Απολλώνιος κύκλος

Ο Απολλώνιος κύκλος του ${\rm {AB}}$ για κάποιο $k>1$. Όλα τα σημεία του ${\rm {P}}$ ικανοποιούν ${\textstyle {\frac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k}$.

Στην γεωμετρία, ο Απολλώνιος κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από δύο δοσμένα σημεία είναι σταθερός.

Πιο συγκεκριμένα, για δύο δοσμένα σημεία ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$ και λόγο $k\neq 1$, ο Απολλώνιος κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων ${\rm {P}}$ που ικανοποιούν

${\frac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k$.

Όπως αποδεικνύεται παρακάτω, αυτός ο γεωμετρικός τόπος είναι ένας κύκλος. Αν $\Gamma ,\Delta$ είναι τα δύο σημεία του φορέα της ${\rm {AB}}$ που ικανοποιύν ${\textstyle {\frac {\rm {\Gamma A}}{\rm {\Gamma B}}}={\frac {\rm {\Delta A}}{\rm {\Delta B}}}=k}$, τότε ο Απολλώνιος κύκλος έχει κέντρο το μέσο του ${\rm {\Gamma \Delta }}$.

Όταν $k=1$, ο γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος ευθεία του ${\rm {AB}}$.

Παίρνει το όνομά του από τον Έλληνα μαθηματικό Απολλώνιο τον Περγαίο.

Απόδειξη

Έστω δύο σημεία ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$, και $k\neq 1$. Χωρίς βλάβη της γενικότητας, θα υποθέσουμε ότι $k>1$. Θεωρούμε το σημείο $\Gamma$ μεταξύ των ${\rm {A}}$ και ${\rm {B}}$ τέτοιο ώστε ${\rm {A\Gamma }}=k\cdot {\rm {B\Gamma }}$, και το σημείο ${\rm {\Delta }}$ στην προέκταση του ${\rm {AB}}$ προς την πλευρά του ${\rm {B}}$ τέτοιο ώστε ${\rm {A\Delta }}=k\cdot {\rm {B\Delta }}$.

Θα αποδείξουμε ότι ο κύκλος $C$ με κέντρο το μέσο ${\rm {M}}$ του ${\rm {\Gamma \Delta }}$ και ακτίνα ${\rm {M\Gamma =M\Delta }}$ είναι ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος, δείχνοντας ότι ($\Rightarrow$) κάθε σημείο ${\rm {P}}$ που ικανοποιεί την σχέση ${\tfrac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k$ ανήκει στον κύκλο, και ($\Leftarrow$) κάθε σημείο ${\rm {P}}$ του κύκλου ικανοποιεί την σχέση ${\tfrac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k$.

Σχήμα απόδειξης για τον Απολλώνιο κύκλο.

($\Rightarrow$) Έστω ${\rm {P}}$ ένα σημείο που ικανοποιεί την σχέση ${\tfrac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k$. Από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου, έχουμε ότι ${\rm {P\Gamma }}$ είναι η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας ${\hat {\rm {P}}}$ του τριγώνου ${\rm {PAB}}$, και από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου, έχουμε ότι ${\rm {P\Delta }}$ είναι η αντίστοιχη εξωτερική διχοτόμος.

Η εσωτερική και η εξωτερική διχοτόμος τέμνονται κάθετα επομένως η ${\widehat {\rm {\Gamma P\Delta }}}$ είναι ορθή. Αρα το ${\rm {P}}$ ανήκει στον κύκλο με διάμετρο ${\rm {\Gamma \Delta }}$.

Σχήμα απόδειξης για το αντίστροφο.

($\Leftarrow$) Τώρα μένει να αποδείξουμε ότι κάθε σημείο ${\rm {P}}$ του κύκλου $C$ ικανοποιεί την σχέση ${\tfrac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}=k$. Θα αποδείξουμε ότι ${\rm {P\Gamma }}$ είναι η εσωτερική και ${\rm {P\Delta }}$ η εξωτερική διχοτόμος της ${\hat {\rm {P}}}$ του τριγώνου ${\rm {PAB}}$. Θεωρούμε ${\rm {BE}}$ την παράλληλη στo ${\rm {P\Gamma }}$ και ${\rm {BZ}}$ την παράλληλη στo ${\rm {P\Delta }}$, όπου ${\rm {E,Z}}$ σημεία του φορέα του ${\rm {PA}}$.

Αφού ${\widehat {\rm {\Gamma P\Delta }}}$ είναι ορθή, από την παραλληλία έπεται ότι ${\widehat {\rm {EBZ}}}$ είναι επίσης ορθή.

Από το θεώρημα τομής του Θαλή στις ${\rm {BE\parallel P\Gamma }}$, ισχύει ότι

$k={\frac {\rm {A\Gamma }}{\rm {B\Gamma }}}={\frac {\rm {PA}}{\rm {PE}}}$.

(1)

Από το θεώρημα τομής του Θαλή στις ${\rm {BZ\parallel P\Gamma }}$, ισχύει ότι

$k={\frac {\rm {A\Delta }}{\rm {B\Delta }}}={\frac {\rm {PA}}{\rm {PZ}}}$.

(2)

Συνδυάζοντας τις (1) και (2), έχουμε ότι

${\rm {PZ=PE}}$,

δηλαδή το ${\rm {P}}$ είναι το μέσο του ${\rm {EZ}}$. Αφού το τρίγωνο ${\rm {EBZ}}$ είναι ορθογώνιο, η διάμεσος του είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας του, δηλαδή ${\rm {PB=PE=PZ}}$.

Επιστρέφοντας στην (1) έχουμε ότι

$k={\frac {\rm {PA}}{\rm {PB}}}$

$\square$

Δείτε επίσης

• Μεσοκάθετος
• Απολλώνιο πρόβλημα