Αρμονική τετράδα

Μία αρμονική τετράδα ${\rm {(A,B,\Gamma ,\Delta )}}$, καθώς ${\textstyle {\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}}$.

Στην γεωμετρία, δύο σημεία μιας ευθείας που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά ένα ευθύγραμμο τμήμα της ίδιας ευθείας, με τον ίδιο λόγο, λέγονται αρμονικά συζυγή των άκρων του ευθυγράμμου τμήματος. Τα σημεία αυτά και τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος λέμε ότι αποτελούν μία αρμονική τετράδα.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ${\rm {A,B,\Gamma ,\Delta }}$ τέσσερα σημεία της ίδιας ευθείας, τέτοια ώστε το ${\rm {\Gamma }}$ να βρίσκεται μεταξύ των ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ και το $\Delta$ να βρίσκεται εξωτερικά αυτών. Αν ισχύει ότι

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}$,

τότε, τα ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {A,B}}$ και τα σημεία ${\rm {(A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ ορίζουν μία αρμονική τετράδα. Επίσης, το ${\rm {\Gamma }}$ είναι το αρμονικό συζυγές του ${\rm {\Delta }}$ ως προς τα ${\rm {A,B}}$.

Θεώρημα — Για κάθε ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ μιάς ευθείας $\varepsilon$ και για κάθε λόγο $k\neq 1$, υπάρχουν μοναδικά σημεία $\Gamma ,\Delta$ επί της $\varepsilon$ τέτοια ώστε, τα σημεία ${\rm {(A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ να αποτελούν μία αρμονική τετράδα.

Απόδειξη  

Θεωρούμε μία ευθεία $\varepsilon$ και ένα ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ επί της $\varepsilon$.

Έστω ${\rm {\Gamma }}$ ένα εσωτερικό σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ για το οποίο ισχύει η σχέση:

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}=k<1$.

Από την την σχέση αυτή προκύπτει ότι ${\rm {A\Gamma <B\Gamma }}$ άρα το σημείο ${\rm {\Gamma }}$ είναι σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AM}}$, όπου ${\rm {M}}$ το μέσο του ${\rm {AB}}$.

Με χρήση της ιδιότητας των αναλογιών έχουμε ότι:

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}=k$,

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {A\Gamma +B\Gamma }}}={\frac {k}{k+1}}$,

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {AB}}}={\frac {k}{k+1}}$,

${\rm {A\Gamma }}={\frac {k}{k+1}}\cdot {\rm {AB}}$.

Άρα το σημείο ${\rm {\Gamma }}$ είναι το σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ το οποίο απέχει απο το σημείο ${\rm {A}}$ απόσταση ίση με

${\rm {A\Gamma }}={\frac {k}{k+1}}\cdot {\rm {AB}}$.

Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει και ένα δεύτερο σημείο ${\rm {\Gamma '}}$ εσωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ για το οποίο ισχύει η σχέση:

${\frac {\rm {A\Gamma '}}{\rm {B\Gamma '}}}=k<1$.

Τότε, εργαζόμενοι όπως και για το σημείο ${\rm {\Gamma }}$ βρίσκουμε ότι

${\rm {A\Gamma '}}={\frac {k}{k+1}}\cdot {\rm {AB}}$.

Δηλαδή ${\rm {A\Gamma '=A\Gamma }}$ και επειδή τα σημεία ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Gamma '}}$ είναι εσωτερικά του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ συμπίπτουν άρα το σημείο ${\rm {\Gamma }}$ είναι μοναδικό.

Έστω τώρα ${\rm {\Delta }}$ ένα σημείο της $\varepsilon$ εξωτερικό του ευθυγράμμου τμήματος ${\rm {AB}}$ για το οποίο ισχύει η σχέση:

${\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}=k<1$.

Από την την σχέση αυτή προκύπτει ότι ${\rm {A\Delta <B\Delta }}$ άρα το σημείο ${\rm {\Delta }}$ βρίσκεται στην προέκταση του ${\rm {AB}}$ προς το μέρος του ${\rm {A}}$.

Με χρήση της ιδιότητας των αναλογιών έχουμε ότι:

${\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}=k$,

${\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {A\Delta +B\Delta }}}={\frac {k}{1-k}}$,

${\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {AB}}}={\frac {k}{1-k}}$,

${\rm {A\Delta }}={\frac {k}{1-k}}\cdot {\rm {AB}}$.

Άρα το σημείο ${\rm {\Delta }}$ είναι το σημείο στην προέκταση του ${\rm {AB}}$ προς το μέρος του ${\rm {A}}$ το οποίο απέχει απο το σημείο ${\rm {A}}$ απόσταση ίση με

${\rm {A\Delta }}={\frac {k}{1-k}}\cdot {\rm {AB}}$.

Ομοίως με τα προηγούμενα αποδεικνύεται ότι το σημείο ${\rm {\Delta }}$ είναι μοναδικό.

Αποδείξαμε λοιπόν ότι, τα σημεία ${\rm {\Gamma }}$ και ${\rm {\Delta }}$ είναι μοναδικά.

Ιδιότητες

• Αν ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {A,B}}$, τότε τα ${\rm {A,B}}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$.

• Αν $({\rm {A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ είναι αρμονική τετράδα, τότε τα ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ βρίσκονται προς ίδιο μέρος του μέσου ${\rm {M}}$ του τμήματος ${\rm {AB}}$.

Απόδειξη  

Αν υποθέσουμε ότι τα σημεία ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ βρίσκονται εκατέρωθεν του μέσου ${\rm {M}}$ του τμήματος ${\rm {AB}}$ τότε, το σημείο ${\rm {\Gamma }}$ θα βρίσκεται μεταξύ των ${\rm {A}}$ και ${\rm {M}}$. Άρα είναι

${\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}<1$ και ${\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}>1$.

Πράγμα άτοπο διότι οι λόγοι αυτοί είναι ίσοι.

• (Θεώρημα Νεύτωνα) Αν $({\rm {A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ είναι αρμονική τετράδα και ${\rm {M}}$ το μέσο του ${\rm {AB}}$, τότε

${\rm {MA}}^{2}={\rm {MB}}^{2}={\rm {M\Gamma }}\cdot {\rm {M\Delta }}$,

και αντιστρόφως.

Απόδειξη  

Εφ' όσον τα σημεία $({\rm {A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ είναι αρμονική τετράδα τότε, ισχύει,

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}$.

(1)

Το σημείο ${\rm {M}}$ είναι μέσο του ${\rm {AB}}$ άρα είναι ${\rm {AM=MB}}$.

(2)

Η σχέση (1) λόγω της (2) γράφεται,

${\begin{aligned}{\frac {\rm {MA+M\Gamma }}{\rm {MB-M\Gamma }}}&={\frac {\rm {MA+M\Delta }}{\rm {M\Delta -MB}}}\\{\rm {(MA+M\Gamma )\cdot (M\Delta -MA)}}&={\rm {(MA+M\Delta )\cdot (MA-M\Gamma )}}\\{\rm {{\cancel {MA\cdot M\Delta }}-MA^{2}+M\Gamma \cdot M\Delta -{\cancel {M\Gamma \cdot MA}}}}&={\rm {MA^{2}-{\cancel {MA\cdot M\Gamma }}+{\cancel {M\Delta \cdot MA}}-{M\Delta \cdot M\Gamma }}}\\2\cdot {\rm {MA}}^{2}&=2\cdot {\rm {M\Gamma }}\cdot {\rm {M\Delta }}\end{aligned}}$,

δηλαδή

${\rm {MA}}^{2}={\rm {MB}}^{2}={\rm {M\Gamma }}\cdot {\rm {M\Delta }}$

Το αντίστροφο αποδεικνύεται εύκολα με αντιστροφή των παραπάνω συλλογισμών

• (Θεώρημα Ντεκάρτ) Αν $({\rm {A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ είναι αρμονική τετράδα, τότε ισχύει

${\frac {2}{\rm {AB}}}={\frac {1}{\rm {A\Gamma }}}+{\frac {1}{\rm {A\Delta }}}\quad$ και $\quad {\frac {2}{\rm {BA}}}={\frac {1}{\rm {B\Delta }}}-{\frac {1}{\rm {B\Delta }}}$,

και αντιστρόφως.

Απόδειξη  

Εφ' όσον τα σημεία $({\rm {A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ είναι αρμονική τετράδα τότε, ισχύει,

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}$.

Aντικαθιστώντας τα ${\rm {B\Gamma =AB-A\Gamma }}$ και ${\rm {B\Delta =A\Delta -AB}}$ έχουμε,

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {AB-A\Gamma }}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {A\Delta -AB}}}$.

Mε χιαστή γινόμενα,

${\begin{aligned}{\rm {A\Gamma \cdot (A\Delta -AB)}}&={\rm {A\Delta \cdot (AB-A\Gamma )}}\\{\rm {A\Gamma \cdot A\Delta -A\Gamma \cdot AB}}&={\rm {AB\cdot A\Delta -A\Gamma \cdot A\Delta }}\\{\rm {2\cdot A\Gamma \cdot A\Delta }}&={\rm {AB\cdot A\Delta +A\Gamma \cdot AB.}}\end{aligned}}$

Διαιρώντας και τα δύο μέλη με το γινόμενο ${\rm {A\Gamma \cdot AB\cdot A\Delta }}$ έχουμε,

${\frac {2}{\rm {AB}}}={\frac {1}{\rm {A\Gamma }}}+{\frac {1}{\rm {A\Delta }}}\quad$.

Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται και η δεύτερη σχέση. Το αντίστροφο αποδεικνύεται εύκολα με αντιστροφή των παραπάνω συλλογισμών.

Παραδείγματα

Μία αρμονική τετράδα ${\rm {(A,B,\Gamma ,\Delta )}}$.

• Αν ${\rm {\Delta A=1,A\Gamma =0.5,\Gamma B=1.5}}$, τότε τα σημεία ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {A,B}}$ καθώς

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {0.5}{1.5}}={\frac {1}{3}}$

και

${\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {1}{1+0.5+1.5}}={\frac {1}{3}}$.

Εσωτερική διχοτόμος ${\rm {A\Delta }}$ και εξωτερική διχοτόμος ${\rm {A\Delta '}}$ τριγώνου. Τα σημεία ${\rm {\Delta ,\Delta '}}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {B,\Gamma }}$.

• Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB\neq A\Gamma }}$ όπου ${\rm {A\Delta }}$ είναι η εσωτερική και ${\rm {A\Delta '}}$ η εξωτερική διχοτόμος της ${\hat {\rm {A}}}$ έχουμε ότι τα ${\rm {\Delta ,\Delta '}}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {B,\Gamma }}$.

Απόδειξη  

Από το θεώρημα διχοτόμου έχουμε ότι

${\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}$.

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι

${\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Delta '}}{\rm {\Gamma \Delta '}}}$.

Επομένως, συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις καταλήγουμε στο ζητούμενο.