επίσης να χαρακτηριστούν από την άποψη των καθολικών ιδιοτήτων και των συζυγών συναρτητών[11][12]. Έστω 1 η διακριτή κατηγορία με ένα μόνο αντικείμενο (που συμβολίζεται με •), και έστω U : C → 1 ο μοναδικός (σταθερός) συναρτητής προς το 1. Τότε

  • Ένα αρχικό αντικείμενοt I στη C είναι ένας καθολικός μορφισμός[13] από το • στο U. Ο συναρτητής που στέλνει το • στο I είναι αριστερός συζυγής του U.
  • Ένα τελικό αντικείμενο T στη C είναι ένας καθολικός μορφισμός[13] από το U στο •. Ο συναρτητής που στέλνει το • στο T είναι δεξιός συζυγής του U.

Σχέση με άλλες κατηγορικές κατασκευές

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]

Πολλές φυσικές κατασκευές στην θεωρία κατηγοριών μπορούν να διατυπωθούν με όρους εύρεσης ενός αρχικού ή τελικού αντικειμένου σε μια κατάλληλη κατηγορία.

  • Ένας καθολικός μορφισμός[13] από ένα αντικείμενο X σε ένα συναρτητή U μπορεί να οριστεί ως ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία κόμμα (X ↓ U). Αντίστοιχα, ένας καθολικός μορφισμός[13] από U σε X είναι ένα τελικό αντικείμενο στο (U ↓ X).
  • Το όριο ενός διαγράμματος F είναι ένα τελικό αντικείμενο στο Cone(F), την κατηγορία των κώνων προς το F. Αντίστοιχα, ένα συν-όριο του F είναι ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των κώνων από το F.
  • Ένας αναπαραστάσιμος συναρτητής[14] F στο Set είναι ένα αρχικό αντικείμενο στην κατηγορία των στοιχείων του F.
  • Η έννοια του τελικού συναρτητή (αντίστοιχα, αρχικού συναρτητή) είναι μια γενίκευση της έννοιας του τελικού αντικειμένου (αντίστοιχα, αρχικού αντικειμένου).
  • Το μονοειδές ενδομορφισμό ενός αρχικού[1] ή τελικού αντικειμένου[2] I είναι τετριμμένο: End(I) = Hom(I, I) = { idI }.
  • Εάν μια κατηγορία C έχει ένα μηδενικό αντικείμενο 0, τότε για κάθε ζεύγος αντικειμένων X και Y στην C, η μοναδική σύνθεση X → 0 → Y είναι ένας μηδενικός μορφισμός από το X στο Y

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

[Επεξεργασία | επεξεργασία κώδικα]
  1. 1 2 3 4 «initial object in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  2. 1 2 3 4 «Final object - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  3. ↑ «Difference between initial and terminal objects in a category». Stack Overflow (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  4. ↑ «Inital and Terminal Objects in the category of sets». Mathematics Stack Exchange (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  5. ↑ «Small category - Encyclopedia of Mathematics». encyclopediaofmath.org. Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  6. ↑ «scheme». planetmath.org. Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  7. ↑ Weisstein, Eric W. «Ring Spectrum». mathworld.wolfram.com (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  8. ↑ «chain complex in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  9. ↑ «English - Greek Dictionary of Pure and Applied Mathematics Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Volume1 σελίδα 263 -complex zero, μιγαδικό μηδέν».
  10. ↑ «exact sequence in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  11. ↑ «adjoint functor in nLab». ncatlab.org (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  12. ↑ «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηματικής Ορολογίας - Πανεπιστήμιο Κύπρου -σελίδα 147 - Adjoint functor -συζυγής συναρτητής» (PDF).
  13. 1 2 3 4 «On universal morphisms - Axioms of Choice». axiomsofchoice.org. Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
  14. ↑ «representable functor in nLab». ncatlab.org. Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2025.
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/w/index.php?title=Αρχικά_και_τελικά_αντικείμενα&oldid=11327820"