Αρμονική τετράδα

Μία αρμονική τετράδα ${\rm {(A,B,\Gamma ,\Delta )}}$, καθώς ${\textstyle {\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}}$.

Στην γεωμετρία, δύο σημεία που διαιρούν εσωτερικά και εξωτερικά ένα ευθύγραμμο τμήμα με τον ίδιο λόγο, λέγονται αρμονικά συζυγή του τμήματος. Τα σημεία αυτά και τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος λέμε ότι είναι μία αρμονική τετράδα.

Πιο συγκεκριμένα, έστω ${\rm {A,B,\Gamma ,\Delta }}$ τέσσερα σημεία της ίδιας ευθείας, και το ${\rm {\Gamma }}$ βρίσκεται μεταξύ των ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ και το $\Delta$ εξωτερικά αυτών. Αν ισχύει ότι

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}$,

τότε τα ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {A,B}}$ και τα σημεία ${\rm {(A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ ορίζουν μία αρμονική τετράδα. Επίσης, το ${\rm {\Gamma }}$ είναι το αρμονικά συζυγές του ${\rm {\Delta }}$ ως προς τα ${\rm {A,B}}$.

Ιδιότητες

• Αν ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {A,B}}$, τότε τα ${\rm {A,B}}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$.
• Σε κάθε ευθύγραμμο τμήμα ${\rm {AB}}$ και για κάθε λόγο $k\neq 1$, υπάρχουν μοναδικά σημεία $\Gamma ,\Delta$ ώστε να ορίζεται μία αρμονική τετράδα.
• (Θεώρημα Νεύτωνα) Αν $({\rm {A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ είναι αρμονική τετράδα και ${\rm {M}}$ το μέσο του ${\rm {AB}}$, τότε

${\rm {MA}}^{2}={\rm {MB}}^{2}={\rm {M\Gamma }}\cdot {\rm {M\Delta }}$,

και αντιστρόφως.

• (Θεώρημα Ντεκάρτ) Αν $({\rm {A,B,\Gamma ,\Delta )}}$ είναι αρμονική τετράδα, τότε ισχύει

${\frac {2}{\rm {AB}}}={\frac {1}{\rm {A\Gamma }}}+{\frac {1}{\rm {A\Delta }}}\quad$ και $\quad {\frac {2}{\rm {BA}}}={\frac {1}{\rm {B\Delta }}}-{\frac {1}{\rm {B\Delta '}}}$,

και αντιστρόφως.

Παραδείγματα

Μία αρμονική τετράδα ${\rm {(A,B,\Gamma ,\Delta )}}$.

• Αν ${\rm {\Delta A=1,A\Gamma =0.5,\Gamma B=1.5}}$, τότε τα σημεία ${\rm {\Gamma ,\Delta }}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {A,B}}$ καθώς

${\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {0.5}{1.5}}={\frac {1}{3}}$

και

${\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {1}{1+0.5+1.5}}={\frac {1}{3}}$.

Εσωτερική διχοτόμος ${\rm {A\Delta }}$ και εξωτερική διχοτόμος ${\rm {A\Delta '}}$ τριγώνου. Τα σημεία ${\rm {\Delta ,\Delta '}}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {B,\Gamma }}$.

• Σε ένα τρίγωνο ${\rm {AB\Gamma }}$ με ${\rm {AB\neq A\Gamma }}$ όπου ${\rm {A\Delta }}$ είναι η εσωτερική και ${\rm {A\Delta '}}$ η εξωτερική διχοτόμος της ${\hat {\rm {A}}}$ έχουμε ότι τα ${\rm {\Delta ,\Delta '}}$ είναι αρμονικά συζυγή των ${\rm {B,\Gamma }}$.

Απόδειξη  

Από το θεώρημα διχοτόμου έχουμε ότι

${\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Delta }}{\rm {\Gamma \Delta }}}$.

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι

${\frac {\rm {AB}}{\rm {A\Gamma }}}={\frac {\rm {B\Delta '}}{\rm {\Gamma \Delta '}}}$.

Επομένως, συνδυάζοντας τις δύο σχέσεις καταλήγουμε στο ζητούμενο.